![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
35. Замена переменной в неопределенном интеграле
Замена
переменной в неопределенном интеграле
производится с помощью подстановок
двух видов:
а)
,
где
–
монотонная, непрерывно дифференцируемая
функция новой переменной t. Формула
замены переменной в этом случае:
;
б)
,
гдеU– новая переменная. Формула
замены переменной при такой подстановке:
.Интегрирование
по частям
Нахождение
интеграла
по
формуле
называется
интегрированием по частям. ЗдесьU=U(х),υ=υ( x) непрерывно
дифференцируемые функции отх. С
помощью этой формулы нахождение интеграла
сводится к отысканию другого интеграла
,
ее применение целесообразно в тех
случаях, когда последний интеграл либо
проще исходного, либо ему подобен.
При этом за υ берется такая функция,
которая при дифференцировании упрощается,
а заdU– та часть подынтегрального
выражения, интеграл от которой известен
или может быть найден.
Так например, для интегралов вида
,
,
,
гдеP(x) – многочлен, за υ следует
принятьP(x), а заdUсоответствует
выражение
,
.
Для интегралов вида
за
υ принимаются соответственно функции
,
а за
–
выражениеP(x)dx.
36. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной
дробью называется дробь вида
,
гдеP(x) иQ(x) – многочлены.
Рациональная дробь называется правильной,
если степень многочленаP(x) ниже
степени многочленаQ(x); в противном
случае дробь называется неправильной.
Пусть необходимо найти интеграл от
неправильной рациональной дроби. При
помощи деления (по правилу деления
многочленов) неправильную рациональную
дробь можно представить в виде суммы
целой рациональной функции и правильной
рациональной дроби. Например,
.
Затем знаменатель правильной дроби
разлагается на множители вида
,
а правильная дробь разлагается на сумму
элементарных дробей следующим образом:
37.
Для интегрирования иррациональной
функции, содержащей
используется
подстановка
.
Чтобы проинтегрировать иррациональную
функцию, содержащую несколько рациональных
степенейx, применяется подстановка
в форме
,
гдеnполагается равным наименьшему
общему кратному знаменателей всех
дробных степеней, входящих в данную
функцию.
Рациональная функцияxпод знаком корняn-ой степени, т.е.
выражение вида
,
интегрируется с помощью подстановки
.
Универсальная
тригонометрическая подстановка.
Переход в подынтегральной функции к
переменнойпреобразуетR(sinx, cosx) в функцию,
рационально зависящую отt.
Универсальная
тригонометрическая подстановка всегда
рационализирует подынтегральную
функцию, с её помощью легко берутся
интегралы вида
(a,b,c- постоянные).
Универсальной тригонометрической подстановкойназываются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.
sinx=2tgx21+tg2x2x
=
+2
n
n
Z;
cosx=1+tg2x21−tg2x2x
=
+2
n
n
Z;
tgx=2tgx21−tg2x2x
=
+2
n
n
Z
x
=
2+
n
n
Z;
ctgx=2tgx21−tg2x2x
=
n
n
Z
x
=
+2
n
n
Z.
38. Определенные интегралы (интеграл Римана).
Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
Выберем
в каждом из частичных интервалов по
произвольной точке
и
составим сумму (интегральная сумма)
.
Если
существует предел интегральной суммы
при стремлении к нулю длины наибольшего
частичного интервала разбиения:
,
то функцияf(x)
называется интегрируемой
в смысле Римана
на интервале [a,
b].
Предел этой суммы
называется
определенным
интегралом
от f(x)
по
интервалу
[a,
b]
в
смысле Римана
(интеграл
Римана).
Это определение означает, что для любого
положительного числа
существует
такое число
,
что при любом разбиении интервала [a,
b]
на частичные интервалы, длины которых
меньше
.
и
при любом выборе промежуточных точек
выполняется
неравенство
Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а a и b - пределами интегрирования.
ТЕОРЕМА
1. ( необходимое условие существования
интеграла)
Если существует интеграл
Римана
,
то функция
ограничена
на отрезке
.
39. Оценки интегралов
1.
Если
то
2.
3.
Если
то