![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Сферическая функция
- •Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке
- •Повышающий и понижающий операторы
- •Уравнение СферическОй функциИ
- •Разделение переменных
- •Значение в уравнении
- •Пространственное квантование орбитального момента
- •Сферическая функция
- •Инверсия координат
- •Частные выражения
- •Действие повышающего и понижающего операторов
- •Рекуррентные соотношения
- •Разложение по сферическим функциям
Уравнение СферическОй функциИ
является
собственной
функцией
оператора квадрата момента импульса
,
(7.13)
где
– собственное
значение оператора
.
Если объект находится в состоянии
,
то квадрат момента импульса равен
.
С учетом
,
(7.5)
уравнение для сферической функции
.
(7.14)
Ищем
решение уравнения
и собственное значение λ.
Разделение переменных
Слагаемые (7.14) имеют производные от разных аргументов, поэтому аргументы решения разделяются
.
Подставляем
в уравнение, умноженное слева на
,
и группируем слагаемые по их аргументам
.
Левая и правая стороны зависят от разных аргументов, поэтому они равны постоянной . В результате получаем независимые уравнения
,
(7.15)
.
(7.16)
Решение уравнения (7.15)
1. Уравнение (7.15) является уравнением Гельмгольца и имеет решение
.
2.
Однозначность решения накладывает
условие периодичности по углу
.
Получаем
,
откуда
,
,
– магнитное
число,
.
3. Квадрат модуля функции состояния является плотностью вероятности состояния и удовлетворяет условию нормировки
,
тогда
,
.
(7.17)
На основании
(1.43)
выполняется условие ортонормированности
.
(7.18)
4. Для оператора проекции момента импульса
,
(7.4)
выполняется
,
.
(7.19)
Следовательно,
и
– собственные функции оператора проекции
момента импульса на ось z
с собственным значением
.
В состоянии, описываемом функцией
,
измерение проекции момента импульса
на ось z
дает
.
Значение в уравнении
1. Оператором
(7.11)
действуем
на
и используем
,
(7.19)
получаем
.
Операторы
переводят состояние с собственным
значением m
в состояния с собственными значениями
,
т. е.
– повышающий
оператор,
– понижающий
оператор.
2. Проекция вектора не превышает его модуль. Если
,
то
нет состояний с
,
тогда действие повышающего оператора
на состояние с максимальной проекцией
.
3.
Действуем на
оператором
.
(7.12)
Используем
(7.19)
и
,
(7.13)
тогда
и находим
.
4. В результате
,
,
(7.20)
где
– магнитное
число;
– орбитальное
число;
– проекция
орбитального момента
на ось z;
– модуль
орбитального момента.
Пространственное квантование орбитального момента
При l = 3 получаем
,
,
.
Угол ориентации L квантуется
,
;
число
возможных проекций равно
;
Вектор момента импульса L не может быть направлен вдоль Оz.
Решение уравнения (7.16)
С
учетом
уравнение
(7.16)
совпадает с уравнением (6.116) для присоединенной функции Лежандра, тогда
.
(7.21)
С учетом
,
получаем
.
(7.22)
Накладываем условие нормировки
,
.
Учитываем
,
(1.43)
,
(6.123)
получаем
.
(7.23)