![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования Российской Федерации новосибирский государственный технический университет цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры в системах подвижной радиосвязи
- •Рабочая программа
- •Вопросы для самоконтроля
- •Структурные схемы и разностные уравнения лис-цепей
- •Методические указания
- •Вопросы для самоконтроля
- •Случайные последовательности и лис-цепи
- •Методические указания
- •Вопросы для самоконтроля
- •Многомерные последовательности и цепи
- •Вопросы для самоконтроля
- •Реализация цифровых фильтров
- •Методические указания
- •Цифровой спектральный анализ и его применение
- •Методические указания
- •Сигнальные процессоры и их применение
- •Методические указания
- •Цифровая обработка временных и пространственно-временных сигналов в системах радиосвязи
- •Методические указания
- •Расчетно-графические задания
- •Литература
Расчетно-графические задания
Задание 1
1. По заданным разностным уравнениям цифровых цепей проверьте их физическую реализуемость (каузальность), стационарность, линейность и устойчивость:
Таблица 1
Вариант |
Разностное уравнение |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
0 |
|
Таблица 2
Подвариант |
a |
b |
c |
k |
1 |
1 |
4 |
3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
4 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
4 |
4 |
4 |
1 |
2 |
3 |
5 |
2 |
1 |
3 |
4 |
6 |
3 |
2 |
4 |
3 |
7 |
2 |
1 |
4 |
2 |
8 |
3 |
1 |
4 |
2 |
9 |
5 |
2 |
1 |
6 |
0 |
3 |
4 |
6 |
5 |
2. По разностному уравнению
составьте структурную схему цепи
определите импульсную характеристику устойчивой дискретной цепи (аналитически)
постройте график импульсной характеристики
рассчитайте АЧХ и ФЧХ цепи, постройте графики.
постройте нуль-полюсную диаграмму, обозначьте область сходимости
-преобразования ИХ.
Таблица 3
Вариант |
|
|
|
Подва-риант |
|
|
|
1 |
3.1 |
0 |
7 |
1 |
1 |
9 |
2 |
2 |
5.3 |
5 |
3 |
2 |
4 |
8 |
4 |
3 |
7.7 |
1 |
4 |
3 |
3 |
7 |
6 |
4 |
8.4 |
2 |
2 |
4 |
7 |
6 |
8 |
5 |
5.6 |
6 |
5 |
5 |
5 |
5 |
0 |
6 |
3 |
4 |
2.5 |
6 |
2 |
4 |
9 |
7 |
6 |
9 |
6.4 |
7 |
0 |
3 |
1 |
8 |
9 |
8 |
2.2 |
8 |
6 |
2 |
3 |
9 |
7 |
5 |
7.4 |
9 |
8 |
1 |
5 |
0 |
4 |
7 |
9.3 |
0 |
9 |
0 |
7 |
Задание 2
Сформируйте
набор из
последовательностей, элементы которых
состоят из строк матрицы Адамара 5-го
порядка. Матрица Адамара первого порядка
равна
.
Матрицы Адамара более высокого порядка строятся в соответствии с рекурсивным выражением
.
Для сформированного набора последовательностей:
покажите, что входящие в набор последовательности образуют базис;
отобразите на разных графиках несколько базисных последовательностей;
проверьте, является ли данный базис ортогональным;
постройте базис, сопряженный сформированному базису;
отобразите на разных графиках несколько последовательностей из сопряженного базиса;
используя сформированный базис, разложите последовательность
,
параметры которой определены в таблице 4;
отобразите на графике исходную последовательность;
отобразите на графике последовательность, состоящую из коэффициентов разложения;
постройте сокращенный набор коэффициентов разложения путем обнуления элементов, величина которых по модулю составляет не более 25-ти процентов от величины модуля максимального коэффициента разложения;
отобразите сокращенный набор коэффициентов на графике;
восстановите последовательность, используя сокращенный набор коэффициентов разложения;
отобразите восстановленную последовательность на графике;
рассчитайте энергию ошибки восстановления, а также отношение энергии ошибки восстановления к энергии исходной последовательности (в процентах).
Таблица 4
Вариант |
|
|
|
1 |
0.65 |
0.95 |
|
2 |
0.92 |
0.76 |
|
3 |
0.7 |
0.93 |
|
4 |
0.97 |
0.68 |
|
5 |
0.76 |
0.93 |
|
6 |
0.92 |
0.77 |
|
7 |
0.88 |
0.94 |
|
8 |
0.75 |
0.97 |
|
9 |
0.91 |
0.73 |
|
10 |
0.72 |
0.96 |
|
11 |
0.56 |
0.99 |
|
12 |
0.99 |
0.57 |
|
13 |
0.68 |
0.89 |
|
14 |
0.71 |
0.88 |
|
15 |
0.93 |
0.76 |
|
16 |
0.89 |
0.9 |
|
17 |
0.69 |
0.93 |
|
18 |
0.95 |
0.78 |
|
19 |
0.78 |
0.97 |
|
20 |
0.94 |
0.83 |
|
Задание 3
Линейная инвариантная к сдвигу цепь задана разностным уравнением
,
параметры уравнения приведены в таблице 5. Для заданной цепи:
постройте эквивалентную минимально-фазовую цепь, обладающую такой же амплитудно-частотной характеристикой;
постройте нуль-полюсную диаграмму передаточной функции исходной цепи, обозначьте область сходимости;
постройте нуль-полюсную диаграмму передаточной функции эквивалентной минимально-фазовой цепи, обозначьте область сходимости;
рассчитайте АЧХ и ФЧХ исходной цепи, постройте графики;
рассчитайте АЧХ и ФЧХ эквивалентной минимально-фазовой цепи, постройте графики;
определите импульсную характеристику исходной цепи и отобразите ее на графике;
определите импульсную характеристику эквивалентной минимально-фазовой цепи и отобразите ее на графике;
Таблица 5
Вариант |
|
|
|
|
1 |
-0.61 |
0.32 |
-0.67 |
1.3 |
2 |
0.17 |
-0.37 |
1.2 |
-1.1 |
3 |
-0.29 |
-0.99 |
2.4 |
-1.7 |
4 |
0.65 |
0.1 |
-0.34 |
0.29 |
5 |
0.42 |
-0.13 |
0.22 |
-0.34 |
6 |
-0.39 |
-0.64 |
1.8 |
-1.3 |
7 |
0.82 |
-0.55 |
2 |
-3.6 |
8 |
-0.7 |
-0.1 |
0.15 |
-0.22 |
9 |
0.94 |
0.25 |
-0.6 |
1.1 |
10 |
-0.76 |
0.17 |
-0.16 |
0.29 |
11 |
0.21 |
0.24 |
-0.48 |
0.76 |
12 |
-0.67 |
0.82 |
-2.6 |
3.2 |
13 |
-0.89 |
-0.37 |
1.1 |
-1.4 |
14 |
0.57 |
-0.07 |
0.15 |
-0.13 |
15 |
0.75 |
0.65 |
-0.4 |
1.5 |
16 |
0.91 |
-0.75 |
2.6 |
-2.5 |
17 |
0.65 |
-0.76 |
0.45 |
-3.0 |
18 |
-0.67 |
-0.67 |
1.4 |
-1.7 |
19 |
0.42 |
0.22 |
-0.7 |
1.4 |
20 |
-0.39 |
0.35 |
-1.2 |
1.2 |
Задание 4
Некаузальная линейная инвариантная к сдвигу цепь задана разностным уравнением
,
параметры уравнения определены в таблице 6.
преобразуйте заданную цепь в параллельное соединение рекурсивно вычислимых цепей;
составьте структурную схему рекурсивно вычислимой реализации цепи;
определите передаточную функцию цепи, постройте нуль-полюсную диаграмму, обозначьте область сходимости;
рассчитайте АЧХ и ФЧХ цепи, постройте графики;
определите (через обратное
-преобразование передаточной функции цепи) импульсную характеристику цепи, отобразите ее на графике;
рассчитайте численно импульсную характеристику цепи (65 отсчетов) путем подачи единичного импульса на вход разностных уравнений рекурсивно вычислимой реализации, отобразите полученные значения на графике.
Таблица 6
Вариант |
|
|
|
|
|
1 |
0.56 |
0.53 |
-0.51 |
0.1 |
0.82 |
2 |
4.3 |
0.36 |
0.92 |
0.25 |
0.86 |
3 |
1.3 |
0.49 |
0.02 |
0.31 |
0.84 |
4 |
2.4 |
0.43 |
-0.07 |
0.41 |
0.74 |
5 |
2.1 |
0.44 |
0.2 |
0.14 |
0.43 |
6 |
2.0 |
0.45 |
0.37 |
0.1 |
0.55 |
7 |
3.0 |
0.43 |
0.12 |
0.06 |
0.12 |
8 |
0.37 |
0.54 |
-0.82 |
0.36 |
0.55 |
9 |
1.4 |
0.5 |
-0.75 |
0.21 |
0.7 |
10 |
0.31 |
0.73 |
-0.66 |
0.28 |
0.7 |
11 |
5.0 |
0.35 |
0.07 |
0.02 |
0.1 |
12 |
1.5 |
0.49 |
0.28 |
0.03 |
0.63 |
13 |
0.5 |
0.58 |
-0.28 |
0.41 |
0.57 |
14 |
1.9 |
0.45 |
0.17 |
0.03 |
0.59 |
15 |
4.1 |
0.38 |
-0.59 |
0.22 |
0.57 |
16 |
0.39 |
0.51 |
-0.39 |
0.14 |
0.31 |
17 |
4.2 |
0.37 |
0.01 |
0.16 |
0.74 |
18 |
1.1 |
0.6 |
0.12 |
0.07 |
0.79 |
19 |
4.0 |
0.39 |
-0.3 |
0.1 |
0.23 |
20 |
2.5 |
0.44 |
0.49 |
0.12 |
0.51 |
Задание 5
1. Рассчитать полосовой цифровой фильтр (ПФ) 3 порядка (для чётных подвариантов – фильтр Чебышёва, для нечётных – фильтр Баттерворта), предназначенный для фильтрации аналогового сигнала после его преобразования в цифровую форму.
Исходные данные:
частота
дискретизации аналогового сигнала; нижняя
и верхняя
границы полосы частот, занимаемой аналоговым сигналом – таблица 7;
преобразование ФНЧ в полосовой фильтр провести для аналогового фильтра-прототипа;
аналого-цифровую трансформацию ПФ провести методом билинейного преобразования;
параметр
для фильтра Чебышёва принять равным 0.4.
2. Построить структурную схему ЦФ в произвольной форме, при этом коэффициенты фильтра не должны быть комплексными. Записать разностное уравнение ЦФ. Рассчитать и построить графики АЧХ, ФЧХ и импульсной характеристики цифрового фильтра.
Таблица 7
Вариант |
Частота
|
Частота
|
Частота
дискретизации
|
1 |
3000 |
6000 |
30000 |
2 |
3500 |
7000 |
24000 |
3 |
5000 |
9000 |
35000 |
4 |
14000 |
26000 |
70000 |
5 |
6000 |
10000 |
38000 |
6 |
3000 |
6000 |
18000 |
7 |
3000 |
6000 |
37000 |
8 |
3000 |
6000 |
23000 |
9 |
13000 |
26000 |
80000 |
10 |
20000 |
48000 |
200000 |
11 |
7500 |
16000 |
50000 |
12 |
6300 |
11500 |
35000 |
13 |
3200 |
7100 |
18000 |
14 |
4600 |
8100 |
22000 |
15 |
4000 |
7500 |
32000 |
16 |
4000 |
8500 |
35000 |
17 |
3700 |
7200 |
25000 |
18 |
5200 |
9500 |
37000 |
19 |
13000 |
22000 |
65000 |
20 |
5800 |
10300 |
42000 |
Задание 6
Синтезируйте
цифровой согласованный фильтр для
сигнала, заданного в таблице 8. Сигнал
наблюдается на фоне белого гауссовского
шума с нулевым математическим ожиданием
и дисперсией
.
Для синтезированного фильтра:
рассчитайте и постройте график исходного сигнала;
определите импульсную характеристику фильтра, постройте ее график;
определите передаточную функцию фильтра;
рассчитайте и постройте АЧХ и ФЧХ фильтра;
рассчитайте и постройте графики модуля и аргумента спектральной плотности исходного сигнала;
найдите автокорреляционную функцию исходного сигнала, рассчитайте и постройте ее график;
определите аналитическое выражение отклика согласованного фильтра, получаемого при воздействии на его вход исходного сигнала, отобразите его на графике;
рассчитайте методом быстрой свертки отклик согласованного фильтра, получаемый при подаче на его вход заданного сигнала; используйте для этого стандартные функции вычисления БПФ реализованные в пакетах универсального программирования типа MathCAD, MatLab и т.п.; сравните полученный результат с результатами расчетов, полученных в предыдущем пункте;
найдите отношение сигнал/шум на входе и выходе согласованного фильтра.
Таблица 8
Вариант |
Сигнал |
|
1 |
|
4.0 |
2 |
|
2.4 |
3 |
|
1.5 |
4 |
|
0.8 |
5 |
|
2.2 |
6 |
|
5.2 |
7 |
|
7.4 |
8 |
|
3.6 |
9 |
|
8.1 |
10 |
|
2.7 |
11 |
|
3.2 |
12 |
|
6.4 |
13 |
|
7.9 |
14 |
|
8.3 |
15 |
|
4.1 |
16 |
|
2.8 |
17 |
|
3.4 |
18 |
|
5.3 |
19 |
|
2.8 |
20 |
|
1.9 |
Задание 7
Сигнал, передаваемый по каналу связи, подвергается воздействию помехи в соответствии с моделью
,
где
– наблюдаемая последовательность,
– полезный сигнал,
– стационарный белый шум с нулевым
средним и дисперсией
.
Статистические свойства полезного
сигнала описываются уравнением
авторегрессии-скользящего среднего
(АРСС)
,
где
– последовательность независимых
случайных величин с нулевым средним и
дисперсией
.
Для подавления шума используется
цифровой трансверсальный фильтр порядка
,
определяемый выражением
,
где
– оценка полезного сигнала,
,
– коэффициенты трансверсального
фильтра.
Значения параметров полезного сигнала и шума приведены в таблице 9.
рассчитайте и постройте автокорреляционную функцию и спектральную плотность мощности последовательности
;
рассчитайте коэффициенты трансверсального фильтра, исходя из условия обеспечения минимума дисперсии ошибки оценивания
,
где
– ошибка оценивания,
– оператор усреднения по ансамблю
реализаций;
рассчитайте и постройте импульсную характеристику, АЧХ и ФЧХ синтезированного фильтра;
рассчитайте дисперсию ошибки оценивания.
Таблица 9
Вариант |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.82 |
0.46 |
0.59 |
-1.4 |
2.1 |
1.9 |
8 |
2 |
0.17 |
0.86 |
-0.74 |
2.9 |
-1.3 |
-1.7 |
3 |
3 |
0.71 |
0.78 |
0.57 |
2.2 |
1.7 |
-0.55 |
15 |
4 |
0.3 |
0.99 |
0.15 |
-0.59 |
-1.9 |
1.8 |
17 |
5 |
0.09 |
0.61 |
-0.43 |
-2.5 |
1.5 |
0.73 |
18 |
6 |
0.15 |
0.27 |
-0.52 |
1.5 |
2.0 |
-1.1 |
6 |
7 |
0.99 |
0.84 |
0.75 |
-0.3 |
-0.57 |
2.2 |
3 |
8 |
0.53 |
0.38 |
0.17 |
1.7 |
1.4 |
-2.4 |
16 |
9 |
0.6 |
0.68 |
-0.49 |
-1.6 |
0.29 |
2.0 |
13 |
10 |
0.45 |
0.28 |
0.7 |
-1.9 |
-2.8 |
0.95 |
5 |
11 |
0.06 |
0.59 |
0.15 |
2.6 |
0.68 |
0.33 |
19 |
12 |
0.78 |
0.84 |
-0.43 |
-0.33 |
-1.2 |
2.6 |
14 |
13 |
0.52 |
0.49 |
0.97 |
0.94 |
1.9 |
-0.47 |
10 |
14 |
0.88 |
0.74 |
0.82 |
0.86 |
1.3 |
0.24 |
12 |
15 |
0.96 |
0.46 |
-0.19 |
-1.8 |
-1.8 |
-1.9 |
7 |
16 |
0.54 |
0.74 |
0.82 |
2.2 |
2.6 |
1.6 |
11 |
17 |
0.86 |
0.48 |
0.67 |
-1.5 |
2.2 |
1.8 |
8 |
18 |
0.67 |
0.39 |
0.59 |
2.7 |
-1.4 |
-1.8 |
10 |
19 |
0.75 |
0.68 |
-0.37 |
-0.61 |
-1.8 |
1.7 |
16 |
20 |
0.91 |
0.73 |
0.74 |
1.8 |
1.5 |
-2.5 |
14 |
Задание 8
На
вход линейной инвариантной к сдвигу
цепи поступает белый шум с нулевым
средним значением и дисперсией
.
Импульсная характеристика цепи определена
в таблице 10. Для заданных параметров
цепи и шума:
отобразите на графике импульсную характеристику цепи;
определите передаточную функцию цепи;
постройте АЧХ и ФЧХ цепи;
определите спектральную плотность мощности и корреляционную функцию последовательности на выходе цепи, отобразите их на графике.
Таблица 10
Вариант |
Имп. хар-ка |
Вариант |
Имп. хар-ка |
1 |
|
11 |
|
2 |
|
12 |
|
3 |
|
13 |
|
4 |
|
14 |
|
5 |
|
15 |
|
6 |
|
16 |
|
7 |
|
17 |
|
8 |
|
18 |
|
9 |
|
19 |
|
10 |
|
20 |
|
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Алгебраические модели. Группы, поля, пространства
Множество
элементов
,
,
,
называется группой, если определена
бинарная операция
,
которая каждой паре элементов
,
ставит в соответствие элемент
так, что выполняются свойства (аксиомы
группы):
а)
(замкнутость
по отношению к операции
);
б)
(ассоциативность операции
);
в)
(существование нейтрального элемента);
г)
(существование обратного элемента для
каждого элемента группы).
Группа
называется коммутативной (абелевой)
если
.
Множество
элементов
,
,
,
называется полем, если на нем определены
две бинарные операции
и
,
условно называемые сложением и умножением,
такие, что выполняются аксиомы поля:
а)
является
коммутативной группой по сложению;
б) совокупность всех ненулевых элементов
является коммутативной группой по
умножению;
в)
,
(дистрибутивность сложения и умножения).
Множество
элементов
,
,
,
называется линейным (векторным)
пространством над полем
,
а элементы множества
называются векторами, если на
определены две бинарные операции –
сложение векторов (+) и умножение вектора
на скаляр (
),
такие, что
I)
есть коммутативная группа по сложению
векторов.
II) Операция умножения вектора (,
,…)
на скаляр (
,
,…)
удовлетворяет следующим условиям:
а)
(замкнутость пространства относительно
умножения вектора на скаляр);
б)
(ассоциативность
умножения вектора на скаляр);
в)
,
(дистрибутивность сложения векторов и
умножения вектора на скаляр);
г),
где
– элемент поля
(скаляр), нейтральный относительно
операции умножения скаляров в поле
.
Метрикой (расстоянием) на произвольном
множественазывается вещественная функция (или
функционал1)
,
определенная для любой пары элементов
и удовлетворяющая следующим условиям:
а)
,
и
только если
;
б)
(симметрия);
в)
(неравенство треугольника).
Множество
,
на котором задана метрика
,
называется метрическим пространством
.
Пусть
– линейное пространство над полем
.
Функция (функционал)
называетсянормой вектора
,
если она удовлетворяет следующим
условиям:
а)
,
причем
,
только если
;
б)
(неравенство треугольника);
в)
.
Пусть
– линейное пространство над полем
(или
).
Функция (функционал)
называетсяскалярным произведением,
если она удовлетворяет следующим
условиям:
а)
;
б)
;
в)
,
причем
,
только если
.
В пространстве со скалярным произведением выполняется неравенство Шварца
или
,
на
основе которого может быть введено
понятие угла
между векторами(только для пространства
над полем
),
такого что
.
Совокупность векторов линейного
пространства
является линейно независимой, когда
в том и только в том случае, если
при всех
(здесь
– количество векторов).
Если в пространстве
можно найти
линейно независимых элементов, а любые
элементов этого пространства линейно
зависимы, то пространство
имеет размерность
.
Если в
можно указать систему изпроизвольного
конечного числа линейно независимых
векторов, то говорят, что пространство
бесконечномерно.
Базисом
-мерного
пространства
называется любая система из
линейно независимых векторов. Базисом
бесконечномерного пространства является
бесконечная совокупность векторов,
такая, что любое ее конечное подмножество
линейно независимо.
Прямое и обратное
-преобразование
Прямое
-преобразование
последовательности
определяется выражением
.
Обратное
-преобразование
,
где
– контур, расположенный в области
сходимости и охватывающий начало
координат, направление обхода контура
– против часовой стрелки.
Теорема о вычетах:
,
где
– изолированные полюсы, находящиеся
внутри контура интегрирования. Если
– полюс порядка
,
то
.
Свойства
-преобразования:
а) линейность
б) сдвиг последовательности
в) отражение последовательности
г) умножение на экспоненту
д) умножение на линейную последовательность
е) переход к комплексно-сопряженной последовательности
ж) свертка последовательностей
з) произведение последовательностей
Прямое и обратное преобразование Фурье
Прямое преобразование Фурье определяется выражением
.
Для
абсолютно суммируемой последовательности
ряд в правой части выражения сходится
равномерно к непрерывной функции
аргумента
.
Обратное преобразование Фурье определяется выражением
,
.
Формулы Эйлера
,
,
.
Некоторые неравенства
,
,
–неравенство
Коши – Буняковского (Шварца)
Свойства
-функции Дирака
а)
, б)
.
Формула суммирования Пуассона
.
Спектральные плотности некоторых сигналов
а)
,
б)
,
в)
.
Некоторые числовые суммы
а)
,
б)
,
в)
.
Геометрическая прогрессия
Сумма геометрической прогрессии
,
при
,
где
,
,
– первый член,
– знаменатель прогрессии.
Частичная
сумма геометрической прогрессии
.