![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Линейная алгебра.
- •Определение. Назовем число положительных и число отрицательныхкоэффициентов в каноническом виде квадратичной формы соответственноположительными и отрицательными индексами инерции:.
- •14. Унитарные операторы и их свойства.
- •16. Достаточный признак оператора простой структуры. Доказать, что у всякого линейного оператора в вещественном пространстве существует одномерное (двумерное) инвариантное подпространство.
- •17. Основные свойства симметричных операторов.
- •18. Ортогональные операторы и их свойства.
- •22. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.
- •23. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов типов в случае δ≠0
- •30. Выбор базиса в корневом подпространстве. Расщепление корневого подпространства на прямую сумму циклических подпространств.
- •31. Теорема о жордановой нормальной форме линейного оператора и основные этапы ее доказательства.
- •32. Λ – матрицы. Элементарные преобразования λ – матриц. Доказать, что всякую λ – матрицу путем элементарных преобразований можно привести к нормальной диагональной форме.
- •33. Доказать, что нормальная диагональная форма λ – матрицы определяется однозначно.
- •34-36. Вычисление функции от матрицы.
14. Унитарные операторы и их свойства.
Определение.
Линейный оператор U
называется унитарным,
если.
Утверждения.
Всякий унитарный оператор U в унитарном пространстве сохраняет скалярное произведение. Всякий линейный оператор U, сохраняющий скалярное произведение, унитарен. Доказательство. Необходимость.
. Достаточность.
Унитарный оператор не меняет длину векторов. Доказательство. Заменим условие унитарности линейного оператора в матричном виде: выберем ортогональный базис
в Х и построим линейный операторU в этом базисе:
(1).
(2). Вывод.
(3). Условие
эквивалентно ортонормированности строк матрицы унитарного оператора. Условие
(4) эквивалентно ортонормированности строк матрицы унитарного оператора.
В ортонормированном базисе строки и столбцы матрицы унитарного оператора U ортонормированные.
Рассмотрим скалярное произведение
. Следовательно, для того, чтобы линейный операторU был унитарным необходимо и достаточно, чтобы он переводил какой-либо ортонормированный базим
в ортонормированный базис
.
Определение.
Матрица с элементами,
удовлетворяющая условиям(3,
4), называется
унитарной
матрицей.
Замечание. Т.к. переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется унитарным оператором, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому такому же является унитарной.
Лемма 1. Собственные значение унитарного оператора по модулю равны 1 (лежат на окружности единичного радиуса).
Доказательство.
Пусть х – собственный вектор унитарного
оператора U
и
- соответствующее собственное значение:
.
Рассмотрим
Лемма
2. Пусть
унитарный оператор U,
действующий в n-мерном
пространстве Х, а е – его собственный
вектор. Тогда (n-1)-мерное
пространство,
состоящее из векторов
инвариантно относительноU.
Доказательство.
пространство
инвариантно.
Теорема 1. Для любого унитарного оператора в n-мерном пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов, соответствующие им собственные значения по модулю равны 1.
Доказательство.
Унитарный оператор U
имеет в Х хотя бы один собственный
вектор, обозначим его через.
По лемме 2 (n-1)-мерное
подпространство
,
состоящее из всех векторов пространства
Х ортогональных к
,
инвариантно относительно унитарного
оператораU.
Продолжая это процесс, мы получим n
попарно ортогональных собственных
векторов
унитарного оператораU.
По лемме 1 собственные значения,
соответствующие собственным векторам,
по модулю равны 1.
Теорема
2. Для любого
унитарного оператора U
в n-мерном
пространстве Х существует ортонормированный
базис, в котором матрица этого оператора
диагональна:
(5).
Доказательство.
Пусть U
– унитарный оператор, тогда по теореме
1 существует ортонормированный базис
пространства Х из собственных векторов
унитарного оператора U:.
В этом базисе матрицаU
имеет вид
(5), а числа
в силу леммы 1.
15. Спектральная характеристика нормального оператора. Критерий простоты структуры линейного оператора.
Определение.
Линейный
оператор
называетсянормальным,
если
.
Замечание. Унитарные и самосопряженный линейные операторы являются частными случаями нормальных операторов.
Теорема.
Спектральная характеристика нормального
оператора.
Для того, чтобы существовал ортонормированный
базис, в котором линейный оператор
приводится к диагональной форме,
необходимо и достаточно, чтобы.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть в некотором ортонормированном
базисе матрица оператора А диагональна,
т.к. базис ортонормированный, то матрица
оператора
будет
(транспонирование, сопряжение).
Следовательно,
.
Достаточность.
Пусть.
Покажем, что у операторов А и
существует общий собственный вектор
:
Линейная
оболочка
будет одномерным инвариантным
подпространством, а
будет также инвариантным подпространством.
Докажем это:
Пусть.
также будет принадлежать
,
т.к.
.
Рассмотрим теперь действие оператора
А из
(
)…
Продолжая этот процесс, получим
ортогональный базис из собственных
векторов, нормируем его – нормированный.
Определение.
называетсяоператором
простой структуры,
если А имеет n
линейно независимых собственных
векторов.
Теорема. Критерий простоты структуры
линейного оператора. Для
того, чтобы линейный оператор А имел
простую структуру необходимо и достаточно,
чтобы для любого корня
характеристического уравнения кратности
ранг
.
Доказательство.
Необходимость. А –
оператор простой структуры. Следовательно,
существуют n
линейно независимых векторов, выбирая
которые в качестве базиса L,
получим, что матрица линейного оператора
в базисе
имеет вид:
.
Причем среди
могут быть одинаковые. Если через А
обозначить матрицу линейного оператора
в некотором произвольном базисе
,
то
,
где Р – матрица перехода от базиса е из
собственных векторов к базисуf.
Следовательно
,
т.е.
и
подобны и имеют одинаковый ранг.
.
числу
отличных от нуля ее диагональных
элементов, т.е. числу корней
характеристического уравнения неравных
,
т.о.
.
Достаточность. Пусть
- различные собственные значения
оператора А. Собственные векторы,
отвечающие собственному значению
,
образуют подпространство вL
размерностью
.
Следовательно, линейный оператор А
имеет
линейно независимых собственных
векторов, соответствующих собственному
значению
.
Т.о. мы имеем
собственных векторов
.
Покажем, что они линейно независимы в
совокупности (от противного). Пусть это
не так и равенство нулю линейной
комбинации
возможно при ненулевых коэффициентах.
Следовательно, пусть
.
Введем линейный оператор
.