QUADMET

Квадратурные формулы (23)- (25) носят название квадратурных формул Филона и применяются при вычислении коэффициентов рядов Фурье.

4. Усложненные квадратурные формулы. Из оценок остаточного члена квадратурных формул интерполяционного типа вытекает, что погрешность квадратурной формулы оценивается через точность, с которой подинтегральная функция f(x) может быть приближена многочленами степени n. Поэтому может показаться естественным добиваться повышения точности за счет повышения степеней интерполяционных многочленов для которых точна квадратурная формула. Однако, при неудачном выборе узлов сетки !n, может оказаться, что величина остаточного члена квадратурной формулы растет с номером n . Например в квадратурных формулах Ньютона-Котеса. В практических вычислениях, чтобы избежать подобного еффекта и повысить точность ”расходящихся” квадратурных формул, поступают следующим образом. Отрезок [®; ¯] делят на N равных частей точками

»k = ® + hk; h = (¯ ¡ ®)=(N ¡ 1); k = 0; 1; : : : ; N ¡ 1;

и интеграл (1) представляют в виде

®k=0 »k

Затем к интегралу по отрезку [»k; »k+1] применяют ту или иную квадратурную формулу. Построенные таким образом квадратурные формулы называют усложненными, составными или обобщенными.

Приведем простейшие усложненные квадратурные формулы и оценки их остаточных членов.

4.1. Усложненная квадратурная формула прямоугольников. Пусть подинтегральная функция f(x) 2 C[2®;¯]; тогда

11

Z ¯

f(x)dx = h(f(®+h=2)+f(®+3h=2)+: : :+f(®+(2N¡1)h=2))+RN ; (26)

®

4.2. Усложненная квадратурная формула трапеций. Пусть функция f(x) 2 C[2®;¯]; тогда

4.3. Усложненная квадратурная формула Симпсона.

Пусть подинтегральная функция f(x) 2 C[5®;¯]; тогда

Z ¯

f(x)dx = h=3(f(®) + 4f(® + h=) + 2f(® + 2h) + : : :

®

4.4. Усложненная квадратурная формула Буля.

Пусть подинтегральная функция f(x) 2 C[7®;¯]; тогда

Z ¯

f(x)dx = h=90(7f(®) + 32f(® + h) + 12f(® + 2h) + 32f(® + 3h)

®

+7f(® + 4h) + : : : 7f(® + (4N ¡ 4)h) + 32f(® + (4N ¡ 3)h) +12f(® + (4N ¡ 2)h) + 32f(® + (4N ¡ 1)h) + 7f(® + 4Nh)) + RN ; (32)

12

Из оценок остаточного члена усложненных квадратурных формул следует, что в соответствии с определением аппроксимации усложненные квадратурные формула прямоугольников, трапеций, Симпсона аппроксимируют интеграл (1), т.е. при N ! 1(h ! 0) остаточный член RN по норме.

5. Рекуррентные квадратурные формулы формулы трапеций, Сипсона и Буля.

Оказываетеся приближенные раасчеты по формулам Симпсона и Буля могут быть сведены к вычислениям по линейным комбинациям формул трапеций и Симпсона соответственно. Приближения имеют высокую точность, если использовать большое количество подинтевалов интервала

[®; ¯].

5.1. Рекуррентная квадратурная формула трапеций.

Определим

T (0) = h=2(f(®) + f(¯)); h = ¯ ¡ ®:

Затем для каждого N ¸ 1 определим T (N) = T (f; h), где T (f; h)- формула трапеций с шагом h = (¯ ¡ ®)=2N . Тогда

где h = (¯¡®)=2N и точки xk = ®+kh делят интервал [®; ¯] на 2N = 2M точек.

5.2. Рекуррентная квадратурная формула Симпсона.

Преположим,что fT (N)g- последовательность формул трапеций, сгенерированных согласно (34). Если N ¸ 1 и S(N)- квадратурная формула Симпсона для 2N подинтервалов области [®; ¯], тогда

5.3. Рекуррентная квадратурная формула Буля.

Преположим,что fS(N)g- последовательность формул Симпсона, сгенерированных согласно (35). Если N ¸ 1 и B(N)- квадратурная формула Буля для 2N подинтервалов области [®; ¯], тогда

6. Правило Рунге практической оценка остаточного члена квадратурной формулы. Уточнение Ричардсона.

13

При практически вычислениях интеграла (1) использование оценок вида (27), (29), (31) затруднено. Поэтому используют прием, носящий название правила Рунге, для оценки точности вычисленного значения интеграла по той шли иной квадратурной формуле при двух различны: разбиениях отрезка [®; ¯] на подинтервалы. Модуль разности приближенных значений и дает информацию о погрешности найденного значения интеграла. Подтверждением правильности выше описанного подхода являются следующие рассуждения.

Допустим, что установлена связь между точным значением интеграла

(1) и его приближенным значением Ih на сетке !h формулой

®q; ®p -постоянные, не зависящие от h. Применяя формулу (37) к сеткам !h1 и !h2 оотрезка [®; ¯]; будем иметь

Вычитая из равенства (38) равенство (39) и считая, что h2 < h1 будем иметь

Из (39), (40) следует

Из (41) следует, что если

jIh1 ¡ Ih2j · ²((h1=h2)q ¡ 1);

тогда точное значение интеграла (1) отличается от приближенного значения Ih2 на ².

Более того, имея приближенные значения интеграла на сетках !h1 и !h2 можно по формуле

получить приближенное значение интеграла с порядком точности O(hp). Последнее утверждение называется правилом уточнения решения по Ричардсону.

14

Заметим, что равенства вида (37) имеют место для различных квадратурных формул.

6.1 Для квадратурных формул прямоугольников и трапеций, если f(x) 2 C[4®;¯] имеет место равенство

I = Ih + C1h2 + C2H4;

где C1; C2 - постоянные, не зависящие от h.

6.2. Для квадратурной формулы Симпсона, если f(x) 2 C[6®;¯]

имеет место равенство

I = Ih + C1h4 + C2h6;

где C1; C2 постоянные, не зависящие от h.

Формулы (41),(42) используются для построения различных адаптивных программ для вычисления интегралов виде (1). Пользователь подобной программ указывает конечный отрезок [®; ¯] заготавливает программу вычисления подинтегральной функции f(x) для отрезка [®; ¯] и указывает допустимую точность ².

Программа вычисляет приближенное значение интеграла Ih такое, что

Z ¯

jf(x)dx ¡ Ihj · ²:

®

Заметим, что всегда можно указать подинтегральную функцию, которая способна ”одурачить” конкретную программу. Однако, для хороших адаптивных программ, класс таких примеров сужен, насколько возможно без потери точности. В приложении приводится описание адаптивной программы, основанной на квадратурной формуле Ньютона-Котеса, точной дня многочленов 8-степени.

7. Интегрирование по Ромбергу. Остаточные члены формул трапеций, Симпсона и Буля имеют порядок O(h2); O(h4); O(h6) соответственно.

Таким образом, получаем схему

15

Схема остатков формул (43)-(45) обощается в следующем смысле. Предположим, что приближенная квадратурная формула используется с шагами h и 2h. Воспользуемся алгебраическими преобразованиями двух результатов чтобы получить уточненный ответ. Каждый последующий уровень улучшения увеличивает порядок остаточного члена с O(h2p) до O(h2p+2). Этот процесс и называют интегрированием по Ромбергу. Процесс имеет сильные и слабые стороны.

Метод Ромберга предпочитают вследствии положительности весов используемых квадратурных и регулярности сетки на которой легко вычисляются равноотстящие абсциссы.

Слабой стороной является то, что требуется вдвое больше вычислений функции, чтобы уменьшить ошибку.

Последовательно прменяя формулы можно уменьшить колличество вычислений. Усовершенствование Ричардсона основывается на предположении, что если подинтегральная фунуция f(x) пренадлежит

классу C[P®;¯], то остаточный член можно представить в виде

где к=1 для квадратурной формулы трапеций,

к=2 для квадратурной формулы Сипсона, к=3 для квадратурной формулы Буля.

Так как формулы (46) содержат только четные степений h, усовершенствованный процесс Ричардсона используется, чтобы последовательно исключить сначала a1, затем a2; a3 и т.д. Процесс генерирует квадратурные формулы остаточные члены которых имеют только четный порядок.

Покажем, что первое усовершенствование квадратурной формулы трапеций является квадратурной формулой Симпсона для 2М подинтевалов интервала [®; ¯].

16

Разделив (50) на 3 и переобозначив коофициенты ряда, будем иметь

Первое слогаемое в правой части (50) является квадратурной формулой Симпсона S(f; h) и ошибка содержит только четные степени.

Общая схема последовательности квадратурных формул Ромберга fR(N; K) : N ¸ KgN = 01 для интегрирования функции f(x) на интервале [®; ¯]может быть выписана следующим образом:

R(N; 2) = B(N) N ¸ 2:

Остаточный член по методу Ромберга будет

O(h2K+2)

Программа romberg в системе MATLAB для интегрирования по описанному алгоритму приводится в приложении.

8. Адаптивные квадратуры

17

Усложненные квадратурные формулы вынуждены испоьзовать равномерные сетки с равноотстоящими точками. Для обеспечения необходимой точности вычисления интеграла по всему интервалу приходится использовать малый шаг h.В дествительности некоторые части интгрирумой функции могут иметь большие функциональные колебания, чем другие. Техника при которой только для участков с сильным изменением вводится шаг меньшей длины назавают адаптивной квадратурой. Проиилюстрируем эту технику на основе формулы Симпсона проведя следующие рассуждения.

В формуле Симпсона используются два подинтервала на интервале [®k; ¯k]

Для получения критерия точности используем усложненную квадратурную формулу Симпсона, разделив интервал [®k; ¯k] на два равных подинтервала [®k1; ¯k1] и [®k2; ¯k2]: Здесь понадобятся два дополнительных вычисления функции f(x). В результате получим

где ®k1 = ®k; ¯k1 = ®k2 = °k; ¯k2 = betak; °k1- средняя точка подинтервала [®k1; ¯k1] , °k2- средняя точка подинтервала [®k2; ¯k2]

В формуле (57) длина шага равна h=2, что соответствует множителю h=6 в равенстве (57). кроме того существует точка ±2 2 [®k; ¯k], такая, что

Предполагая, что f(4)(±1) = S(®k1; ¯k1) из равенств (56) и (58) получим соотношение

Из последнего следует, что

18

В приложении приводится программа в системе MATLAB реализующую описанную процедуру.

9. Интегралы с особенностями Очевидно, что несобственные интегралы, не вычисляются по простейшим квадратурным формулам и для преодоления трудностей их вычисления часто помогают различные прие-

19

Каждый из интегралов в правой части вычисляется по формуле НьютонаЛейбница и вопрос вычисления интеграла с особенностью сводится к вычислению ряда.

10. Кратные интегралы.

Вычисление интеграла по некоторой области D

ZZ

I(m) = I(m)(f; D) = ¢ ¢ ¢ f(x1; x2; ¢ ¢ ¢ ; xm)dx1 ¢ ¢ ¢ dxm

D

можно свести к вычислению определенных интегралов Rab f(x)dx Однако сложность соответствующих алгоритмов и число арифметических операций для вычисления интеграла с заданной точностью возрастает с ростом размерности и дополнительное затруднение возникает для областей общего вида. Наиболее распространенным в этом случае алгоритме является метод Монте-Карло. Суть метода в следующем. Будем считать, что область интегрирования лежит внутри единичного куба D1 = fjxij < 1; i = 1; ng. Доопределим функцию f(x); x = (x1 < ¢ ¢ ¢ ; xn) вне области D нулем. Пусть далее имеется датчик случайных чисел, который выдает случайные числа, лежащие на отрезке [0; 1] с плотностью распределения вероятности, равной единице. С помощью этого датчика построим последовательность точек Pk; k = 1; 2; ¢ ¢ ¢ и составим числовую последовательность

1 Xk

Sk = k j=0 f(Pj):

Легко представить, что при произвольном ² > 0 вероятность того, что погрешность I(m) ¡ Sk меньше ²

jI(m) ¡ Skj < ²;

P (jI(m) ¡ Skj; ²) ! 1

k!0

с ростом числа k испытаний стремится к единице. Имеются соответствующие теоремы.

Погрешность вычислений в предположении существования конечной дисперсии оценивается при этом по формуле

Rk = 0:6745rDk(f); D(f) = k1 Xk f(P (j))2 ¡ Sk2

j=0

20