DE_1

(t, x) D угловой коэффициент. Угловой коэффициент в данной точке определяет единственную прямую – направление, проходящую через эту точку с этим угловым коэффициентом. Поэтому дифференциальное уравнение задает поле направлений в области D. Таким образом, задача о решении дифференциального уравнения геометрически формулируется так: найти дифференцируемую кривую, в каждой точке которой касательная к ее графику совпадает с направлением, заданным в этой точке правой частью дифференциального уравнения (1.2).

Поле направлений можно представить себе наглядно, если провести в области D кривые одинакового углового коэффициента – "изоклины": k = f(t, x). Вдоль такой кривой угол наклона постоянен. Иногда это помогает понять поведение интегральных кривых.

Пример 1.1 Построить изоклины и нарисовать примерный ход интегральных кривых для дифференциального уравнения x2 + y2y′ = 1 (указание: после решения задачи сравните полученную картину интегральных кривых с точной после интегрирования, которая получается, если заметить, что y2y′ = (1/3)d(y3)/dx).

Теперь мы можем сформулировать задачу Коши или задачу с начальными условиями для нахождения единственного решения заданного ДУ. Правая часть уравнения определена в области D R × Rn. Рассмотрим точку (t0, Y0) D.

Определение 1.3 Задачей Коши с начальными данными (t0, Y0) называется задача о построении такой вектор-функции (решения) Y (t) ДУ, которая удовлетворяет условию Y (t0) = Y0.

В дальнейшем будет показано, что при достаточно слабых ограничениях на правую часть ДУ решение задачи Коши существует и единственно.

Рассмотрим два частных случая задачи Коши: n = 1 (скалярное дифференциальное уравнение) и дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной. В первом случае область D двумерна, (t0, x0) D, и нужно найти скалярную дифференцируемую функцию x(t), удовлетворяющую условию x(t0) = x0. Во втором случае задание точки (t0, Y0) D означает, в силу формул замены (7.1), что мы должны задать в начальный момент t = t0 значения функции x(t0) = y10 и значения, которые будут принимать ее производные до порядка n −1 включительно в этой точке: x′(t0) = y20, . . . , x(n)(t0) = yn0 .

1.3Поведение решений

При изучении процессов, которые описывает изучаемое ДУ (или система ДУ), часто одним из наиболее важных (и трудных) вопросов является следующий: как ведет себя данное решение или класс изучаемых решений при больших значениях "времени" , т.е. независимой переменной. Особенно важен этот вопрос при изучении т.н. автономных систем ДУ, т.е. таких, где время явно не входит в правую часть системы. Например,

10

закон всемирного тяготения Ньютона при применении его к планетам Солнечной системы можно считать с хорошей точностью неизменным во времени, поэтому уравнения небесной механики, описывающие движения небесных тел, не зависят от времени, а они и определяют правые части этих уравнений.

Вопросом такого типа является, например, следующий: ведет ли себя изучаемое решение периодически, или оно стремится к периодическому, если мы достаточно долго подождем? Вообще, как оно себя ведет при больших временах? Подобные вопросы имеют часто жизненно важный интерес для нас. Один из таких вопросов: при астрономических наблюдениях мы обнаружили, что некое малое небесное тело (астероид) прошел в этом году на ближайшем расстоянии от Земли 40000 км. Можем ли гарантировать, зная уравнения его движения, что и в следующий раз его сближение с Землей будет таким же, или оно ударится о Землю, как тунгусский метеорит?

Отвечать на такие вопросы весьма сложно, один из наиболее активно развивающихся сейчас разделов теории дифференциальных уравнений, т.н. теория динамических систем, как раз старается отвечать на такие вопросы и разрабатывает методы для ответа на эти вопросы. Чтобы пояснить эти вопросы и возможные ответы на них геометриче-

уравнении k = 1. Перейдем к системе двух уравнений 1-го порядка в переменных θ, x = θ˙: θ˙ = x, x˙ = − sin θ. Используем программу, которая строит кривые (θ(t), x(t)) (траектории) на плоскости (θ, x). Ввиду того, что переменная θ меняется периодически, удобно строить кривые на цилиндре Ц, отождествляя точки (θ + 2πn, x) = (θ, x). Отметим важное свойство решений полученной системы: для нее существует функция H(θ, x) = x2/2 + 1 − cos θ, которая постоянна вдоль решений системы. Действительно, подставим предполагаемое решение (θ(t), x(t)) в функцию H и продифференцируем полученную сложную функцию по t, учитывая, что производные (θ′(t), x′(t)) равны правым частям системы, как решения:

Hxx˙ + H θ˙ = x(t)[− sin(θ(t))] + [sin(θ(t))]x(t) ≡ 0.

Поэтому на цилиндре (θ, x) параметрически заданные кривые θ = θ(t), x = x(t) лежат на линиях уровня функции H, и мы можем получить наглядное представление об этих кривых, построив слоение цилиндра на линии уровня (см. рис. 1.3). Наличие интеграла позволяет понизить порядок решаемого уравнения: из уравнения H(θ, x) = c выразим x как функцию от θ (и конечно c), подставим ее в правую часть первого уравнения, получаем скалярное уравнение, из которого находим решение θ(t, θ0, c) (θ0

– начальное значение решения в момент времени t = 0). Вторую координату решения систему получаем простой подстановкой в выражение для x. Оказывается, полученное дифференциальное уравнение для θ не решается в квадратурах, для его решения (в частности) были введены новые функции, называемые эллиптическими функциями, их свойства похожи на свойства тригонометрических функций, в которые они вырождаются в предельных случаях, но они не относятся к элементарным функциях (см. [3]). Интегрирование этого уравнения проведено ниже, в следующей главе.

11

2.4

1.6

0.8

y 0.0

-0.8

-1.6

-2.4

x

Рис. 1.1: Линии уровня гамильтониана для математического маятника

2. Уравнение с предельным циклом.

x˙ = εx − y − x(x2 + y2), y˙ = x + εy − y(x2 + y2).

Проверить, что x = cos t, y = sin t является решением системы, что изображает на плоскости эта параметрически заданная кривая? Эта кривая называется предельным циклом. Поведение кривых (x(t), y(t)), у которых пара функций x(t), y(t) является решением системы, изображено на рис. ?? и получено численным интегрированием на компьютере с помощью программы WinSet [9].

3. Знаменитая система уравнений Лоренца, описывающая приближенно движение жидкости или воздуха в горизонтальном слое между двумя проводящими пластинами, нижняя из которых подогревается (вспомните облака в виде параллельных валов при полете на самолете). Это один из важнейших примеров систем, устойчиво демонстрирующих нерегулярные (хаотические) колебания, см. рис. ??.

x˙ = −σ(x − y), y˙ = rx − y − xz, z˙ = −bz + xy.

1.4Формулировка теоремы существования

В математике теоремы существования играют важную роль, т.к. дают фундамент для поиска решений различных задач. В физике их роль не так существенна, они заменяются натурным или часто – компьютерным – экспериментом, однако по сути они также важны, т.к. подводят теоретическую базу под соответствующие математические модели. Кроме сказанного, хорошее (конструктивное) доказательство теоремы существования дает также и простейший вычислительный метод построения решений.

12

В теории ОДУ имеется простая весьма общая теорема существования, гарантирующая существование решений при довольно слабых ограничениях на правые части. В каком-то смысле можно сказать, что условия теоремы существования позволяют про нее забыть после того, как она доказана: для большинства приложений она выполнена. Этим ситуация существенно отличается от уравнений с частными производными, где теоремы существования приходится доказывать для различных классов уравнений отдельно.

Сформулируем теорему существования и единственности решений задачи Коши для случая скалярного дифференциального уравнения.

Теорема 1.1 Пусть в области D плоскости переменных (t, x) задано дифференциальное уравнение x˙ = f(t, x), а функция f и ее частная производная fx непрерывны в D как функции двух переменных (t, x). Тогда:

•для любой заданной точки (t0, x0) D существует такой интервал (a, b) изменения переменной t (a, b) и непрерывно дифференцируемая функция x(t), определенная на этом интервале, которая является решением дифференциального уравнения, т.е. ее график лежит в D, выполнено тождество x′(t) ≡ f(t, x(t)) и эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: x(t0) = x0);

•такое решение единственно в том смысле, что если имеется два решения с одинаковыми начальными условиями (данными Коши), то существует общий интервал изменения переменной t, содержащий точку t0, на котором оба решения совпадают, т.е. эти решения могут различаться только границами их интервалов существования по t.

Пусть теперь имеются два решения ДУ: x1(t), определенное на интервале (a, b) и x2(t), определенное на интервале (c, d), и предположим, что (c, d) (a, b). Тогда говорят, что решение x2 является продолжением решения x1. Аналогично вводится понятие

продолжения решения вправо или влево, если a = c, b < d или a < c, b = d, соответственно.

Графики решений дифференциального уравнения в области D будем называть интегральными кривыми дифференциального уравнения. Эти кривые проходят через каждую точку области D и любые две такие кривые либо не пересекаются, либо совпадают в силу единственности решения задачи Коши.

Покажем теперь, что условия теоремы существования и единственности почти оптимальны: при их нарушении может нарушаться условие единственности. Во-первых, покажем, что условия теоремы могут быть ослаблены, но она продолжает быть верной.

Пример 1.2 Рассмотрим дифференциальное уравнение x′ = |x|. Правая часть этого уравнения непрерывна, но производная по x имеет разрыв первого рода на прямой x = 0 на плоскости (t, x). Тем не менее, через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая. Действительно, прямая x = 0 является интегральной кривой. В полуплоскости x > 0 теорема существования удовлетворяется и уравнение становится линейным x′ = x, которое мы уже решали выше x(t) = x0 exp[t−t0],

13

x0 > 0, и эта формула дает решение задачи Коши с начальными данными (t0, x0). Графики этих функций – интегральные кривые – расслаивают полуплоскость x > 0 и при t → −∞ они стремятся к прямой x = 0, но не пересекают ее. В полуплоскости x < 0 уравнение превращается в линейное уравнение x′ = −x и его решениями являются функции x(t) = x0 exp[−(t − t0)], x0 < 0, графики которых также расслаивают эту полуплоскость и при t → ∞ каждая интегральная кривая стремится к прямой x = 0. Тем самым, на всей плоскости через каждую ее точку проходит единственная интегральная кривая, т.е. проверена теорема существования и единственности для этого уравнения (прямым интегрированием), хотя условия основной теоремы нарушены.

Теперь приведем пример, показывающий, что более сильном разрыве производной по x уже может не быть единственности.

Пример 1.3 Рассмотрим дифференциальное уравнение x′ = |x|1=2. Для его правой части первое условие теоремы существования выполнено (функция непрерывна), но нарушается второе условие теоремы: производная по x не является непрерывной в точках прямой x = 0 на плоскости (t, x) (эта производная уже является неограниченной при |x| → 0), но во всех остальных точках, в частности – в открытой верхней полуплоскости x > 0 и в открытой нижней полуплоскости x < 0 – теорема существования и единственности работает. Прямая x = 0 снова является интегральной кривой, однако через любую точку (t0, 0) на этой прямой проходит теперь бесчисленное множество решений уравнения: одно из них x = 0, другое – полу-парабола (t−t0)2/4, t ≥ t0,

– уходит в верхнюю полуплоскость, его продолжением можно взять решение – полупараболу −(t − t0)2/4, t ≤ t0, оно уходит в нижнюю полуплоскость, но бесчисленное множество других решений можно составить из отрезков оси t и двух полу-парабол: уходящую в верхнюю полуплоскость из правого конца отрезка и уходящую в нижнюю полуплоскость – из левого конца отрезка. Решение с начальными данными (t0, x0),

x0 > 0, из верхней полуплоскости получается интегрированием равенства дифферен-

√

циалов dx/ x = dt и затем выбором постоянной в соответствии с начальными условиями, оно дается формулой x = (t − t0 + 2√x0)2/4, t ≥ t0√− 2√x0. Эта квадратичная функция имеет критическую точку на оси t, t = t0 − 2 x0, и поскольку в верхней полуплоскости уравнение имеет вид x′ = x1=2 > 0, то нужно взять от этой параболы ее половину, соответствующую части графика с положительной производной. Ана-

Дальнейшие обсуждения вопросов, связанных с теоремой существования и единственности, в частности – ее обобщения, продолжение решений, вопросы о зависимости решений от начальных условий и параметров, входящих в правые части уравнений, мы отложим до главы 10. Сейчас мы перейдем к изучению и интегрированию некоторых типов уравнений, решаемых в квадратурах.

14

Глава 2

Некоторые уравнения, интегрируемые в квадратурах

2.1Скалярные дифференциальные уравнения

В этом параграфе мы изучим некоторые типы скалярных уравнений, интегрируемые в квадратурах, т.е. такие дифференциальные уравнения, для которых решения можно выразить в виде элементарных функций, интегралов от элементарных функций или обратных функций от них. Предварительно сделаем несколько полезных замечаний. Мы рассматриваем скалярные дифференциальные уравнения, поэтому наше разделение переменных на зависимую и независимую часто искусственно: иногда удобно, для облегчения решения уравнения, эту зависимость обратить, т.е. считать независимую переменную зависимой и наоборот, при этом уравнение нужно записать в виде:

dxdt = f(t, x) −→ dxdt = 1/f(t, x).

Другая форма записи уравнения, в которой переменные совсем равноправны, это т.н. симметричная форма записи дифференциального уравнения, использующая известное свойство дифференцируемой функции: если производная dxdy функции y(x) существует, то ее дифференциал есть dy = y′(x)dx, т.е. если производные двух функций равны, то и их дифференциалы равны и наоборот. Поэтому дифференциальное уравнение x′ = f(t, x) можно переписать в виде, называемом симметричной формой дифференциального уравнения: dx − f(t, x)dt = 0, или P (t, x)dx + Q((t, x)dt = 0, умножая, при необходимости, обе части дифференциального равенства на нужную функцию от двух переменных.

1. Линейные дифференциальные уравнения. Так называют уравнения, у которых функция f в правой части является линейной по зависимой переменной x : f = a(t)x + b(t) с функциями a, b, определенными и являющимися непрерывными на некотором общем интервале (α, β), который может быть и бесконечным. В этом случае теорема существования и единственности справедлива в области вида D = (α, β) × R.

15

Рассмотрим сначала случай однородного линейного дифференциального уравнения b ≡ 0: x˙ = a(t)x. Это уравнение имеет очевидное решение x ≡ 0, поэтому, в силу единственности решения, никакое другое решение x(t) не может обращаться в нуль при t (α, β). Значит можно отдельно рассматривать решения, графики которых лежат в полуплоскости x > 0 и соответственно x < 0. Кроме того, уравнение обладает свойством симметрии: если x(t) – решение уравнения, то и x1(t) = −x(t) его решение, поэтому достаточно найти решения, графики которых лежат в верхней полуплоскости.

Перепишем дифференциальное уравнение в виде равенства дифференциалов по переменным x и t, рассуждая следующим образом: если x(t) есть решение уравнения, то имеет место тождество x′(t) ≡ a(t)x(t), поэтому дифференциал функции x(t) равен: dx(t) = x′(t)dt = a(t)x(t)dt, откуда, деля обе части на положительную функцию x(t),

получаем

dx(t) ≡ a(t)dt.

Используя инвариантность формы первого дифференциала (независимость от того, является ли дифференцируемая функция независимой или сама является функцией от другой переменной), можем переписать это равенство в виде

dxx = a(t)dt.

Интегрируя дифференциалы справа и слева получаем равенство

∫

ln |x| = a(t)dt + C,

с произвольной постоянной C. Поскольку мы ищем положительные решения, то знак модуля можно опустить и после потенцирования получаем:

∫

x(t) = eC e a(t)dt.

Переобозначим постоянную L = eC . Мы получили, что все положительные решения однородного уравнения имеют вид

∫

x(t) = Le a(t)dt, L > 0.

Чтобы получить отрицательные решения достаточно взять в этой формуле постоянную L отрицательной, т.к. в силу указанной выше симметрии полученная функция также будет решением. При L = 0 получаем нулевое решение. Теперь докажем, что мы получили все решения задачи Коши: для любых заданных начальных условий (t0, x0) D существует постоянная L, которая дает решение уравнения с этими начальными данными. Для этого в полученной формуле запишем первообразную в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом:

∫ t

x(t) = Le t0 a(s)ds.

16

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно x, которое решается указанным выше способом. Областью определения исходного уравнения является плоскость R2 переменных (x, y), из которой выброшены прямые yk = kπ. Отметим одно полезное свойство этого уравнения: оно не меняется (инвариантно) относительно группы сдвигов плоскости (x, y) → (x, y + kπ). Поэтому достаточно решить его в полосе 0 < y < π, остальные решения получаются сдвигом по y. В полосе sin y > 0 и решение однородного уравнения равны x = sin y, а решение неоднородного уравнения получается в виде x = c sin y − sin y cos y. Напишите решение задачи Коши с начальными данными (y0, x0).

1а. Уравнения Бернулли и Риккати. Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнения x′ = a(t)x + b(t)xn, n ≠ 0, 1. Оно сводится к линейному заменой y = x1−n. Дифференциальным уравнением Риккати называется уравнение x′ = a(t) + b(t)x + c(t)x2. Если a(t) ≠ 0, то это уравнение, вообще говоря, не решается в квадратурах (Лиувилль1). Если это уравнение имеет известное частное решение x0(t), то уравнение сводится к уравнению Бернулли заменой переменной y = x−x0(t). В случае постоянных коэффициентов a, b, c уравнение интегрируется, т.к. является уравнением с разделяющимися переменными.

Задача 2.1 Проинтегрировать уравнение, найти решения и построить интегральные кривые на плоскости (t, x). Выяснить различия в поведении решений при разных знаках дискриминанта квадратного трехчлена.

2. Уравнения с разделяющимися переменными. Так называют скалярные дифференциальные уравнения, у которых правая часть имеет вид f(t, x) = p(t)q(x). Область определения D функции f есть прямое произведение областей определения функций p и q. Функцию p считаем непрерывной в области ее существования, а функцию q – дифференцируемой в ее области существования. Тогда в D справедлива теорема существования и единственности. Рассмотрим прямые x = xn в D, где q(xn) = 0, они являются интегральными кривыми решений x(t) ≡ xn. Между двумя соседними прямыми функция q не обращается в нуль и сохраняет знак, если она непрерывна в этой полосе. Из теоремы существования и единственности следует, что график решения не может пересекать прямые x = xn. Рассмотрим полосу xn < x < xn+1, предполагая, что в ней функции q, q′ непрерывны, и запишем в ней уравнение в виде равенства двух дифференциалов, рассуждая, как и выше в случае линейного однородного уравнения (которое одновременно является и уравнением с разделяющимися переменными):

dx = p(t)dt. q(x)

Интегрируя непрерывные функции в обеих частях, получаем равенство

1Жозеф Лиувилль (24.03.1809 — 8.09.1882) – известный французский математик

18

где в постоянную объединены обе постоянные, возникающие при получении первообразных в правой и левой частях. Теперь, чтобы получить явную зависимость x от t, нужно найти обратную функцию для Q. Такая функция существует, т.к. Q′ = 1/p ≠ 0, т.е. функция Q строго монотонна. В явном виде это сделать не всегда возможно, да и выразить интеграл в виде элементарных функций не всегда удается, но теоретически мы можем сказать, что соотношение Q(x)−P (t) = C определяет решения дифференциального уравнения. Через каждую точку области D проходит, по теореме существования и единственности, единственная кривая, являющаяся графиком соответствующего решения.

В качестве примера уравнений с разделяющимися переменными рассмотрим теорию гладких динамических систем на прямой или на окружности. Это теория изучает свойства решений автономных (т.е. не зависящих от времени) дифференциальных уравнений на больших временах, т.е. при t → ±∞, не используя конкретный вид решений (который может и не существовать в виде элементарных функций). Рассмотрим такое уравнение x˙ = f(x), функция f(x) предполагается по крайней мере 1 раз дифференцируемой на некотором интервале (a, b), где она определена. Часто таким интервалом служит вся числовая прямая. В случае периодичности функции f по с периодом L естественной областью определения этой функции является окружность S длины L. Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Предположим, что функция f имеет конечное число нулей x1, . . . , xn на рассматриваемом интервале (a, b) (или окружности). Область определения D уравнения есть горизонтальная полоса R × (a, b), прямые x = xk делят основную полосу D на полосы между соседними постоянными решениями. В случае окружности естественной областью определения D является цилиндр R × S. Основным свойством автономных дифференциальных уравнений является следующее: если x(t) является решением уравнения, то x(t + c) также является решением при любом c R. Это свойство проверяется непосредственной подстановкой в уравнение. Отсюда следует, что зная одну интегральную кривую в полосе между соседними постоянными решениями, мы получим их все сдвигами вдоль оси t. Поведение решение вблизи постоянного x = xk (стремится ли x(t) к xk при t → ∞ или t → −∞) зависит от локальных свойств функции f вблизи точки xk.

Задача 2.2 Докажите, что если производная f′(xk) < 0, то решения с начальной точкой вблизи прямой xk стремятся при t → ∞ к этому решению, а если f′(xk) > 0, то решения с начальной точкой вблизи прямой xk стремятся при t → −∞ к этому решению.

Задача 2.3 Доказать что в полосе между двумя соседними постоянными решениями (xk−1, xk) любое решение переходит с прямой x = xk−1 + ε на прямую x = xk − ε за конечное время, одинаковое для всех таких решений.

С учетом результатов этой задачи, мы получаем следующее поведение решений рассматриваемого уравнения: любое решение с начальной точкой в полосе между соседними постоянными решениями стремится при t → ∞ или t → ∞ к граничному решению.

19