DE_1

Идея метода состоит в том, чтобы доказать, что полученная таким образом последовательность функций определена и непрерывна на одном и том же отрезке по t и сходится равномерно по t на этом отрезке к некоторой непрерывной функции x(t), которая будет решением интегрального уравнения (10.2). Тогда, в силу леммы, она будет и решением дифференциального уравнения.

Для доказательства того факта, что все члены последовательности определены и непрерывны на одном и том же интервале, и равномерной сходимости последовательности, мы построим некоторый прямоугольник Π : [t0 − δ, t0 + δ] × [x0 − d, x0 + d] D, который будет содержать графики всех функций последовательности. Для этого выберем величины δ, d. Сначала найдем некоторые положительные числа δ0, d0 из условия, чтобы полученный замкнутый прямоугольник Π0 принадлежал D. Поскольку D – открытое множество, такие достаточно малые числа существуют. В таком прямоугольнике, в силу его компактности, непрерывные функции |f| и |fx| ограничены: |f| ≤ M, |fx| ≤ K. Для нахождения чисел δ, d оценим разность

∫ t ∫ t

|x1(t) − x0| ≤ | f(s, x0)ds| ≤ | |f(s, x0)|ds| ≤ M|t − t0|.

t0 t0

Полученная оценка показывает, что если выполнено неравенство δ ≤ d/M, то |x1(t) − x0| ≤ M|t − t0| ≤ Mδ ≤ d. Поэтому график функции x1 при t [t0 − δ, t0 + δ] будет лежать в прямоугольнике Π Π0. Но тогда, предполагая по индукции, что графики всех функций последовательности до номера n лежат в прямоугольнике Π, в силу аналогичного неравенства

∫ t ∫ t

|xn+1(t) − x0| ≤ | f(s, xn(s))ds| ≤ | |f(s, xn(s))|ds| ≤ M|t − t0|

t0 t0

получим, что и график функции xn+1 лежит в Π. Непрерывность каждой функции в полученной последовательности следует по индукции из непрерывности функции x0 и из того факта, что на каждом шаге следующая функция получается интегрированием функции f(t, xn(t)), которая является непрерывной функцией от t, поскольку функция двух переменных f(t, x) является равномерно непрерывной в прямоугольнике Π. Итак, мы получили последовательность непрерывных функций {xn}, определенных на одном и том же отрезке [t0 − δ, t0 + δ], и равномерно ограниченных на этом отрезке.

Покажем теперь, что эта последовательность функций является равномерно сходящейся к некоторой (тогда непрерывной) функции x(t). Для этого покажем, что эта последовательность является последовательностью Коши. Перейдем от последовательности к соответствующему ей функциональному ряду: xn(t) = x0 +(x1(t) −x0)+(x2(t)− x1(t)) + · · · + (xn(t) − xn−1(t)), т.е. xn(t) есть частичная сумма ряда

∑∞

Сходимость последовательности эквивалентна сходимости полученного ряда. Покажем, что полученный ряд мажорируется сходящимся функциональным рядом. Для оценки

90

общего члена ряда имеем, используя неравенство Лагранжа |f(t, x)−f(t, y)| ≤ |f˜x||x−y|:

∫ t ∫ t

|xn+1(t) − xn(t)| ≤ | |f(s, xn(s)) − f(s, xn−1(s))|ds| ≤ K| |xn(s) − xn−1(s)|ds|. (10.5)

t0 t0

При n = 0 мы имели оценку |x1(t) − x0| ≤ M|t − t0|, подставляя которую в правую часть (10.5) и интегрируя, получаем при n = 1

|x2(t) − x1(t)| ≤ (M/K)K2|t − t0|2/2.

Подставляя полученную оценку в правую часть (10.5) и интегрируя, получаем при n = m

|xm+1(t) − xm()| ≤ (M/K)Km+1 |t − t0|m+1 .

(m + 1)!

Из этих оценок мы получаем, что ряд (10.4) мажорируется равномерно сходящимся функциональным рядом

|x0| + ∑∞n=1 |xn(t) − xn−1(t))| ≤ |x0| + (M/K)[K|t − t0| + · · · + Km|t − t0|m/m! + · · · ] =

|x0| + M (exp[K|t − t0| ] − 1) /K.

Таким образом, ряд, а вместе с ним и последовательность непрерывных функций xn, равномерно сходится к непрерывной функции x. Докажем, что полученная функция является решением интегрального уравнения (10.2). Для этого перейдем к пределу в

и равномерной сходимости последовательности xn(t), можно перейти к пределу под знаком интеграла. Следовательно, после перехода к пределу получаем тождество (10.2) при всех t.

Для завершения доказательства теоремы нужно показать единственность решения. Предположим, что имеются два решения x1(t), x2(t), удовлетворяющие заданному начальному условию и определенные на своих интервалах (a, b), (c, d), содержащих точку t0. Тогда существует общий интервал (α, β), содержащий точку t0, на котором определены оба эти решения. Рассмотрим разность этих решений x1(t) − x2(t).

Для нее имеем следующую оценку:

∫ t ∫ t

|x1(t) − x2(t)| ≤ | |f(s, x1(s)) − f(s, x2(s))|ds| ≤ K| |x1(s) − x2(s)|ds|.

t0 t0

стве [t0, T ) функция |x1(t) − x2(t)| не всюду равна нулю, то функция ∆(t), в силу ее монотонности, строго положительна на некотором подмножестве вида (t , T ], здесь t

– точная нижняя грань тех значений t < T , на которых ∆(t) положительна. Поэтому возможны 2 случая: 1) t > t0 и 2) t = t0. В первом случае на отрезке [t0, t ] функция

91

∆(t) тождественно равна нулю, а тогда, поскольку подынтегральная функция неотрицательна и непрерывна, то |x1(t) − x2(t)| ≡ 0 на этом отрезке. Во втором случае для любого достаточно малого ε > 0 функция ∆(t) строго положительна на отрезке [t0 +ε, t], но при ε → 0 получаем ∆(t0) = 0. Используя определение ∆(t), получаем неравенство

∆′(t) ≤ K∆(t),

интегрируя которое на промежутке [t0 + ε, t] получаем

∆(t) ≤ ∆(t0 + ε)e[K(t−t0−")].

Перейдем в этом неравенстве к пределу при ε → 0 и получим неравенство ∆(t) ≤ 0. Поскольку ∆(t) неотрицательна, то ∆(t) ≡ 0 на [t0, t], а поэтому и |x1(t) − x2(t)| ≡ 0 на этом отрезке. Аналогичное рассуждение применимо на полуинтервале [T, t0), T < t0, и оно также дает тождество |x1(t)−x2(t)| ≡ 0 (проведите соответствующие рассуждения). Тем самым мы получаем утверждение о единственности.

10.1Другие теоремы существования

Условия теоремы существования и единственности, доказанной выше, могут быть ослаблены, при этом выводы теоремы остаются справедливыми. Действительно, если внимательно проанализировать доказательство теоремы, то в нем, по существу, используется только непрерывность функции f в области D и выполнение в этой области следующего неравенства:

при некотором положительном K. Выполнение этого неравенства позволяет провести все оценки, приводящие к сходимости ряда для решения интегрального уравнения (10.2), т.е. получить существование решения, а также его единственность. Про функцию, удовлетворяющую неравенству (10.6), говорят, что она удовлетворяет условию Липшица по переменной x. Таким образом, теорема существования и единственности может быть сформулирована в следующем ослабленном виде:

Теорема 10.2 Для любого дифференциального уравнения (10.1) с функцией f, определенной в области D, где она является непрерывной и удовлетворяет условию Липшица (10.6), справедливо следующее утверждение:

1) при любом заданном начальном условии (t0, x0) D существует решение уравнения (10.1), определенное на некотором интервале (t1, t2), удовлетворяющее начальному условию, т.е. при всех указанных значений t выполнено: а) (t, x(t)) D, б) x′(t) ≡ f(t, x(t)), для t (t1, t2) и в) x(t0) = x0;

2) такое решение единственно в следующем смысле: если x1(t), x2(t) – два решения уравнения, удовлетворяющие каждое одному начальному условию и определенные соответственно на интервалах (a, b) t0, (c, d) t0, то существует общий интервал (α, β) t0, принадлежащий пересечению интервалов (a, b) ∩ (c, d), на котором оба решения совпадают: x1(t) ≡ x2(t).

92

При еще более слабых условиях теорема существования, но уже без единственности, была доказана Пеано2 (см. например, [19]), в ней требуется только непрерывность функции f в области D. Построены примеры [19], показывающие, что при этих условиях через каждую точку области D проходит бесчисленное множество решений дифференциального уравнения.

И наконец, сформулируем классическую теорему существования Коши для дифференциального уравнения с аналитической правой частью, т.е. когда функция f, задающая дифференциальное уравнение, является голоморфной функцией от (t, x) D. Это означает, что в окрестности любой точки (t0, x0) D функция f разлагается в сходящийся степенной ряд по переменным (t − t0, x − x0).

Теорема 10.3 Предположим, что функция f, задающая дифференциальное уравнение. является голоморфной в области D и выбрана точка (t0, x0) D, задающая начальное условие. Тогда существует и единственно решение дифференциального уравнения x(t), удовлетворяющее условию x(t0) = x0. Эта функция является голоморфной в окрестности точки t0, т.е. представляется в этой окрестности сходящимся степенным рядом по t − t0.

Рассмотрим теперь те изменения, которые нужно внести в формулировки теоремы существования и ее доказательство, чтобы оно работало для многомерного случая x, f Rn, n ≥ 2. Напомним соответствующие понятия непрерывности для отображений f : D → Rn A : D → L(n, R). Тогда область D лежит в пространстве Rn+1 = R × Rn. Условия на вектор-функцию f : D → Rn остаются теми же самыми: вектор-функция f непрерывна в области D и ее производная fx, т.е. матрица Якоби по переменным x непрерывна в области D

10.2Глобальность существования решений для линейных уравнений и систем

Покажем теперь, что

Теорема 10.4 Для линейной дифференциальной системы

определенное при всех t (a, b).

Таким образом, для линейной системы любое решение существует на всем интервале по t, где определена правая часть системы. В этом смысл глобальности существования

2Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano, 1858—1932) — известный итальянский математик

93

решений в отличие от нелинейной системы, где теорема существования гарантирует существование решения локально в окрестности начального значения t0.

Доказательство. Заметим, что доказательство достаточно провести для случая однородной системы f ≡ 0, т.к. если теорема доказана для однородной системы, ее доказательство для неоднородной системы следует из формулы вариации постоянных. Рассмотрим теперь сегмент [t1, t2] (a, b), t0 (t1, t2). В силу непрерывности матрицыфункции A имеем неравенство ||A(t)|| ≤ M, t [t1, t2], где величина постоянной M зависит, вообще говоря, от выбранного отрезка [t1, t2]. Рассмотрим последовательные

Из этих оценок получаем, что мажорирующим рядом является следующий ряд, дающий

Ряд справа сходится равномерно на любом отрезке по времени. Поэтому равномерно сходится ряд слева и предельная функция x(t) является непрерывной функцией на t [t1, t2]. Переходя к пределу при k → ∞ в равенстве, определяющем последовательные приближения, получаем, как и выше в теореме существования, что x(t) является решением на отрезке t [t1, t2] интегрального уравнения, соответствующего линейному дифференциальному уравнению.

Единственность решения доказывается от противного. Предположим, что имеются два решения x(t), y(t) с одним начальным условием x0 при t = t0, определенные на одном и том же отрезке t [t1, t2] (a, b). Рассмотрим разность x(t) − y(t) и оценим ее, используя интегральное уравнение:

∫ t

Обозначим ∆ = maxt ||x(t) − y(t)||. Максимум левой части (т.е. ∆) не превышает в силу полученного неравенства величины M|t2 − t1|∆, откуда для ∆ получим неравен-

¯ ¯

ство (1 − q)∆ ≤ 0. Зафиксируем сначала отрезок [t1, t2] (a, b), тогда постоянная M определена. После этого выберем величину δ меньшей, чем M−1, и рассмотрим отрезки

94

[t0, t2] ≤ δ, [t1, t0] ≤ δ. Тогда получаем, что справедливо неравенство q = M|t − t0| < 1 и (1 − q)∆ ≤ 0 с положительной левой частью, поэтому ∆ ≡ 0. Следовательно, единственность доказана на отрезке [t0 − δ, t0 + δ]. Рассмотрим правый (или левый) конец отрезка [t0 − δ, t0 + δ] и примем его за новую точку t0 снова докажем единственность при продолжении вправо на отрезок длины δ]. Тогда, пока мы остаемся внутри отрез-

ром отрезков длины δ. Отсюда следует и существование и единственность на отрезке

10.3Продолжение решений

Как уже было сказано выше, теорема существования и единственности гарантирует существование решение по независимой переменной (у нас – времени) только в некоторой достаточно малой окрестности начального значения t0 : t (t0 − δ, t0 + δ). Для многих задач этого недостаточно, например, если нас интересует поведение решений на асимптотически больших временах, или нам нужно показать, что заданное решение продолжается на некоторый отрезок по времени (например, на период правой части). Тогда возникает вопрос о продолжении решения на возможно б´ольший интервал. Следуя [4], дадим следующее

Определение 10.1 Решение x(t), t (a, b) уравнения (10.1) называется продолжимым вправо за точку t = b, если существует решение y(t) этого уравнения, определенное на множестве (a, c), c > b, которое совпадает на t (a, b) с решением x(t). Решение y(t) называется продолжением x(t) вправо.

Аналогично определяется продолжение решения влево за точку a. Справедлива следующая простая

Теорема 10.5 Для продолжения решения x(t) вправо необходимо и достаточно, чтобы существовал предел lim x(t) = ξ при t → b и при этом (b, ξ) D.

Доказательство. Необходимость условия следует из определения решения и продолжения решения. Для доказательства достаточности рассмотрим решение уравнения с начальным условием (b, ξ) D. Это решение существует по теореме 10.1. Рассмотрим следующую функцию z(t) :

{

z(t) =

x(t) при t [a, b), y(t) при t [b, c).

Теперь рассмотрим функцию

∫ t

a

95

При t [a, b) эта функция совпадает с x(t), поскольку при этом z = x и по теореме 10.1 слева также будет x(t). При t [b, c) можно переписать u в виде:

∫ b ∫ t ∫ t

u(t) = x(a) + f(s, z(s))ds + f(s, z(s))ds = ξ + f(s, y(s))ds = y(t)

a b b

согласно определению решения y. Таким образом, при t [a, ) функция u является решением уравнения, совпадающим с x на [a, b), т.е. является продолжением x вправо за b.

Итак, имея решение x(t) задачи Коши с начальными данными (t0, x0), определенное на полуинтервале [t0, t1), можем продолжить его вправо за точку t1, если существует предел limt→t1 x(t) = x1 и точка (t1, x1) D. Этот процесс продолжения решения вправо можно продолжать, тогда мы получим последовательность точек (tk, xk) D. При этом решение продолжается на объединение полученных полуинтервалов. Здесь возможны две ситуации: 1) монотонная последовательность чисел tk неограниченно растет (если область D неограничена вправо по t), тогда решение продолжено на бесконечный полуинтервал [t0, ∞); 2) монотонная последовательность чисел tk ограничена сверху, тогда она имеет конечный предел t . Рассмотрим тогда последовательность точек (tk, xk) D.

96

Глава 11

Автономные системы

В этой главе мы введем некоторые основные понятия теории автономных систем дифференциальных уравнений. Эти понятия относятся к качественной теории дифференциальных уравнений [13] или, как ее сейчас называют, теории динамических систем [1]. Также мы познакомимся с простейшими методами построения т.н. фазовых портретов для систем двух автономных дифференциальных уравнений первого порядка.

Под автономной системой дифференциальных уравнений первого порядка пони-

мается система вида

x˙ = f(x), x D Rn,

т.е. системы, у которых правые части не зависят явно от независимой переменной, которую мы здесь всегда будем называть временем. Область D, в которой определена вектор-функция f, называется фазовым пространством системы. Это не всегда будет область из Rn, иногда естественной областью определения системы является некоторое многообразие (цилиндр, тор и более сложные многообразия).

Пример 11.1 Уравнение колебаний математического маятника, как мы знаем, описывается следующим дифференциальным уравнением второго порядка φ¨ + sin φ = 0 (см. главу 1). Введем новую переменную x = φ˙ (угловой момент маятника). Тогда в переменных (φ, x) получаем систему уравнений первого порядка

φ˙ = x, x˙ = − sin φ,

т.е. автономную систему. Ввиду периодичности правых частей по переменной φ, естественным фазовым пространством системы является не плоскость переменных (φ, x), а цилиндр S1 × R, где S1 окружность с циклической координатой φ (mod 2π). Например, система на плоскости имеет счетное множество состояний равновесия (πn, 0), а на цилиндре их только два: (0, 0) (π, 0).

Пример 11.2 Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений

x˙ = P (x, y), y˙ = Q(x, y),

97

где функции P, Q являются периодическими по каждой переменной с периодом 2π. Тогда естественным фазовым пространством системы является не координатная плоскость R2, а двумерный тор R2/2πZ2 c циклическими координатами (x, y) (modd 2π). Напомним, что R2 является группой по сложению, а 2πZ2 подгруппа этой группы пар чисел вида (2πm, 2πn), m, n Z. Поэтому R2/2πZ2 есть фактор-группа.

11.1Траектории, их свойства

Всюду в этой главе мы предполагаем, что правые части f являются непрерывно дифференцируемыми вектор-функциями в фазовом пространстве, что обеспечивает выполнение теоремы существования и единственности решений задачи Коши и непрерывную дифференцируемость решений по начальным условиям. Если x(t), t I R, является решением системы, то кривая в фазовом пространстве, заданная параметрически как x = x(t), называется траекторией системы. На траектории стрелкой указывают направление возрастания t при движении вдоль нее. Траектория называется состоянием равновесия (или особой точкой), если x(t) ≡ x0. Чтобы постоянная вектор-функция x(t) ≡ x0 была решением системы, должно выполняться равенство f(x0) = 0, т.е. состояния равновесия – это нули системы уравнений f(x) = 0, из которой их и находят.

Пример 11.3 Состоянием равновесия линейной однородной системы x˙ = Ax всегда является начало координат x = 0. Если det A ≠ 0, то других состояний равновесия нет, а если det A = 0, то все собственное подпространство, соответствующее собственному значению λ = 0, состоит из состояний равновесия.

Правые части системы x˙ = f(x) задают в каждой точке x фазового пространства касательный вектор f(x), т.е. в D Rn задано векторное поле. Траектория x(t) в каждой своей точке определяет касательный вектор x′(t) к этой кривой, который должен совпадать с вектором векторного поля в этой точке: x′(t) = f(x(t)). Таким образом, задача построения фазового портрета системы, т.е. установления разбиения фазового пространства на траектории, состоит в нахождении всех кривых, которые в каждой своей точке имеют касательным вектором вектор векторного поля. Задача эта весьма трудна и имеет полное решение только для некоторых классов систем.

Выясним некоторые основные свойства траекторий.

1.Если x(t) – решение системы, определенное на интервале t (a, b), то для любого числа c R вектор-функция y(t) = x(t+c) также является решением, определенным на интервале t (a − , b − ). Всем таким решениям соответствует одна и та же траектория

вфазовом пространстве.

2.Две траектории системы либо не пересекаются, либо совпадают. доказать

Следствие 11.1 Никакая траектория не может входит в состояние равновесия за конечное время, она может только стремиться к нему либо при t → ∞, либо при t → −∞.

98

3.Если x(t) – решение системы и существуют два различных значения t1, t2, t1 < t2, при которых x(t1) = x(t2), то x(t) – периодическое решение, т.е. существует такое T ≠ 0, что x(t + T ) ≡ x(t), t R. Этому периодическому решению соответствует замкнутая траектория, т.е. простая замкнутая кривая в фазовом пространстве без самопересечений.

4.Предварительная классификация траекторий. Траектория может быть только одной из трех типов: а) состояние равновесия; б) замкнутой траекторией; в) незамкнутой траекторией без самопересечений.

5.Предельные множества траекторий. Точка x называется ω-предельной точкой полутраектории x(t), t ≥ 0, если существует последовательность чисел tn → ∞, для которой выполнено: limn→∞ x(tn) = x . Множество всех ω-предельных точек данной полутраектории называется ее ω-предельным множеством. Аналогично, точка x называется α-предельной точкой полутраектории x(t), t ≥ 0, если существует последовательность чисел tn → −∞, вдоль которой выполнено limn→−∞ x(tn) = x . Множество всех α-предельных точек данной полутраектории называется ее α-предельным множеством.

Приведем простейшие примеры ω-предельных множеств полутраектории x(t).

Пример 11.4 Рассмотрим скалярное автономное дифференциальное уравнение x˙ = x(1 − x). Его состояния равновесия – точки x = 0, 1. Воспользуемся известными нам методами интегрирования этого уравнения, тогда получим решение с начальным условием x0 при t0 = 0 в виде:

x0et

x(t; x0) = 1 + x0(et − 1).

Поскольку состояния равновесия делят фазовое пространство R на 3 части x0 < 0, 0 < x0 < 1 и x0 > 1, то получаем следующие предельные множества для траекторий: 1) любая траектория на интервале 0 < x < 1 имеет своим ω-предельным множеством состояние равновесия x = 1, а α-предельным множеством – состояние равновесия x = 0. Найдите соответствующие предельные множества для полутраекторий на интервалах x < 0 и x > 0.

Пример 11.5 Рассмотрим систему двух автономных дифференциальных уравнений:

x˙ = αx − βy − αx(x2 + y2), y˙ = βx + αy − αy(x2 + y2).

Для исследования решений системы удобно перейти к полярным координатам x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. Тогда получим в полярных координатах:

ρ˙ = αρ(1 − ρ2), θ˙ = ω,

откуда получаем решения

1 + ρ20(e2 t − 1)

99