Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовые нормы. Понятов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

23.	y ex	ctgx	2	2
			3
	5		5x

25.	y 2ex cos x					2		3
					3
							x

27.	y	8		3sin x log5 x 5

			x

	y			2			3cos x 8x			4
29.

				3 x2
				3 x2
31.	y		x5		4ln x 7sin x 3
31.	y				4ln x 7sin x 3
				5
33.	y 6x						4		8tg x 7
33.	y 6x						2		8tg x 7
							x

35.	y 43				x 3ln x arcsin x 5
		ln x
37.	y	ln x							x 5cos x 3
37.	y								x 5cos x 3
				2
	y log2					x 5sin x				4	8
39.

										x3
								4		x3

24. y arcctg x ln3x 5 x 1

26. y arcsin x 21x2 7x 1

y tg x

2ln x 2

28.

30.

ln x

arctg x 4

32.

4x6

ex 4cos x 2

34.

3ctg x ex 5

36.

y 9x

arctg x 7

38.

y 2

4arctg x 7x

3 x

40.

y 4

3tgx 2ex

2.2. Правила дифференцирования

Найти производную функции.

x			x			x2	2ln x
1. y sin x		2		2.	y
	2					arcsin x

y arctgx ex

y arcctgx cos x

y ex arccos x

y sin x cos x ln x

7. y arcsin x 2x x2

y (x2 sin x)ln x

arccos x

10.

arctgx

ln x

11.

ln x 3x4

12.

x2 ex

arccos x

arcctg x

13.

arcsin x 1

14.

x2 sin x

ln x

15.	y	ex sin x
		x arccos x

17.	y	tgx	sin x

			x

19.	y (arctg x 1)ex
21.	y		sin x 3x
21.	y			ctgx
				ctgx
23.	y arcsin x ln x
25. y		arccos x ex				x3
27. y		tgx cos x
27. y			log3 x
			log3 x
29.	y		arcsin x ex
29.	y			ln x
				ln x
31.	y		arcctgx x2
31.	y			2	x
				2
33.	y		lg x 3x5
33.	y		arcsin x
			arcsin x
35.	y x4			cos x ex

2ex arcsin x

37.y

1cos x

x arccos x

39.y 7x

16.	y	3x 3x
16.	y	arctgx
		arctgx
18.	y ln x arcsin x
20.	y	arcsin x 3

		4	x	1
		4		1
					x		2
22.	y arccos x					x
22.	y arccos x					x
					3

24.y ctg x 3x

26.y arctg x ln x

28.	y	ex		2arctgx
				ctgx

30.	y		ctgx

		5	x	2x

32. y arccos x ln x

34.	y	ln x arctg x
		x2 2

36.	y log5 x arcsin x
38.	y	2ln x x2
		ctgx

	y	3x5 sin x
40.
		log2 x

2.3. Производные сложных функций

Найти производную функции.

1.	y sin3	3x	2.	y cos2 5x

	4			y tg3x cos 2x 2
3.	y sin 3x cos 5x		4.

5.	y ctg 3 (x 2x2 )		6.	y 3 sin 3x

7. y	e2 x e 3x		8.	y	sin 5x

		x 1			cos 4x
		x 1			cos 4x
			12

9. y (x2 3x 2)

11.	y (sin 4x 1)5

13.	y		sin									x 1

			cos										x 1
			cos										x 1
15.	y									1

		(1				cos 4x)													7
		(1				cos 4x)

17.	y			1 sin 2x

				(x					x					2		)
				(x					x							)

19.	y	ln							x 5

							2x 1
							2x 1
21.	y (tg 4x 3)3
	y									1
23.
																					3
		(1											cos 2x )								3
		(1											cos 2x )
	y													1
25.

			3 (ln 2x tg3x)4
			3 (ln 2x tg3x)4

27.	y					1 2x4
27.	y		ln(x x												2		)
			ln(x x														)

29.	y	3				sin 2x

					e			3x			3
					e						3

31.	y x2							1 2x x2
	y							1
33.

		3				x4				2
		3				x4				2
35.	y x 2x2
37.	y 2x 1 5																			1
37.	y 2x 1 5																	sin x
																		sin x
39.	y x2 1 cos2 x

10.

y ln(x4

3x 2)

12.

(2x

sin 3x)2

14.

ln(1 2x)

16.

tg 2x 5

ln(3x

)

18.

y 4

ax 1

1 bx

20.

sin(2x 1)

cos x 1

22.

y sin(3x) e4 x 2 3x

ln 2x 1

24.y sin(3x)

26.	y		sin(3x 1)

			cos 2x
			cos 2x

28.	y	tg 1 3x2
28.	y		cos 5x
			cos 5x

30.y 3 x 1

32. y ln(cos(3x2 2x)) 34. y ln2 3x 1 3x 1 2

36.y x2 2x 1

38.y sin4 2x2 1

40y 1 sin 2x 4

2.4. Производные от неявно заданных функций

Найти производные от неявно заданных функций с помощью: а) дифференцирования сложной функции;

б) частных производных.

1. sin y cos x		y x
3. ln sin y x y2	x3

5. arcsin y 2x y3 x2

7. yx cos x y tg x

9. arcsin x y2 cos y x

11. ctg xy y2 x4

13.	arcctg y y x2 cos x
15.	cos xy y3 sin y x
17.	tg x y x2	sin y
19.	tg x y x ln y x
21.	cos y2 x2 x y
23.	x xy sin y3
25.	arctg xy x3 y3
27.	y2 cos x tg x y
29.	ln x y ex	sin y

31.	ln y cos x		y x
33.	ln cos y x y3 x3
35.	arctg x2 y x y2 x2
37.	yx ln x y sin x
39.	cos x y2 ln y x

2. cos y x arcsin x y

4. y x cos x y ctg x

6. y2 x y sin y x

8. sin yx
	y2 x2

10. sin xy y2 cos y x

12.cos y x x y

14.arcsin x y y3 x2

16.sin y x y2 x2

18.y2 x2 cos x y 2x

20.tg x y x2 cos y x

22.y2 x2 cos x y 2x

24.arcctg x y x2 xy

26.xy sin x tg x2 y2

28.	arcsin xy x3 y2
30.	arccos x y x2 cos y
32.	cos y x 2y x
34.	y x sin x y tg x
36.	y3 1 x cos y x
	2y x
38.		y2 x2
40.	cos xy y2 sin y x

2.5. Производные от функций, заданных параметрически

1.	x tg t,	y		1			.

				sin	2
						t
3.	x cos 3t,		y sin2 t
5.	x t2 t3 ,		y cos 2t3
7.	x t 3t2 ,		y cos 3t 5
9.	x t ln sin t,			y ln cos t
11. x cos2 t,			y 4sin t

2. x arcсrct,

4. x 2t t2 ,

6. x 2t2 t,

8. x 2 5t2 ,

10. x 3x 1,

12. x 3sin 2t,

y 4 cos3 t

y 3t 5 3 y ln2 t

y sin 2t 3 y tg 4t 1

y 3cos2 t

13.	x 8t3 ,				y ln 3t 5
15. x cos3 t,							y ln t
17.	x sin 2 5t ,							y 5 t3
19.	x t3 t,						y ln(2t 3)
21.	x tg 2 t,					y sin t.
23.	x cos(5t 2),							y 2sin t
25.	x t t5 ,						y cos 2t2 3
27.	x cos4 t,						y 2t 3t2
29.	x 2 ln tg t,							y ln ctg t
31.	x 2cos3 t,						y arcsin t
33.	x 2t4 ,					y ln 5t 7
35. x		1			,		y сtg t.

		cos	2
				t
37.	x sin 8 3t ,							y 2 3t2
39.	x ln(7t 2),							y t5 3t2

14.	x 1 cos 2t,							y sin 2t
16. x		1 t			,		y 2 4t 3

	1 t2
18.	x ln2 t,						y t3 1
20.	x t4			5t,			y 5 t 2
22.	x cos t,						y ln3 t
24.	x 2 t3 ,						y 4t 3 9
26.	x t3 3,						y ln(2t 7)
28.	x t 8t2 ,						y tg 2t 3
30.	x ln 2x 3 ,							y arctg t
32.	x sin t3 ,						y arccos t
34.	x 1 cos t,							y arcsin 2t
			2 t3					5
36.	x					,		y 9 6t
		1		t	2

38.	x ln4 t,						y t2 3
40.	x t7			6t,			y 2 t 9

2.6.Правило Лопиталя

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

1. lim

4x3 3x2

lim

sin 5x

lim

tg3x

sin

tg 6x

ln(1 x)

x 0

4. lim

ex 1

lim

sin 3x

sin 4x

2 x

ln(x 1)

x 0

x 0 e

x 0

7. lim

e3x

8. lim

tgx sin x

lim arcsin x ctg x

x sin x

x 0

10.

lim

1 cos x

11. lim

x 1

12. lim

ln(2x 3)

ln x

3x 1

x 0

x 1

tgx

x sin x

13. lim

14. lim

15. lim

tg 3x

x 0

x 0 xsin x

16.

lim

1 cos 2x

17. lim

e3x e2 x

18. lim

x arctgx

1 cos 3x

sin x

x 0

1 tgx

19. lim cos 2x

22.	lim	ln 3x
22.	lim	ctg 4x
	x 0	ctg 4x
25.	lim		2x2
25.	lim		3x	1
	x 0 e			1
28.	lim	1 cos 3x

				4x	2
	x 0			4x

1 2 sin x

31. lim

x 6 1 3tgx

	x2
34. lim			.
		2 x
x e
lim	ex e x			.
	ln 1 x
37. x 0

1 e2 x

40. lim ln 1 2x

x 0

ex esin x

20. lim

21.

lim

x sin x

x 0

x 1 x 1

ln x

23. lim

e2 x 1

24.

lim

sin 5x

sin 3x

ln(x 3)

x 0

2x arctg3x

26. lim

27.

lim

x 0 sin 3x

x 0

sin

2 x

tgx sin 2x

29. lim

30.

lim

4x sin 3x

x 0

32. lim

cos 2x

33. lim x ln2 x

1 tgx

x 0

35. lim

1 x2

36. lim

x ln 1 x

ln x

x 1

x 0

ex e x 2x

38. lim

39. lim

x sin x

1 e

x 0

2.7. Частные производные

Найти для функции двух переменных z = f(x, y) все частные производные первого и второго порядков, полный дифференциал и градиент.


1.	z cos x2 y

4.	z	2x3
4.	z	y
		y
7.	z exy 2 ln x

10. z 2x3 y2 y 1

13. z		x


		x 4 y
		x 4 y

16. z x2 ln x y 19. z arctg x3 y 20. 22. z ex y2

2. z 3x 2 y 2

z x ln 2x 3y

x y

z sin xy2

z y ln 7x 4y

11. z ln 2x 5y

12. z cos 5x 6y

14. z

2 y

15. z

2x y

17. z 3xy3 2x

18. z sin 4x 5y

z x cos x 2y

21. z y sin 7x y

23. z

2 y 2 24.

z xcos xy

z x 3y 3

26. z x sin 2x y

27. z ex 2 y

25.

28.

z sin x2 y

29. z ex 2 y 2

30.

z ctg 5y ln 2x

31. z

32.

z y4 x3 tg 5x

33.

z 3y5 x2 y 1

3x y

z cos x3 6y

34.

z exy 2

2x 35.

36.

z 2yx 2 y3

38. z

ln x y

37.

39.

x 2 y

x2 y3

3x y

40.

z arcctg

Раздел 3. Исследование функции

3.1. Исследование функций

Исследовать функции и построить графики.

1.	y			x

		x	2	1
		x		1

4. y		x2
	x	2	1

7.y x2 x12

(x 1)2

10.y (x 1)3

13. y(x3 1) x4

16. y 3 x2 x

19.y 3 x2

22. y 4x x3

25. y(x 1) x3

28. y x				1 x
31.	y				2

		x	2		9

1 x

5. y

11.

2x 1

(x 1)

14.

y (x2

1)3

17. y

2(x 1)

20. y

(x 1)2

23.

x4 x3

26. y x2 (1 x)

29. x2 y2

4(x 1)

32.

y 3x x 2 2

3.y 32x2 (x2 1)3

6.y 1x 4x2

9. y 1 3 (x 4)2

12.	y3 x2 (x2 4)3
15.	xy (x2 1)(x 2)
18.	y2 x2 x4
21.	у	x2	6x 13
			x 3

24.	y		x

		(x 1)(x 4)

27.	y x3 (x 2)2

30. x2 y2 (x 1)(x 2)

33. y 3x2 x3

34.	y	2x	35.	y		1	36.	y x	1
					x2	5x 6
		x 4							x

37.	y x2 2x 4		38.	y 3x x2 1			39.	y x2 x 4
40.	y 4x x3

3.2. Наибольшее и наименьшее значение функции

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x)на отрезке

[a;b].

1. y 3x4 16x3 2, [ 3;1]

3. y 2x3 32 x2 x, [1;2]

5. y x2 4x 3, [0;3]

7. y 6x2 x3 , [ 1;6]

9. y sin 2x x, [ 2 ; 2 ] 11. y x3 3x 1, [0,5;2] 13. y x3 12x 7, [0;3]

15. y x5 53 x3 2, [0;2]

17. y 3x4 6x2 , [ 2;2] 19. y x4 4x, [ 2;2]

21. y arctg 11 xx , [0;1]

23. y 8 0.5x2 , [ 2;2]

25. y x3 3x 3, [ 3;1,5]

27. y xx 11, [0;4]

29. y x4 2x 5, [ 2;2]

2. y 2x3 15x2 24x 5, [0;3]

4. y x3 2x2 3x 1, [ 3;1] 3

6. y x3 3x2 6x 2, [ 1;1]

8. y 3 x 1 3 x 1, [0;1]

10. y 2sin x cos 2x, [0; 2 ]

12. y 2x3 3x2 12x 1, [ 2;4] 14. y x2 6x 13, [0;6]

16.y x2 1, [ 2;3]

x2 1

18.

y x5 5x4 x3 1, [ 1;2]

y x 2

20.

x, [0;4]

22.

x3 , [1;3]

24.

y 3x4 6x2 1, [ 2;2]

, [0;3]

26.

y 3

2x 2

x2 x 1

28.

, [0;1]

30.

100 x2 , [ 6;8]

Раздел 4. Неопределенный интеграл

4.1. Непосредственное интегрирование

Вычислить неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием.

x2 4

1. x2 5 dx

3. 3 x2 4x 7dx

5. x 2 2 dx x

7. ( x 3 x )dx

x 3

9.x 5 dx

	e							e x
11.			x
			x									2
			1				cos					2		x		dx
							cos							x
										7
										7
13.			53 x2											3 dx
13.			53 x2								x			3 dx
											x
15.		3 2ctg						2 x					dx
15.			cos			2	x						dx
			cos				x
		(4

17.				x3							x )2					dx
					4		x

			1			2			4
			1			2									x3
19.																	dx
19.						x2											dx
		x				x2
						3 2
21.		x								dx


							x
						1)2
23.		(3		x2		1)2							dx

					x3
					x3

2. ( x 2)2 dx

4. 2x2 6 dx

6.			x3			2					dx

						x
						x
			(x2 1)2
8.																		dx
8.						x			3									dx
						x
		e													e x
10.					x
					x														2
						1										x			2			dx
																x
12.				(x2 9)2																dx
12.									x	4										dx
									x
									5											dx
14.

						9 3x2


				(1
16.				(1								x )2								dx
						3					x



																							2
								x					1										2

											3														dx
18.							2				3														dx
							2													x
			4								4
20.	4 x2		4				x3				4									x5				dx
				3
							x2
							x2
22.						5											dx

				9		3x							2
				9		3x


24.				34 x 24																	x3				dx
										3				x