ДПиДМО

второй позицией х(2); третья позиция этой записи, обозначим ее v(2), представляет собой управление, которое при реализации траектории применяется в состоянии х(2). Следующим за х(2) состоянием в синтезируемой траектории является х(3) = f (х(2), v(2)). Действуя описанным образом далее, мы последовательно получаем все состояния синтезируемой траектории. Процесс синтеза заканчивается отысканием принадлежащего траектории финального состояния.

Для реализации прямого метода Беллмана обозначим через М*(x) множество всех начальных х-траекторий системы Ω+ и введем в рассмотрение бикритериальные задачи

Для совокупностей эффективных в (4.33) оценок примем обозначение Е*(х).

Как очевидно,

Произвольное состояние х считается непосредственно предшествующим состоянию у, если состояние у относится к числу непосредственно следующих за состоянием х. Управление, переводящее систему Ω+ из состояния х в состояние у, обозначаем v[х, у]. Множество состояний системы, непосредственно предшествующих состоянию у, обозначаем Г(у).

Тогда

Синтез множеств Е*(у) на основании записанных рекуррентных соотношений выполняется поэтапно, в следующем порядке. На первом этапе фиксируем, что Е*(х0) = {(0, 0)}. На каждом следующем этапе построение очередного множества эффективных оценок выполняется для произвольного состояния у такого, что Е*(y) неизвестно, но множества Е*(х) для всех непо-

211

средственно предшествующих состоянию y состояний x уже построены.

Совокупность эффективных в задаче (4.29) оценок определяется по формуле

Равенства (4.34)–(4.36) – соотношения бикритериального динамического программирования, позволяющие реализовать прямой метод Беллмана для синтеза полной совокупности эффективных оценок в задаче (4.29).

Пример 4 . 3 . Дискретно управляемая система Ω+ определяется представленным на рис. 4.1 графом G+. Начальным считается состояние 1, множество финальных состояний одноэлементно: F = {6}. Требуется найти полную совокупность эффективных оценок в соответствующей задаче (4.29).

(4.32), последовательно получаем:

Е(6) = {(0, 0)}, Е(5) = {(1, 8) Е(6)} = {(1, 8)}; Е(4) = eff {(1, 4)Е(5), (7, 2)} = {(2, 12), (7, 2)}; Е(3) = eff {(1, 5) Е(5), (7, 1)Е(4)} = eff {(2, 13), (14, 3), (9, 13)} = {(2, 13), (14, 3)}; Е(2) = = eff {(1, 2) Е(3), (3, 8) Е(5), (4, 6) Е(4)} = eff {(3, 15), (15, 5), (4, 16), (6, 18), (11, 8)} = {(3, 15), (15, 5), (11, 8)}; Е(1) = eff {(2, 8)

212

Е(2), (7, 3) Е(3)} = eff {(5, 23), (17, 13), (13,16), (9, 16), (21, 6)} = {(5, 23), (17, 13), (9, 16), (21, 6)}. Совокупность оценок {(5, 23), (17, 13), (9, 16), (21, 6)} является искомой.

Для обеспечения возможности определения по произвольной эффективной в рассматриваемой задаче (4.29) оценке соответствующей Парето-оптимальной полной траектории, в процессе счета по общему рекуррентному соотношению (4.32) последовательно составляем записи списка переходов (СП). При этом управления, возможные в каждой нефинальной вершине i, отождествляем с исходящими из этой вершины дугами (i, j). Так как в каждой записи списка переходов второй позицией является i, в третьей позиции вместо пары (i, j) будем указывать только значение j. Согласно изложенному, при определении Е(5) в СП вносим запись ((1, 8), 5, 6). При определении Е(4) в СП вносим записи ((2, 12), 4, 5) и ((7, 2), 4, 6). При определении Е(3) в СП вносим записи ((2, 13), 3, 5) и ((14, 3), 3, 4). При определении

Е(2) в СП вносим записи ((3, 15), 2, 3), ((15, 5), 2, 3) и ((11, 8), 2, 4). При определении Е(1) в СП вносим записи ((5, 23), 1, 2), ((17, 13), 1, 2), ((9, 16), 1, 3) и ((21, 6),1, 3).

Пусть в построенной совокупности эффективных оценок выбрана оценка (21, 6). Требуется найти соответствующую полную траекторию. Действуем следующим образом. В списке переходов находим запись с первой компонентой (21, 6), вторая ее компонента должна быть 1. Условиям удовлетворяет запись ((21, 6), 1, 3). Следовательно, следующим за 1 состоянием траектории является 3. Стоимость этого перехода (7, 3). Получаем, что фрагмент искомой траектории, начинающийся в состоянии 3 и заканчивающийся в финальном состоянии 6, имеет стоимость (14, 3). В списке переходов находим запись с первой компонентой (14, 3) и второй компонентой 3. Условиям удовлетворяет запись ((14, 3), 3, 4). Поэтому следующим за 3 состоянием траектории является 4. Стоимость перехода из 3 в 4 равна (7, 1). Отсюда заключаем, что фрагмент искомой траектории, начинающийся в состоянии 4 и заканчивающийся в финальном состоянии, имеет стоимость (7, 2). В списке переходов находим

213

запись с первой компонентой (7, 2) и второй компонентой 4. Условиям удовлетворяет запись ((7, 2), 4, 6). Поэтому следующим за 4 состоянием траектории является 6. Состояние 6 – финальное, траектория определена полностью.

Способ 2 . Применяя рекуррентные соотношения (4.34)– (4.35), последовательно получаем:

Е*(1) = {(0, 0)}, Е*(2) = {(2, 8)}; Е*(3) = eff {Е*(2) (1, 2), (7, 3)} =

={(3, 10), (7, 3)}; Е*(4) = eff {Е*(2) (4, 6), Е*(3) (7, 1)} =

=eff {(6, 14), (14, 4), (10, 11)} = {(6, 14), (14, 4), (10, 11)}; Е*(5) =

=eff {Е*(2) (3, 8), Е*(3) (1, 5), Е*(4) (1, 4)} = eff {(8, 8), (4, 15), (5, 16), (7, 18), (15, 8), (11, 15)}= {(8, 8), (4, 15)}; Е*(6) =

=eff {Е*(4) (7, 2), Е*(5) (1, 8)} = eff {(13, 16), (21, 6), (17, 13), (5, 23), (9, 16)} = {(21, 6), (17, 13), (5, 23), (9, 16)}.

Полученное в итоге множество эффективных оценок совпадает с множеством оценок, построенных в результате применения первого способа.

Дадим общее описание метода встречного счета при синтезе полной совокупности эффективных в задаче (4.29) оценок. Идентично тому, как это было сделано в гл. 1, для рассматри-

ваемой системы Ω+ введем понятия разрезающего и минимального разрезающего подмножеств состояний. Подмножество промежуточных состояний М системы Ω+ называем разрезающим, если каждая траектория Т этой системы имеет в своем составе состояния из М. Разрезающее подмножество М* называем минимальным разрезающим, если среди его собственных подмножеств нет разрезающих. Введем также операцию сложения множеств векторов одинаковой размерности. Пусть Х и Y – два произвольных множества векторов одинаковой размерности. Через Х [+] Y будем обозначать совокупность всех векторов v, представимых в виде v = x + y, где x X и y Y.

Пусть М* – фиксированное минимальное разрезающее подмножество состояний. Реализуя метод встречного счета, прямым счетом определяем все множества Е*(х), х М*, и обратным счетом – все множества Е(х), х М*. Далее полная сово-

214

купность Е эффективных в задаче (4.29) оценок определяется по формуле

В многокритериальных задачах метод встречного счета часто оказывается более предпочтительным в сравнении с «однонаправленными» методами, т.к. число эффективных оценок для начальных и заключительных траекторий может иметь экспоненциально зависящий от длины траекторий порядок роста.

Перейдем к рассмотрению ситуации, в которой каждая траектория Т = {x0, x1, x2, …, xn} системы Ω+ характеризуется двумя величинами – суммарной стоимостью по первому показателю С1(Т), как это было выше, и максимальным из пошаговых платежей по второму показателю К2(Т), где

здесь М – множество всех полных траекторий системы Ω+. Полную совокупность эффективных оценок в задаче (4.37)

обозначим Е'. Введем в рассмотрение совокупность частных задач

где М(х) – множество всех заключительных x-траекторий системы Ω+. Совокупность эффективных в (4.38) оценок обозначим

Е'(x).

Очевидно, что

215

Для записи основного рекуррентного соотношения введем следующую операцию. Пусть u = (u1, u2) – произвольный двумерный вектор, а Y – любое множество двумерных векторов. Через u Y обозначим множество векторов, определяемое следующим образом. Вектор w = (w1, w2) принадлежит множеству u Y тогда и только тогда, когда в Y имеется вектор (у1, у2) та-

кой, что w1 = u1 + у1, w2 = max (u2, у2).

Далее имеем:

Равенства (4.39), (4.40) – рекуррентные соотношения динамического программирования, позволяющие реализовать обратный метод Беллмана для синтеза совокупности эффективных оценок Е' в задаче (4.37). Как очевидно, Е'(x0) = Е'.

В рассмотренных бикритериальных задачах критерии считались минимизируемыми. Синтез рекуррентных соотношений, позволяющих строить полные совокупности эффективных оценок для задач, в которых критерии являются максимизируемыми, проводится идентичным образом. Следует только отметить, что операция выделения из произвольного множества оценок М подмножества эффективных оценок eff (M ) в зависимости от того, являются критерии минимизируемыми или максимизируемыми, выполняется по-разному. Если, например, М = {(1, 7), (2, 4), (5, 5), (6, 4)} и решается бикритериальная задача с минимизируемыми критериями, то eff (M ) = {(1, 7), (2, 4)}; если же критерии задачи являются максимизируемыми, то eff (M) = = {(1, 7), (5, 5), (6, 4)}. Задача, в которой один критерий является максимизируемым, а другой минимизируемым, умножением максимизируемого критерия на (–1) сводится к задаче с двумя минимизируемыми критериями.

Рассмотрим несколько многокритериальных аналогов введенных ранее задач.

216

Задача оптимального распределения капиталовложений (ЗОРК) в бикритериальной постановке. Имеется денежная сум-

ма C и возможные сферы вложений S1, S2, …, Sn. Для каждой сферы St считаются известными монотонно возрастающие в нестрогом смысле функции ft (u) и ϕt (u), определяющие соответственно ожидаемую и минимальную гарантированную величины доходов, получаемых при вложении в данную сферу суммы u. Считается, что величина суммы, вкладываемой в каждую сферу, целочисленна; поэтому функции ft (u) и ϕt (u) можно положить заданными таблично. Требуется найти совокупность эффективных в рассматриваемой задаче оценок.

Сформулированную задачу назовем задачей Z. Введем в рассмотрение совокупность частных задач Z(k, V), где k {1, 2, …, n}, V {0, 1, …, С}. В задаче Z (k, V ) между сферами капиталовложений Sk, Sk+1, …, Sn. должна быть распределена сумма V. Множество эффективных в задаче Z(k, V) оценок обозначим Е(k,V). Как очевидно, для всех V {0, 1, …, С}:

Е(n, V) = (fn (V ), ϕn(V )). (4.41)

Для k {1, 2, …, n – 1}, V {0, 1, …, С} имеет место сле-

дующее равенство:

Последовательно конструируя множества Е(k, V) для все меньших значений параметра k, в итоге находим множество Е(1, С), совпадающее с искомой совокупностью эффективных в задаче Z оценок.

Многомерная многокритериальная задача о ранце. Матема-

тическая формулировка d-мерной задачи о ранце с n предметами и m аддитивными критериями имеет вид:

217

здесь p P.

Условимся далее обозначать через Cj и aj векторы (c1j, c2j, …,

cmj) и (a1j, a2j, …, adj) соответственно, j =1, n .

Пусть уже найдены значения E(k, p) для некоторого k и всех возможных p из P. Тогда значения E(k + 1, p) вычисляются по формуле

здесь k =1, 2, ..., n −1; p P .

Действительно, задача Z(k + 1, p) отличается от Z(k, p) дополнительным наличием булевозначной переменной хk+1. В слу-

чае i: 0 ≤ pi < aik+1 имеем E(k + 1, p) = E(k, p), так как допустимым оказывается только нулевое значение этой переменной.

Если же для всех i = 1, d имеет место ai k+1 ≤ pi , то для перемен-

ной хk+1 следует рассмотреть две возможности: хk+1 = 0 и хk+1= 1. При реализации первой возможности допустимым набором значений остальных переменных может быть обеспечен любой вектор совокупности E(k, p). При реализации второй возможности выбранным значением переменной хk+1 в критериальной векторфункции обеспечивается слагаемое Ck+1, допустимым набором значений остальных переменных в качестве второго слагаемого обеспечивается любой вектор совокупности E(k, p – ak+1). Объединив совокупности векторов, получаемых при реализациях обеих возможностей, и выделив из полученного множества эффективные оценки, получаем совокупность E(k + 1, p).

Решение задачи Z сводится к последовательному (сверху вниз) заполнению строк табл. 4.1. Заголовками строк являются

219

допустимые значения первого аргумента функции E(k, p), т.е. натуральные числа от 1 до n. Заголовками столбцов являются допустимые значения второго аргумента, т.е. векторы p = (p1, p2,

…, pd), удовлетворяющие условию 0 ≤ pi ≤ bi , i =1, d . Указанные векторы, общее их число

d

B= ∏(bi +1) ,

i=1

перечисляются как заголовки столбцов в лексикографическом порядке. В каждую клетку (k, p) таблицы вносится конструируемое в соответствии с (4.46), (4.47) множество векторов E(k, p). Процесс решения задачи Z заканчивается нахождением множества E(Z) = E(n, b).

Таблица 4 . 1

Таблица эффективных оценок

Изложенный метод решения задачи Z назовем алгоритмом Aранецмк . Отметим, что в частном случае, при m = 1, соотношения

(4.46), (4.47) очевидным образом упрощаются, алгоритм Aранецмк

окаывается совпадающим с изложенным в гл. 1 алгоритмом

Aкзр .

Для обеспечения возможности восстановления по любой эффективной оценке порождающего ее Парето-оптимального решения в процессе вычислений по соотношениям (4.46), (4.47)

будем последовательно составлять список T с записями σt = =< σ1t ,σt2 ,σt3 > , где σ1t – эффективная в очередной частной зада-

220