11
j = 1, . . . , n, то, пользуясь последовательным разложением, получаем
fi(ti+1, u, . . . , u) = fi+1(ti+1, u, . . . , u).
Отсюда и из (2.1) следует, что Fi и Fi+1 действительно Cn−1-непрерывны в узле ti+1. На рис. 6 приведены перекрывающиеся схемы де Бура для двух смежных отрезков B-сплайна третьего порядка.
|
|
|
|
|
|
|
|
f(u u u) |
|
|
|
|
|
|
|
g(u u u) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
s u |
|
KAAAA |
|
|
t u |
|
|
KAAAA |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
s r |
|
|
|
u r |
AAA |
|
t s |
|
|
u s |
AAA |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s r |
|
AAA |
|
|
t s |
AAA |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f(r u u) |
|
f(u u s) = g(s u u) |
|
|
|
|
g(u u t) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
KAAA |
|
|
|
|
|
|
KAAA |
|
|
|
|
|
KAAA |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
s u |
|
|
|
|
A |
|
t u |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
x u |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|||
|
|
s q |
|
u qAAA |
t r |
|
|
|
|
u r |
AAA |
x s |
|
|
|
u s |
AAA |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
s q |
AA |
|
|
|
|
|
t r |
AA |
|
|
|
|
x s |
|
AA |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||
|
|
f(q r u) |
|
f(r u s) = g(r s u) |
|
f(u s t) = g(s u t) |
|
|
|
g(u t x) |
|
||||||||||||||||||||
s u |
|
KAAAA |
|
t u |
|
|
KAAAA |
|
|
x u |
|
|
KAAAA |
|
y u |
|
KAAAA |
|
|||||||||||||
s p |
|
|
AA |
|
t q |
|
|
|
|
|
AA |
|
|
x r |
|
|
|
|
|
AA |
|
y s |
|
|
|
AA |
|||||
|
|
u p |
A |
|
|
|
|
|
u q |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
u r |
|
A |
|
|
|
u s |
A |
|||||
|
|
s p |
AA |
|
|
|
t q |
|
AA |
|
|
|
x r |
AA |
|
|
|
y s |
AA |
||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
||
f (p q r) |
|
f (q r s) = g(q r s) |
|
f(r s t) = g(r s t) |
|
f(s t x) = g(s t x) |
g(t x y) |
||||||||||||||||||||||||
Рис. 6. Перекрывающиеся схемы де Бура для двух смежных отрезков B-сплайна третьего порядка F : [r, s] → Rt и G : [s, t] → Rt над последовательностью узлов . . . , p, q, r, s, t, x, y, . . . .
5.Поверхности тензорного произведения
Не секрет, что в Геометрическом Моделировании наиболее популярны поверхности тензорного произведения. Например, в случае Безье поверхность тензорного произведения имеет вид
n |
m |
i |
|
F (u, v) = |
Bi(u) Bj (v) bij , bij Rt, |
=0 j=0
12
или
n |
m |
i |
|
F (u, v) = |
Bi(u) biv , где biv = bi(v) = Bj (v) bij . |
=0 |
j=0 |
Последнее соотношение показывает, что поверхности тензорного произведения можно рассматривать как «кривые кривых», и, таким образом, поясняет, что для того, чтобы изучить поверхности тензорного произведения, сначала нужно изучить составляющие их кривые.
Рассмотрим полярные формы полиномиальных поверхностей тензорного произведения. Пусть задана полиномиальная поверхность тензорного произведения степени n по u и m по v:
F : R × R → R: (u, v) → F (u, v).
Для того, чтобы найти соответствующую F полярную форму fT P , нужно просто поляризовать обе независимые переменные u и v отдельно. Получающееся отображение
fT P : Rn × Rm → Rt : (u1, . . . , un; v1, . . . , vm) → fT P (u1, . . . , un; v1, . . . , vm)
обладает следующими свойствами:
•Симметричность: fT P симметрично относительно переменных ui и vj независимо, то есть
fT P (u1, . . . , un; v1, . . . , vm) = fT P (uπ(1), . . . , uπ(n); vσ(1), . . . , vσ(m))
для всех перестановок π Σn и σ Σm.
•Мультиаффинность: fT P аффинно по каждой из переменных ui и vj независимо.
•Диагональное Свойство: fT P (u, . . . , u, v, . . . , v) = F (u, v).
Продолжая обобщать одномерный случай, получаем, что контрольные точки Безье bij поверхности F , если она представлена в виде поверхности
Безье тензорного произведения F (u, v) = |
|
|
|
Bn(u) Bm(v) bij , заданной над |
||||||||||||||||||||
[p, q] |
× |
[r, s], имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
i |
|
j |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
bij = fT P (p, . . . , p, q, . . . , q, r, . . . , r, s, . . . , s). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−i |
|
i |
|
|
m−j |
|
|
j |
||||||||
Если же F представлена в виде сегмента B-сплайн поверхности тензорного |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, то её |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
произведения F (u, v) = |
i |
|
j Nin(u) Njm(v) dij , с векторами узлов S = {si} и |
|||||||||||||||||||||
T = |
{ |
tj |
} |
|
контрольные точки де Бура можно записать в виде |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dij = fT P (si+1, . . . , si+n; tj+1, . . . , tj+m).
13
Многие алгоритмы, о которых говорилось в предыдущих разделах, могут быть обобщены с кривых Безье и B-сплайн кривых на поверхности Безье тензорного произведения и B-сплайн поверхности тензорного произведения.
6.Полярная форма полиномиальной поверхности
Перейдём к обсуждению «настоящих» поверхностей. Начнём с Поляризационного Принципа для поверхностей, который является практически дословным обобщением одномерного случая:
ТЕОРЕМА 6.1 (Поляризационный Принцип). Полиномы F : R2 → Rt степени n и симметрические мультиаффинные отображения f : (R2)n → Rt эквивалентны друг другу. В частности, если дано отображение одного типа, то существует единственное отображение другого типа такое, что выполняется соотношение F (u) = f (u, . . . , u). В этом случае f называется мультиаффинной полярной формой полинома F , а F — диагональю f . Кроме того,
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
R |
2 |
полинома F |
может быть |
|
q-я производная по направлениям ξ1 |
, . . . , ξq |
|
||||||||
записана в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
(6.1) |
|
Dˆ |
ˆ F (u) = |
|
|
f (u, . . . , u, ξ1 |
, . . . , ξq ), |
||||
|
ξ1 |
,...,ξq |
(n − q)! |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
где f (u, . . . , u, ξ1 |
, . . . , ξq ) определено так же, как в пункте 2. |
|
||||||||
В случае, когда используется степенной базис, всё по-прежнему просто. Например, для полинома второй степени от двух переменных
F (u) = a00 + a10 u + a01 v + a20 u2 + a11 u v + a02 v2
имеем
f (u1 |
, u2) = a00 |
+ |
a10 |
(u1 |
+ u2) + |
a01 |
(v1 + v2) + a20 u1 u2 + |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||
|
+ |
a11 |
|
(u1 v2 + u2 v1) + a02 v1 v2. |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Независящее от системы координат представление для полярной формы принимает вид [11]
|
|
1 |
S |
|
|
1 |
|
||||
f (u1, . . . , un) = |
|
|
|
|
|
|
(−1)n−i in F |
|
|
|
uj . |
n! |
{ |
|
} |
i |
|
|
|||||
|
|
|
|
1,...,n |
|
|
j |
S |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|S|=i
Условия непрерывности также аналогичны одномерному случаю:
14
ТЕОРЕМА 6.2 (Условия Cq -непрерывности). Пусть F, G : R2 → Rt — два полинома степени n от двух переменных, и пусть u R2. Следующие два условия эквиваленты:
•F и G совпадают в точке u вместе со всеми смешанными производными до q-го порядка включительно;
•f (u, . . . , u, u1, . . . , uq ) = g(u, . . . , u, u1, . . . , uq ) при любых u1, . . . , uq R2.
7.Треугольные поверхности Безье
Треугольные поверхности Безье являются прямой аналогией к кривым Безье. Рассмотрим полиномиальную поверхность F : R2 → Rt. Предположим, мы хотим представить F как треугольную поверхность Безье над некоторой треугольной областью определения = Δ(r, s, t). Записывая u R2 в барицентрических координатах относительно
u = r(u) r + s(u) s + t(u) t, r + s + t = 1,
получаем
F (u) = f (u, . . . , u) = r(u) f (u, . . . , u, r) +
+ s(u) f (u, . . . , u, s) + t(u) f (u, . . . , u, t) = . . . =
=Bijk,n(u) f (r, . . . , r, s, . . . , s, t, . . . , t),
i+j+k=n |
i |
j |
k |
|
|||
где через |
|
|
|
n |
|
|
|
Bijk,n(u) = ijk r(u)i s(u)j t(u)k |
|
||
обозначены полиномы Бернштейна над |
|
= Δ(r, s, t). Сформулируем полу- |
|
ченный результат в виде теоремы: |
|
|
|
ТЕОРЕМА 7.1 (Контрольные точки Безье). Пусть |
= Δ(r, s, t) — произ- |
||
вольный треугольник. Любая поверхность, задающаяся некоторым полиномом F : R2 → Rt, может быть представлена как треугольная поверхность Безье над . Её контрольными точками Безье будут
bijk = f (r, . . . , r, s, . . . , s, t, . . . , t), |
(7.1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
||
где f — полярная форма F .