практикум по мат анализу
.pdf
Задания для самостоятельного решения
2. |
|
−2 |
= |
− |
1. |
4 |
+ |
−6 |
= − − |
3. |
||||
|
−3 |
+2 = |
||
4.+4 = 3sin2
5.+4 = cos2
6.+ = 2sin sin2
8. |
+ |
= + |
|
7. |
−5 |
+6 |
= cos |
9. |
|||
|
−7 |
+12 |
= + |
10.−2 =
11.+4 = sin
12. −2 + = 4
13.− = +4
14. −2 =
15.+ =
16.+3 = 1
Вопросы для самоконтроля по теме «Элементы дифференциальных уравнений»
1.Что называется дифференциальным уравнением?
2.Как определяется порядок дифференциального уравнения?
3.Что называется решением дифференциального уравнения?
4.Что означает поле направлений для дифференциального уравнения?
5. Сформулировать задачу Коши для уравнения = ( , ).
6.В чем состоит сущность метода вариации постоянной для дифференциального уравнения первого порядка?
7.Какое уравнение называется характеристическим для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?
8.Какова структура решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами?
9.Можно ли находить частное решение для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по виду правой части?
4. Степенные ряды
Определение 4.1. Ряд вида
или |
( − ) |
называется степенным рядом.
Областью сходимости степенного ряда является множество действительных чисел:
где R – радиус |
| |
| < |
(соответственно | − |
| < |
) |
|
|
|
(4.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
сходимости степенного ряда, который можно находить по |
||||||||||||
одной из формул: |
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|||
В точках |
= |
|
, |
= lim → |
|
надоили = lim → |
|
|
(4.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния. |
= ± |
|
( = |
± |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
проводить дополнительные исследова- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Коэффициенты степенного ряда находятся по формуле: |
|
|
|
|
|||||||||||
где S(x) – |
= |
|
( )( ) |
(соответственно |
= |
( |
)( |
) |
, |
(4.3) |
|||||
|
|
||||||||||||||
|
! |
|
! |
) |
|
||||||||||
|
сумма степенного ряда. Таким образом, коэффициенты степенного |
||||||||||||||
ряда есть коэффициенты Тейлора для суммы ряда.
Важными приложениями степенных рядов является возможность разло-
жения функций |
= ( ) в степенные ряды: |
( )(0) |
|
(4.4) |
||
( ) = ∑ |
) |
|||||
− ряд Маклорена, = |
! |
( |
(4.5) |
|||
( ) = |
( − ) − ряд Тейлора, |
= |
|
!( ) |
|
|
Приведем разложение в ряд Маклорена некоторых функций:
|
= |
! |
|
|
|
|
sin |
= |
(−1) |
|
|
|
|
(2 +1)! |
|
|
||||
cos = |
|
( |
( ) |
)! |
(4.6) |
|
ln(1+ |
) = |
(−1) |
|
|
|
|
(1+ ) = |
, = |
∙ ( |
− 1) ∙ …∙( − +1) |
|
! |
При = −1 последняя из формул (4.6) примет вид:
= |
(−1) , |
|
= |
(4.7) |
|
Перейдем к способам разложения функций в степенные ряды. Путем преобразования исходной функции = ( ) приводим ее к композиции функций
(4.6).
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
= sin( |
+2). |
|
|
|
|
|
∙sin2 = |
|
|
|
||||||||||||||
Разложить в ряд Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
= sin( |
|
|
+2) = sin |
∙cos2+cos |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
= cos2∙ |
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
+sin2∙ |
∞ |
|
|
(−1) |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(2 |
+1)! |
=0 |
|
|
(2 |
)! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разложить в ряд Маклорена |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
+2 |
|
|
2 1+ |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= ln |
+4 |
= ln |
4 1+ |
4 |
|
= ln |
2 |
+ln 1+ |
2 |
|
|
−ln 1+ |
4 |
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(−1) |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 3. |
|
ln |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разложить в ряд Тейлора по степеням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Для |
решения таких примеров |
необходимо сначала выделить ту степень |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( −2) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− = |
||||||||||||||||
− |
|
., по которой надо произвести разложение. В данной задаче |
|
||||||||||||||||||||||||||||
−2 |
|
|
− 4 |
|
= |
−4 |
|
+4 − 4 = ( |
−2) − 4 |
|
|
|
− |
= |
|
||||||||||||||||
Заметим, что в |
|
|
|
|
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
общем случае надо сделать замену переменной |
||||||||||||||||||||||||||||
вести разложение по степеням t. |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( − 2) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
∙ |
( |
|
|
= |
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 )! |
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разложить в ряд Маклорена |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для разложения таких |
функций в ряд Маклорена удобно разложить ее на |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
простейшие дроби: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
1 |
|
= |
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
= |
|||||||
|
− 3 +2 |
|
|
−1 |
|
−2 |
−(1 − ) |
2 1 − |
2 |
|
||||||||||||
|
∞ |
|
+ |
1 |
∞ |
|
= |
∞ |
|
1 |
|
|
||||||||||
|
= − =0 |
|
2 |
|
=0 |
2 |
=0 |
2 |
|
− 1 |
||||||||||||
Задания для самостоятельного решения
Задача 1.
Разложить в ряд Маклорена следующие функции.
1 |
= |
|
cos( |
+5) |
|
11 |
= |
|
ln(4+ |
) |
|||||||||||||
3 |
= |
|
|
|
− 5 |
+6 |
|
13 |
= ( |
|
− 1)sin5 |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
1 − |
|
|
|
= (3+ |
|
|
|
|
) |
||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
sin3 |
− cos3 |
||||||||||
|
|
( |
|
+1) |
|
|
|
||||||||||||||||
5 |
= |
|
|
|
|
|
|
15 |
= |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
16 |
6 − |
|
− |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= √1+2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2 − |
|
|
|
||||||||||||||
7 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
= 2 sin |
|
|
− |
|
|||||||
|
|
− 7 |
+12 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= √4 − 5 |
|
||||||||||||
9 |
|
= cos( |
− 2) |
19 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= cos 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
10 |
= |
sin |
|
( |
(0) = 1) |
20 |
= sin |
∙cos3 |
|||||||||||||||
Задача 2.
Найти область сходимости следующих степенных рядов.
1 |
|
3 |
( − 1) |
7 |
(−1) ( − 2) |
|
|||||
|
|
|
5 |
|
− 8 |
|
( |
|
+1)5 |
|
|
2 |
|
|
( |
+5) |
8 |
4 ( |
|
+1) |
|
||
|
|
|
( |
+1)! |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
9 |
( |
|
− 4) |
9 |
|
8 |
! |
|
|
4 |
|
(2 |
+3) |
10 |
(−1) |
|
|||||
|
|
|
( |
+1) |
|
|
|
|
+1 |
|
|
5 |
|
5 |
( |
|
− 3) |
11 |
1 |
|
( |
+5) |
|
|
|
|
|
+1 |
|
tg3 |
|
||||
6 |
|
1+ |
2 |
12 |
( |
|
− 2) |
|
|||
|
|
|
|
(3 |
|
+1)2 |
|
||||
Литература
1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1988.
2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Нау-
ка, 1989.
3.Высшая математика для экономистов: Учебник / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин и др.; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: «Банки и биржи», Издательское объединение «ЮНИТИ», 2005. – 470 с.
4.Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. Учебник. –
СПб.: Изд. Дом «Питер», 2006. – 464 с.
5.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. –
М.: «Наука», 1985.
6.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2х томах: Учебник. – М.: Интеграл-Пресс, 2004.
7.Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин и др.; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 423 с.
8.Практикум по математике. Математический анализ. Алгебра. Теория
вероятностей. Учебно-методическое пособие / Составители: А.Т. Козинова, В.П. Савельев, В.Н. Фокина. Н.Новгород: ННГУ, 2003.
Составители: Валентина Николаевна Фокина, Анна Юрьевна Кузнецова
ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФИНАНСОВОГО ФАКУЛЬТЕТА
Учебно-методическое пособие
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского».
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.
РИУ Нижегородского государственного Университета им. Н.И. Лобачевского 603600, г. Нижний Новгород, ул. Большая Покровская, 37.