Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум по мат анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

438.55 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Задача 4.

С помощью двойного интеграла вычислить объемы тел, ограниченных следующими поверхностями.

2.	0 ≤ ≤ , +		≤ 5, − 2 ≥ 0, ≥ 0
1.	+	+ ≤ 2,2	≤ 3 +	≤ 4, ≥ 0, ≥ 0
3.
4.	≤ + , + ≤ 1, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0
	+	+ −4 ≥ 0, +		≤ 1, ≥ 0

5.Вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями,

плоскостью 2 +3 −12 = 0 и цилиндром =

6.Вычислить объем тела, ограниченного координатными плоскостями,

плоскостями

и параболоидом вращения

= 0

ми

объем тела, ограниченного плоскостью

и цилиндра-

Вычислить

= 4,

= 4

+ +1

ры

= 2

объем

тела,

вырезанного цилиндром

Найти=

, = 4 −

= 0

из

ми

= 4

и цилиндра-

Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью

(4 −

−

)

= 0

лоидом

10.

Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью

и парабо-

= 4

2. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка

2.1. Введем основные понятия.
Определение 2.1. Дифференциальное уравнение вида		(2.1)

называется уравнением первого	порядка, разрешенным относительно произ-
	= ( , )

водной.

Определение 2.2. Общим решением дифференциального уравнения (2.1) называется функция y=y(x,c), которая удовлетворяет условиям:

1)y(x,c) обращает (2.1) в тождество;

2)для любой точки (х0,у0) в области существования решения можно най-

ти такое с=с0, что функция y=y(x,c0) удовлетворяет начальному усло-

вию y0=y(x0,c0).

Перейдем к решению некоторых уравнений вида (2.1).

2.2. Уравнение с разделяющимися переменными.
Пусть функция f(x,y) имеет вид:							(	)∙	(	)
Тогда	(		,	) =								(2.2)
						=	(	)∙	(	)		(2.3)

						(	) ∙		(	(	) ≠ 0)	(2.4)
Это уравнение легко	интегрируется:

	(		)	=
		∫	(	)	= ∫		( )		+			(2.5)

Последнее равенство определяет собой общий интеграл уравнения (2.3). При ( ) = 0 прямая y=b является решением уравнения.

Пример 1.


(	+1)		=

=	+1	(	+1 ≠ 0)
−	= arctg +

2.3. Однородные уравнения.

(

) =

(

, ), тогда.

f(x,y) удовлетворяет условию

Пусть функция . Так, например,

( ,

) =

Для решения таких уравнений делаем замену переменной

∙

(2.6)

Уравнение (2.1) примет

вид

= ,

(2.7)

В последнем уравнении можно

разделить переменные:

(1,

)

−

Уравнение (2.8) легко интегрируется( , )

(2.8)

Пример 2.

+1 − 2

(

−1)

−

ln| | +ln|

− 1

= 1 −

ln|

2.4. Линейные уравнения.

∙

1 −

ln|

Уравнение вида

(2.9)

где

– заданные

непрерывные функции, называется линейным. Здесь

( )

линейность( ), (имеется)

в виду относительно переменных

. Если

, то

уравнение называется однородным.

уравнением с

В этом случае оно является′

( ) = 0

разделяющимися переменными:

= −

( ) ∙

,ln|

| = −

(

)

(2.10)

∫

(

)

2.5. Неоднородные уравнения.

Будем искать решение неоднородного уравнения в виде

т.е. произвольную константу С=считаем( )

∫

(

)

(2.11)

функцией,

от х.

∙ ( )

Дифференцируя выражение (2.11), получим

∫

( )

∫ ( )

(2.12)

Подставим в

исходное уравнение и найдем

)

( )

∫ ( )

−

( )(

= ( )

∫ ( ) −

∙ ( ) + ( ) ∙

∫ ( )

( )

∫

(

)

∙

(2.13)

∫

(

)

∙

Отметим,

что решение( )

неоднородного( )

уравнения равно сумме общего

решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного. Выше изложенный метод решения неоднородных уравнений называется методом вариации произвольной постоянной.

Пример 3.


	+		=
	+		= 0
=	( ) ∫		=		( )

( ) =		∙	∙		=	+

=		+		= 1+

Задачи к разделу «Дифференциальные уравнения первого порядка»

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

= 3

= −

√1 −

= −

√1+

= −

− 3

= −

√1 −

= −

√2+

= −

(1+ln

)

− 6

− 2

(

+3)

= −

1 −

= −

√1 −

= −

√4+

(

+4)

= −

)

= −

(

+1)

√4 −

= −

)

= −

√1+

)

= −

√2 −

Задача 2.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

−

= ln

−

+2 =

− 3

= 0

+12

= 0

−

ctg

= cos

− 4

= (7

) ′

cos

= sin2

− 5

= (9

) ′

= 1+

sin

= sin2

− 6

= 0

3.Дифференциальные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Определение 3.1. Дифференциальное уравнение вида

+ + = ( ) (3.1)

называется уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение таких уравнений сводится к двум этапам.

1 этап.
	Нахождение общего решения однородного уравнения
Составляется				характеристическое уравнение						(3.2)
				характеристическое уравнение
							+	+	= 0
Оно является квадратным, т.λе.									.	(3.3)
							его корни находятся в зависимости от знака дис-
							+	+	= 0
1)				=	−.4	.
криминанта					≠	.
Общее			> 0 и		≠
		решение однородного уравнения записывается в виде (в дальнейшем
пишем			):				=		+
где2)	и						=		+
где2)	и		– произвольные константы.
			= 0 и		=
3)			< 0 и ,		= ± , = −1= ( + )					)
							= (	cos	+ sin	)

2 этап.

Нахождение частного решения неоднородного уравнения.

Вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения (3.1). Рассмотрим некоторые частные случаи, наиболее часто встречающиеся.

I. Пусть правая часть имеет вид:	( ) =	+	+ +	, т.е. много-
член степени n.

1) Пусть значение х=0 не является корнем характеристического многочлена.

Тогда частное решение (далее	ч	)	+ +
ч =	ч	+	+ +	(3.4)

2)Пусть значение х=0 является корнем характеристического уравнения кратности 1. Тогда

ч = (

+ + ) (3.5)

3)Пусть значение х=0 является корнем характеристического уравнения кратности 2. Тогда

Пример 1.

ч = (

+ + )

(3.6)

− 2

−2 = 0

= 0,

= 2

Согласно (3.5)

ч.= (

)

(3.7)

Найдем значения параметров

Для этого дифференцируем (3.7):

ч = 2

ч′ = 2

′

Подставим найденные производные

в исходное уравнение. Получим:

Приравнивая

− 4

−2

коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему:

−4

= 1,

= −

− 2

= 2,

= −

Искомое решение исходного

уравнения имеет вид:

= −

−4

+ ч =

−

(3.8)

II. Пусть правая часть имеет вид:

( ) =

. Тогда частное решение ищем в

виде

(3.9)

где r – кратность значения

как корня характеристического многочлена

(т.е. r может принимать

значения 0, 1, 2).

Пример 2.

− 3

= 4

λ −3

+2 = 0

= 1, = 2 ( = 3, ≠ , ≠ )

ч =

, ч′′ = 9

, ч′ = 3

= 2

−9

= 4

ч = 2

Пример 3.

+ ч =

−4

λ −4 +4 = 0 (λ− 2) = 0

= 2 (

= 2,

)

= (

)

ч = 2

ч =

− 8

−8

= 1,

ч =

+ ч = (

)

III. Пусть правая часть имеет вид:

(

) =

. cos

sin

и корни характе-

ристического уравнения равны

≠ 0,

≠

Тогда

характеристического уравнения (

а) Пусть

не является корнем

sin

б) Пусть

является корнем ч =

cos

= 0, =

). То-

гда

характеристического уравнения (

ч =

(

cos

sin

)

sin

)

а) число

не является корнем (

) =

(

cos

≠

IV. Пусть правая часть имеет вид:

≠ ).

характеристического уравнения (т.е.

Тогда

ч =

( cos

sin

)

б) число

является

= ).

корнем характеристического уравнения (т.е.

Тогда

ч =

(

cos

sin

)

Пример 4.

− 4

= sin2

Здесь = 2 ≠ . Поэтому

λ − 4

+5 = 0

= 1)

, = 2±

(

= 2,

ч =

cos2

sin2

ч = −2

sin2

cos2

После подстановки в

исходное уравнение получим:

= −4 cos2

− 4

sin2

(

− 8 )cos2

)sin2

= sin2

−8

= 0,

= 1,

= +

ч = ( cos

sin

)

cos2

sin2

V. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения представляет

собой сумму двух функций специального вида:

Тогда частное решение ищется в виде суммы

частных решений неоднородных

(

) =

(

) + ( )

уравнений с правыми частями соответственно

( ) и (

Пример 5.

−2

= sin

λ −2

+1 = 0

= 1

Теперь рассмотрим

= (

)

Число не является корнем

характеристического уравнения (

−2

= sin

= 1, = , =

), следовательно

sin

cos

= 0

cos

−

sin

= −

sin

−

cos

−2 cos

sin

= sin

2 = 1, =

,−2 = 0, = 0

Теперь найдем частное решение

cos

)

для уравнения

−2

ч =

(−1 ≠

Его ищем в виде:

ч=

ч= −

ч′′ =

4	=		,	=	1
		1			4
Итак,	ч =	4				1			1
= + ч + ч	= (	+		)	+		cos	+
						2			4

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201529.09 Кб32практика.docx
#
11.03.20167.56 Mб48практика.docx
#
20.08.2019315.9 Кб22ПРАКТИКУМ ДЛЯ СТУДЕНТОВ.doc
#
11.03.20161.27 Mб17практикум по Истории.doc
#
11.03.20161.27 Mб28Практикум по Истории.doc
#
27.03.2015438.55 Кб18практикум по мат анализу.pdf
#
27.03.20151.34 Mб232Практикум по ТЭА (новый).doc
#
20.11.20191.08 Mб6Практикум ред.2 - копия.doc
#
15.09.2019185.86 Кб1практич 7.doc
#
15.09.201984.48 Кб1практич 8.doc
#
15.09.2019137.73 Кб1практич 9.doc