Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник задач по линейной алгебре

.pdf

Скачиваний:

363

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

969.73 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

x1				3 4t1
				2t1
x2
в компонентах решение имеет вид	x		2 3t
		3
				1

x4

8t2

2t2 .

Общее решение однородной системы уравнений есть линейная оболочка натянутая на фундаментальную систему решений (базис пространства решений).

Общее решение неоднородной системы есть линейное многообразие: линейная оболочка натянутая на фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений плюс частное решение неоднородной системы (см 6 стр.50)

5.12 (Бек 19.1, Про 689–:692, Фад 444). Исследовать совместность и найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

2x – 3y = 4

2) x1 + x2 + 2x3 + 3x4=1

2x + y + z = 4

4) (

2 +1)x + ( 2 –1)y – 2 z = ( 2 +1)

3x + z = 4

x + (3–2 2 )y + ( 2 –2)z = 1

x + 2y + 3z = –4

x1 + 2x2 + x3 = 2

2x + 3y + 4z = 1

2x1 + 3x2 + x4 = 1

3x + 4y + 5z = 6

2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6

2x1 – 3x2 + 5x3 + 7x 4 = 1

3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4

4x1 – 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2

9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2

2x1 – 3x2 – 11x3 – 15x4 = 1

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4

= 3

10)

3x1 – 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2

6x1 + 8x2 + 2x3 + 5x4 = 7

7x1 – 4x2 + x3 + 3x4 = 5

9x1 + 12x2 + 3x3 + 10x4 = 13

5x1 + 7x2 – 4x3 – 6x4 = 3

11)

x1 – 2x2 + x3 + x4 = 1

12)

x1 + x2 – 3x3 = –1

x1 – 2x2 + x3 – x4 = –1

2x1 + x2 – 2x3 = 1

x1 – 2x2 + x3 + 5x4 = 5

x1 + x2 + x3 = 3

x1 + 2x2 – 3x3 = 1

13)	2x1	– x2 + 3x3 = 3	14) 2x1 + x2 – x3 + x4 = 1
	3x1 + x2 – 5x3 = 0		3x1 – 2x2 + 2x3 – 3x4 = 2
	4x1 – x2 + x3 = 3		5x1 + x2 – x3 + 2x4 = –1
	x1 + 3x2 – 13x3 = –6		2x1 – x2 + x3 – 3x4 = 4
15)	x1	+ x2 + 2x3 + 3x4 = 1	16) x1	+ 2x2 +3x3 – 2x4 = 6
	3x1 – x2 – x3 – 2x4 = – 4		2x1 – x2 – 2x3 – 3x4 = 8
	2x1 + 3x2 – x3 – x4 = –6		3x1 + 2x2 – x3 + 2x4 = 4
	x1 + 2x2 + 3x3 – x4 = –4		2x1 – 3x2 + 2x3 + x4 = –8
17)	x1 + 2x2 +3x3 + 4x4 = 5		18) x2 – 3x3 + 4x4 = –5
	2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1		x1 – 2x2 + 3x3 = –4
	3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 1		3x1 + 2x2 – 5x4 = 12
	4x1 + 3x2 +2x3 + x4 = –5		4x1 + 3x2 – 5x3 = 5
19)	x1 – 2x2 + 3x3 – 4x4 = 4		20) 2x1 + x2 – x3 – x 4 + x5 = 1
	x2 – x3 + x4 = –3		x1 – x2 + x3 + x4 – 2x5 = 0
	x1 + 3x2 – 3x4 = 1		3x1 + 3x2 – 3x3 – 3x4 + 4x5 = 2
	–7x2 + 3x3 +x4 = –3		4x1 – 5x2 + 5x3 – 5x4 + 7x5 = 3

5.13 (Бек 18.1, Про 729–730, Фад 449). Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений

1)	x – y = 0	2)	x – y + 2z = 0
3)	x + y + z + u + v = 0	4)	x + 3y + 2z = 0
			2x + 4y + 3z = 0
5)	5x – 8y + 3z = 0	6)	x + 2y + 3z = 0
	2x – 3y + z = 0		2x + 3y + 4z = 0
			x + y + z = 0

7)	2x1 – x2 – 2x3 = 0	8)	x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0
	x1 + x2 + x3 = 0		2x1 – x2 – 2x3 + x4 = 0
9)	5x1 – 8x2 + 3x3 + 3x4 = 0	10)	x1 + x2 + x3 + x4 = 0
	4x1 – 8x2 + 2x3 + x4 = 0
11)	3x1 + 2x2 + x3 = 0	12)	x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 0
	3x2 + 2x3 + x4 = 0		2x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 0
	3x1 – 4x2 – 3x3 – 2x4 = 0		3x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 0
13)	x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 6x5 = 0		14) x1 + x2 + x3 – x4 = 0
	x1 – x2 – 2x3 – 3x5 = 0		3x1 – 2x2 + x3 – x5 = 0

x1 + 11x2 + 7x3 + 6x4 + 18x5 = 0

15)	2x1	+ 4x2 + 6x3 + x4 = 0	16)	x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 5x5 = 0
	x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 0			2x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + 5x5 = 0
	3x1 + 6x2 + 9x3 – x4 = 0			3x1 + x2 + x3 + x4 = 0
	x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 0			x1 + x2 – x3 + x4 = 0
17)	x1	– x3 = 0	18)	x1 – x3 + x5 = 0
	x2 – x4 = 0			x2 – x4 + x6 = 0
	–x1 + x3 – x5 = 0			x1 – x2 + x5 – x6 = 0
	–x2 + x4 – x6 = 0			x2 – x3 + x6 = 0
	–x3 + x5 = 0			x1 – x4 + x5 = 0
	–x4	+ x6 = 0

5.14 (Про 712–719). Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра λ:

1)	5x1 – 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3	2)	3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 = 3
	4x1 – 2x2 + 3x3 + 7x4 = 1		2x1 + 3x2 + 5x3 + 8x4 = 5
	8x1 – 6x2 – x3 – 5x4 = 9		x1 – 6x2 – 9x3 – 20x4 = –11
	7x1 – 3x2 + 7x3 + 17x4 = λ		4x1 + x2 + 4x3 + λx4 = 2
3)	2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 2	4)	2x1 – x2 + 3x3 + 4x4 = 5
	4x1 + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4		4x1 – 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7
	4x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 4		6x1 – 3x2 + 7x3 + 8x4 = 9
	2x1 – 3x2 + 3x3 + λx4 = 7		λx1 – 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11
5)	2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 3	6)	λx1 + x2 + x3 + x4 = 1
	4x1 + 6x2 + 3x3 + 4x4 = 5		x1 + λx2 + x3 + x4 = 1
	6x1 + 9x2 + 5x3 + 6x4 = 7		x1 + x2 + λx3 + x4 = 1
	8x1 + 12x2 + 7x3 + λx4 = 9		x1 + x2 + x3 + λx4 = 1
7)	λx1 + x2 + x3 = 1	8)	(1+λ) x1 + x2 + x3 = 1
	x1 + λx2 + x3 = 1		x1 + (1+ λ) x2 + x3 = λ
	x1 + x2 + λx3 = 1		x1 + x2 + (1+λ)x3 = λ2
9)	λx1 + x2 + x3 = 1	10)	(λ+3)x1 + x2 + 2x3 = λ
	x1 + λx2 +x3 = λ		λ x1 + (λ–1)x2 + x3 = 2λ
	x1 + x2 + λx3 = λ2		3(λ +1)x1 + λx2 + (λ+3)x3 = 5
11)	λx1 + λx2 + (λ+1)x3 = λ	12)	2x1 – x2 + x3 + x4 = 1
	λx1 + λx2 + (λ–1)x3 = λ		x1 + 2x2 – x3 + 4x4 = 2
	(λ+1)x1+ λ x2+ (2λ+3)x3 = 1		x1 + 7x2 – 4x3 + 11x4 = λ

5.15 (Про 741). Выяснить, образуют ли строки каждой из матриц

		24		30						20
30		24	43	30	5		4	2	9	20	5
A	9	15	8	5	2 ,	B	1	11 2		13	4

	4	2	9	20	3	9		15	8	5	2

фундаментальную систему решений для системы уравнений

3x1 + 4x2 + 2x3 + x4 + 6x5 = 0 5x1 + 9x2 + 7x3 + 4x4 + 7x5 = 0 4x1 + 3x2 – x3 – x4 + 11x 5= 0

x1 + 6x2 + 8x3 + 5x4 – 4x5 = 0.

5.16 (Про 742). Определить, какие из строк матрицы

	6	2	3	2	7
	5	3	7	6	4
A
A	8	0	5	6	13
		2	7	5
	4	2	7	5	7

образуют фундаментальную систему решений для системы уравнений

2x1 – 5x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 0

5x1 – 8x2 + 5x3 + 4x4 + 3x5 = 0 x1 – 7x2 + 4x3 + 2x4 = 0

4x1 – x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 0.

5.17(Про 733). Доказать, что для любой однородной системы уравнений с рациональными (в частности, с целыми) коэффициентами можно построить целочисленную фундаментальную систему решений (при условии, что ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных).

5.18(Фад 453, Ок 369). Найти все решения матричных уравнений

									1		3			6
	1	1	1	1	1	1		1	1	1	3		2	6
1)			X				2)			X					.
	1	1	1	1	1	1		2	2	2	6	4		12

5.19 (Фад 454). Найти все решения задачи (5.18.1), удовлетворяющие


	1	1	X X .
условию	X		X X .
	1	1

5.20 (Про 874). Доказать, что матричное уравнение AX = B разрешимо тогда и только тогда, когда rank(A) = rank(A|B).

5.21(Про 875). Доказать, что матричное уравнение AX = 0, где A – квадратная матрица, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда det(A) = 0.

5.22(Доп). Для заданных матриц A и B решить матричные уравнения

XA = B, AX = B, A = XB, A = BX

				2					0
	A			2					0						1							2
	A									,			A	1							1 ,
				8					0				A
				8					0
1)																2
1)				1					0			2)				2
												2)
	B
	B									.					2				2
				4					0				B									.
				4					0				B		1					2		.
															1					2
			1			2														1				2
	A	1					1		,						A					1		2			,
		1					1													1		2
3)				2									4)							3				3
3)	2					4							4)
	2					4													3			1
	B					2	.								B								.
	1					2													6				2
																			i
	1				i											1			i					2
	A					,								A					2						,
5)	i					1							6)						2				2(1 i)
5)			i			1 i							6)				2(1 i)							2(1 i)

	1
	B		i							.				B											4	.
	1		i			1 i										2(1 i)									4
5.23 (Икр 5.4.14–15). Решить матричные уравнения:

					2		1					1	1		1				1
		1)			1		X					X										,
					1		2					1	1		1			1

		2) X						1		2	X		2 1						1			1
		2) X									X												.
							2			3		1		1		1							0

5.24 (Про 822,3, Доп). Найти все матрицы, перестановочные с данной.


1)		1	2	2)	7	3	3)	1	1
1)				2)			3)
	3		4		5	2		1	1

6.Подпространства

илинейные многообразия

Основной способ задания подпространства в любом пространстве – представление подпространства в виде линейной оболочки некоторой системы векторов. Говорят также, что подпространство натянуто на эту систему. Если эта система линейно независима, она является базисом подпространства. Такое задание подпространства будем называть прямым. Иначе этот способ называют параметрическим.

6.1 (Про 1309). Доказать, что размерность линейного подпространства L, натянутого на векторы a1, a2,…, an, равна рангу матрицы A, составленной из координатных столбцов данных векторов, а за базис подпространства L, можно взять любую базу данной системы векторов.

6.2 (Про 1295). Пусть	линейное подпространство	L1 содержится
в линейном подпространстве	L2. Доказать, что для их	размерностей

dim(L1) dim(L1), причем эти размерности равны тогда и только тогда, когда L1 = L2. Верно ли последнее утверждение для произвольных подпространств данного пространства?

Подпространство в арифметическом пространстве может быть задано как пространство решений однородной системы уравнений. Такое задание подпространства будем называть двойственным. Иначе этот способ называют неявным.

В геометрии примерами подпространств являются прямые и плоскости, проходящие через начало координат. Параметрическое уравнение прямой или плоскости представляет собой прямое задание подпространства, общее уравнение плоскости (общие уравнения прямой) – двойственное задание.

Переход от двойственного задания к прямому сводится к построению системы фундаментальных решений однородной системы.

6.3 (Про 1307). Доказать, что решения любой системы однородных линейных уравнений ранга r с n неизвестными образуют подпространство n- мерного пространства F n размерности k = n – r.

Обратно: для любого линейного подпространства L размерности k пространства F n существует система однородных линейных уравнений с n

неизвестными ранга r = n – k, решения которой заполняют в точности данное подпространство L.

6.4 (Про 1308). Найти (угадать!) какой-нибудь базис и определить размерность подпространства L арифметического пространства, если L задано уравнением x1 + x2 +…+ xn = 0.

6.5 (Бек 22.8, Доп). Найти размерность и базис линейного подпространства, заданного в некотором базисе системой линейных уравнений

A x = 0:

	1	3	3 10		10	3	1	2
1) A=
	2	6	2) A= 7 4		4	3) A= 6	2	4
	2	6	2) A= 7 4		4	3) A= 6	2	4
				3			5
			2	3	3	15	5	10

		6	8	9	6)
4)	A=				2		1	3	2	4
		0	1	6	2		1	3	2	4
		0	1	6
					A	4	2	5	1	7
						2	1	1	8	2
						2	1	1	8	2
5)	A=(2		–1	1)T

	3	3	4	3
	0	6	1	1

7) A=	5	4	2	1


	2	3	3	2

1 i

1 3i

1 i

2 i

1 2i

8) A=

. 9)

10)

1 2i

9 7i

1 i

3 2i

2 i

1 i

2 i

11) A=

4 6i

4 3i

12)

A 1

2 4i

5 5i

9 i

5 i

2 2i

2 4i

Первый способ перехода от к прямого задания подпространства к двойственному основан на использовании неопределенных коэффициентов. Пусть на систему арифметических векторов P = {p1, p1,..., pk} натянуто подпространство V Fn. Запишем уравнение a1x1 + a2x2 +. . .+ anxn = 0 и последовательно подставим в него в качестве значений неизвестных xt компоненты каждого из векторов ps (s = 1, 2,..., k). Получится однородная система уравнений относительно неизвестных коэффициентов at. Найдя для

нее фундаментальную систему решений, получим искомую систему уравнений, являющуюся двойственным заданием подпространства V.

Пример. Пусть

P = {p1 = [1, –1, 1, 0]T, p2 = [1, 1, 0, 1]T, p3 = [2, 0, 1, 1]T}.

Однородная система уравнений относительно неизвестных коэффициентов ai

a1 a2 a3 0,
	a2	a4		0,		Здесь третье		уравнение является следствием
имеет вид a1
2a a		3	a	4	0.
	1
(суммой) первых двух, из которых выразим								a3	a1 a2 ,	Фундаментальная
									a1 a2 .
								a4
система решений: [1, 0,					–1, –1]T и [0, 1, 1, –1]T. Таким образом, найдена
система уравнений			x1 x3			x4 0,	являющаяся двойственным заданием
					x3	x4 0.
			x2

подпространства V = L(P).

Второй способ основан на использовании элементарных преобразованиях строк матрицы, столбцами которой являются арифметические векторы заданной системы P = {p1, p2,..., pk}. Обозначим эту матрицу так же P, введем вектор x = [x1, x2,..., xn]T, составленный из символов неизвестных и построим расширенную матрицу [P | x]

Последовательностью преобразований строк приведем эту матрицу к такому виду, чтобы первые r = rank(P) строк блока P стали заведомо линейно независимыми, а остальные – равны нулю. Тогда в нижних строках блока x получатся некоторые линейные выражения, зависящие от компонент вектора x. Приравняв каждое из этих выражений нулю, получим искомую систему уравнений.

Пример (продолжение). Выпишем расширенную матрицу и преобразуем ее строки:

	1	1	2	x1			1	1	2	x1
1		1	0	x		(2) (1) 1	0	2	2	x x			(2) (3) 2
					2	(3) (1) 1				1		2
	1	0	1	x		(3) (1) 1	0	1	1	x	x		(4) (3) 1
					3					1		3
	0	1	1	x4			0	1	1	x4

1 1 2			x1						1 1 2			x1
0 0		0	x x		2x				0	1 1		x x
			1	2		3	(2)	(3)				1		3
0	1 1		x x				(2)	(3)	0 0			x x		2x		.
0	1 1		x x						0 0		0	x x		2x
			1		3							1	2		3
0	0	0	x1 x3 x4						0	0	0	x1 x3 x4

Получили систему уравнений	x1 x2		2x3	0,	которая равносильна ранее
Получили систему уравнений					которая равносильна ранее
	x1	x3	x4 0,

найденной другим способом.

6.6 (Бек 20,24, Про 1313, Доп). Составить системы линейных уравнений, задающие линейные подпространства, натянутые на следующие системы векторов:

1)	a1 = (1, 1, 1), a2 = (1,2, 3).		2)	a1 = (1, –1), a2		= (–1, 1).
3)	a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1,2,1,3).		4)	a1 = (–1, 1), a2		= (3, 2).
5)	a1 = (1, 1, 2, 2).		6)	a1 = (0, 0, 0, 0)
7)	a1 = (1, 1, 1, 1), a3 = (3, –5, 7, 2),		8)	a1	= (1, 1, 1, 1), a3 = (1, 1, 2, 2),
	a2 = (1, 1, 1, 3), a4 = (1, –7, 5, 2),			a2	= (1, 1, 1, 3), a4 = (1, 1, 1, 3),
9)	a1	= (1, –1, 1, –1, 1),	10)	a1	= (1, i, –1),
	a2	= (1, 1, 0, 0, 3),		a2	= (i, –1, 0).
	a3	= (3, 1, 1, –1, 7),
	a4	= (0, 2, –1, 1, 2).

6.6 (Доп). Построить прямое и двойственное описание подпространства многочленов вида f(t) = at3 + bt2 + ct + d, для которых f(0) = f(1) = 0.

Пересечением подпространств V1 и V2 пространства V называется множество P V1 V2 векторов из V, каждый из которых принадлежит как V1, так и V2. Она является подпространством. В геометрии пересечение подпространств (прямых и плоскостей, проходящих через начало координат) совпадает с пересечением в геометрическом смысле.

Замечание. Объединение подпространств V1 V2 , вообще говоря, не является подпространством.

Суммой подпространств V1 и V2 пространства V называется множество

SV1 V2 векторов из V, каждый из которых можно представить в виде

x= x1 + x2, где x1 V1, x2 V2. Сумма является подпространством пространства V. В геометрии суммой двух неколлинеарных прямых, проходящих через начало координат, является плоскость, содержащая эти прямые. Суммой плоскости и прямой, которая не лежит в этой плоскости, или двух некомпланарных плоскостей является все трехмерное геометрическое пространство

Для размерностей пересечения и суммы имеет место формула

Грассмана: dim(V1 V2 ) + dim(V1 V2 ) = dim(V1 ) + dim(V2 ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.09.2019449.02 Кб42Самыличев-Л.К..doc
#
02.12.201895.37 Кб17Сатанов.docx
#
19.11.201956.83 Кб11Сахарова, История мировой культуры.doc
#
02.08.2019454.66 Кб6Сборка Статистика (Андреев Машецева).doc
#
11.03.2016557.33 Кб92Сборник задач по дискретной математике_Алексеев_2010.pdf
#
27.03.2015969.73 Кб363сборник задач по линейной алгебре.pdf
#
15.08.2019216.58 Кб3Сборник задачФУ_0.doc
#
27.03.2015730.11 Кб28Сборник текстов и упражнений (итальянский).doc
#
11.11.2019310.27 Кб4Сборник упражнений.doc
#
27.03.201592.64 Кб5свежие фрукты и овощи.docx
#
27.03.201569.12 Кб32СВЕТЛОЯР доклад.doc