Нечеткая Логика

Первая основопологающая стать по нечёткой логике, была опубликована в 1965, автором статьи являлся профессор Калифорнийского университета в Беркли Лотфи Заде.

В настоящее время о нечёткой логике можно говорить как о самостоятельном научном направлении. Прилагательное «fuzzy» переводится на русский язык как нечёткий размытый мягкий. Оно введено в название новой теории с целью дистанцирования от традиционной чёткой математики и Аристотелевой логике, оперирующих чёткими понятиями: «Принадлежит - не принадлежит», «Истина – ложь».

Существует легенда о том, каким образом появилась теория о нечётких множествах.

Математический аппарат нечёткой логики достаточно сложен и объёмен.

Классическая логика. Логика высказываний.

Современная классическая математическая логика определяется как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов основания математики. Простейшим видом классической логики, является логика высказываний. Объект её изучения – это высказывания, их взаимосвязи и семантика. Фундоминтальным понятием классической логики - является понятия высказывания. Это любое утверждение, про которое можно однозначно решить истинно оно, или ложно.

Например: 37 – простое число, это очевидно истинное высказывание.

В классической логике не принимаются другие возможности, чем истинные или ложные высказывания. Для обозначения истинности или ложности утверждения, используются элементы множества L = {0;1}

0 – ложь

1 – истина.

Эти элементы называются истинностными значениями. Для составления сложных высказываний используются простые высказывания, соединённые знаками логических операций (И, ИЛИ, НЕТ, ЕСЛИ … ТО, «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА»)

лекция 2 14.05.12

Импликация двух высказываний, соответствует союзу «если…,то…», обозначается символом =>, иногда эту операцию называют логическим следованием. А=>В (если А, то В). “Если верно высказывание А, то и верно высказывание B”; “из А следует В”.

Таблица истинности импликации 2 высказываний имеет вид:

А	В	А=>B
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Табл.1 показывает, что из истинного высказывания А, следует истинное высказывает В.

Ложное же высказывание А, имплицирует как ложное, так и истинное высказывание В.

Говорят из лжи всё, что угодно.

Импликация лежит в основе вывода умозаключений, поэтому в А-> В, А называют условием или посылкой импликации, а В заключением или следствием импликации.

Пример:

А = «Треугольник равносторонний», тогда как известно истинно высказывание, что В = «Треугольник равноугольный», поэтому импликация X=A=>B = «Если треугольник равносторонний, то он равноугольный».

Согласно табл.1 считаются истинными высказывания, если А ложно, то В истинна, и если А ложно, то В ложно.

Это отражает тот факт, что из ложного высказывания, можно вывести как правильное, так и ошибочное заключение.

В настоящее время термин нечёткая логика используется в двух смыслах:

1) В узком, нечёткая логика – это логическая система, которая является расширением многозначной логики.

Нечёткая логика в узком смысле представляет собой специальную многозначную логику, которая нацелена на обеспечение формальных основ градуируемого подхода нечётности.

Под градуированным подходом, понимается общий принцип человеческого мышления, который используется при попытке выяснить, обладает ли объект свойством в полной мере или частично. Но поскольку данное свойство нечётно (например: практически белое пятно, очень сильный мотор), во всех этих случаях мы встречаем скрытые степени интенсивности рассматриваемых свойств.

2) Нечёткая логика в широком смысле: является расширением нечёткой логики в узком смысле и нацелено на создание математической модели, естественных человеческих рассуждений, в которых принципиальную роль играет естественный язык. В этом смысле нечёткая логика равнозначна теории нечётких множеств, то есть классов с нечёткими размытыми границами.

В общем, нечёткая логика, является результатом градуированного подхода к формальным логическим схемам. Благодаря градуированному подходу, нечёткая логика обеспечивает разрешимость некоторых классически неразрешимых проблем.

Например: древний парадокс Куча.

Sorites – куча. Falakros – лысый человек.

Парадокс кучи: одно пшеничное зерно, не образует кучи, то же самое верно для 2 зерён, для 3 зёрен, следовательно, кучи не существует.

Парадокс лысого человека: человек без волос или с одним волосом, лысый человек, тоже самое верно для человека с 2 волосами и т.д., следовательно, все люди лысые.

Указанные парадоксы возникают тогда, когда свойства «быть кучей» или «быть лысым» понимаются точно. Классическая двузначна логика, неспособна с ними сравниться, в рамках нечёткой логики подобные парадоксы не имеют места. Предлагаемые нечёткой логикой решения, заключается в допущении, что импликация F(x)=>F(x+1), где F(x) – означает высказывание “x” зерён не образуют кучу, истина только в некоторой степени близкой к , при этом допущении парадокс Кучи, так же как и парадокс лысый человек, исчезают.

В настоящее время развитие нечёткой логики ещё не завершено, но работа по разработки её математических основ ведётся активно.

Нечёткие множества как способы

формализации нечётности.

Понятие нечёткого множества:

Пусть U – универсальное множество, - “x” элемент универсального множества.

Нечёткое множество A, определяется как множество упорядоченных пар: где- характеристическая функция принадлежности, которое принимает значение в некотором упорядоченном множествеM=[0,1].

Функция принадлежности указывает степень или уровень принадлежности элемента “x” к множеству А.

Пример: формально можно записать

В={ множество молодых людей}. Поскольку возраст начинается с 0, то нижняя граница этого множества должна быть = 0, верхнюю определить сложнее. Сначала установим верхнюю границу = 20 годам, следовательно B=[0,20]. Возникает вопрос, почему кто-то в свой 20-ти летний юбилей молодой, а на следующий день не молодой? Очевидно это структурная проблема, и если передвинуть верхний придел, то останется тот же самый вопрос.

Более естественный путь создания множества B состоит в ослаблении строгого деления на молодых и не молодых. Можно использовать гибкие формулировки:

1. Да, он принадлежит к довольно молодым людям.

2. Нет, он не очень молодой.

Представим эту мысль более формализовано, введём значения между 0 и 1, тогда 1 означает, что человек принадлежит множеству B, а 0, не принадлежит, но граница между ними нечёткая.

.

.

.Лингвистическая переменная.

При описании объектов и явлений с помощью нечётких множеств используется понятие нечёткой или лингвистической переменной.

Нечёткой переменной называется тройка следующих чисел: {x,U,A}

А – нечёткое подмножество множества U, которое представляет собой нечёткое ограничение, назначенное переменной обусловленное “x”.

Лингвистическая переменная отличается тем, что её значения не числа, а слова. Поскольку слова менее точны, чем числа, то понятие лингвистической переменной даёт возможность приближено описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах.

Понятие лингвистической переменной играют большую роль в нечётком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений.

Формальная лингвистическая переменная описывается следующей пятёркой:

{x,T,U,G,M}

• x – имя переменной.

• Т – термин множества, каждый элемент которого задаётся нечётким множеством на универсальном множестве U.

• G – синтаксическое правило, часто в виде грамматики, которое порождает название термов.

M – семантические правила, которые задают функции принадлежности нечётких термов, порожденных синтаксическими правилами из G/

Лекция 3 17.05.12

Пример лингвистической переменной:

Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью понятий:

«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»

При этом минимальная толщина = 10 мм, а максимальная = 80 мм.

Формализация такого описания может быть определена с помощью следующей лингвистической переменной:

(x,T,U,G,M)

x – толщина изделия;

T – термо множество {«Малая толщина», «Средняя толщина», «Большая толщина»};

U – отрезок от 10 до 80;

G – процедура образования новых термов с помощью связок «И», «ИЛИ». и модификаторов типа «очень», «не», «слегка», и т.д. Например: «Малая или средняя толщина», «очень малая толщина»;

М – процедура задания на U = [10,80] нечётких подмножеств

А1 = «Малая толщина», А2 = «Средняя толщина», А3 = «Большая толщина»

а также нечётких множеств для термов G(T) в соответствии с правилами трансляции нечётких связок и модификаторов «И», «ИЛИ», «НЕ», «ОЧЕНЬ», «СЛЕГКА» и других операций над нечёткими множествами вида:

;

CON A = – растяжение;

DIL A = – сжатие.

Терма множество и расширенное терма множество в условиях примера можно характеризовать следующими функциями принадлежности:

На рисунке 2 приведена функция принадлежности нечёткого множества « Малая или средняя толщина»:

Рассмотрим лингвистическую переменную с именем x = «температура в комнате»,

тогда оставшуюся четвёрку чисел в определении лингвистической переменной можно определить так:

U = [12, 35]

T = {«Холодно», «Комфортно», «Жарко»} со следующими функциями принадлежности:

;;

G – синтаксические правила G порождающие новые термы с использованием квантификаторов «не», «очень», «более-менее».

М – семантические правила М заданные в таблице 1:

Правило модификации функции принадлежности
Кванитификатор	Функция принадлежности
Не
Очень
Более-менее

Нечёткая истинность

Особое место в нечёткой логике занимает лингвистическая переменная истинность.

В классической логике истинность может принимать только 2 значения:

«Истинно»;

«Ложно».

В нечёткой логике истинность «размытая». Нечёткая истинность определяется аксиоматически, причём разные авторы делают это по-разному.

[0,1]- этот интервал используется как универсальное множество лингвистической переменной истинность.

Обычная чёткая истинность может быть представленная нечёткими множествами – синглтонами. В этом случае, чётким понятиям «Истинно» и «Ложно» будут соответствовать функции принадлежности

Для нечёткой истинности Лотфи Заде предложил следующую функцию принадлежности термов «Истинно» и «Ложно»:

Параметр – он задаёт носителей нечёткого множества «истинно» и «ложно»

Для нечёткого множества истинно носителем будет интервал (a,1].

Для нечёткого множества ложно носителем будет интервал [0,a).

графики функции принадлежности нечётких термов «Истинно» и «Ложно», при а = 0,4

имеют вид:

Балдин предложил другие функции принадлежности для нечётких значений «Истинно» и «Ложно».

функция принадлежности новых термов рассчитываются с использованием операций концентрации, что соответствует возведению в квадрат и операцияDIL, что соответствует возведение в степень

;

;

Нечёткие логические операции

Нечёткие логические операции:

в нечёткой логике количество возможных значений истинности может быть бесконечно,

поэтому в общем виде табличное представление логических операций невозможно. Однако таблицей можно задать нечёткую логическую операцию, при ограниченном числе истинностных значений.

Для логики с 3 нечёткими значениями истинности

{T – «истинно», F – «Ложно», T+F – «Неизвестно»} Заде предложил следующую лингвистическую таблицу истинности:

A	B
T	T	F	T	T
T	F	F	F	T
T	T+F	F	T+F	T
F	T	T	F	T
F	F	T	F	F
F	T+F	T	F	T+F
T+F	T	T+F	T+F	T
T+F	F	T+F	F	T+F
T+F	T+F	T+F	T+F	T+F

Лекция 4. 24.05.12

Таблицу нечёткой истинности можно расширить, например:

Пусть заданы истинностные значения:

“ истинно”= (0/0;0/0,2;0,25/0,4;0,5/0,6;0,9/0,8;1/1);

“более-менее истинно”= (0/0;0/0,2;0,5/0,4;0,7/0,6;0,95/0,8;1/1);

“почти истинно”= (0/0;0,05/0,2;0,4/0,4;0,7/0,6;1/0,8;0,8/1);

Находим нечеткую истинность выражения:

“почти истинно” (или) ”истинно” (сравниваем функции принадлежности (1 строку и 3) ,

берём большее =

(0/0;0,05/0,2;0,4/0,4;0,7/0,6;1/0,8;1/1)

Дефаззификация

Дефаззификация – это преобразование нечёткого множества в чёткое число.

В теории нечётких множеств дефаззификация аналогична нахождению характеристик положения случайных величин (математического жидания, моды, медианы) в теории вероятности. Простейшим способом дефаззификации является выбор чёткого числа с максимальной степенью принадлежности. Для много экстремальных функции (много точек max и min) принадлежности применяются следующие методы дефаззификации.

1) Центр тяжести (COG (Center Of Gravity)):

2) Центр максимумов (Mean of Maximums) – это среднеарифметическая элементов универсального множества U имеющих максимальные степени принадлежности:

где G =

3) Первый максимум (First Maximum) – это максим функции принадлежности с наименьшей абсциссой:

Провести дефаззификацию нечёткого множества «мужчина среднего роста» по методу центр тяжести, где нечёткое множество «мужчина среднего роста» на универсальном множестве U.

U = {155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190}

A = (0/155; 0,1/160; 0,3/165; 0 ,8/170; 1 /175; 1/180; 0,5/185; 0/190)

решение:

A = 175,4;

Нечёткие отношения

Пусть U = прямое произведение универсальных множеств.

И пусть M - некоторое множество принадлежностей и M = [0,1]

нечёткое n – арное отношение определяется, как нечёткое подмножество R на U принимающее свои значение в M.

В случае n = 2 и М [0,1] нечётким отношение между множествами x= иy = будет называться функция

R: (X,Y) ->[1,0] которые ставят в соответствие каждой паре элементов (x,y) принадлежащей XкрестY, велечину

В случае когда X=Y, то есть x и y совпадают нечётное отношение

- называется нечётким отношением на множестве X

Операция над нечёткими отношениями

1. Объединение двух отношений R1 и R2

2) Пересечение двух отношений R1 и R2

3)Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2

4) Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2

5) Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2

6) Дополнение отношения

7) Обычное отношение ближайшее к нечёткому

Пусть R – нечёткое отношение с функцией принадлежности . Обычное отношение, ближайшее к нечёткому, обозначаетсяи определяется выражением:

По договоренности принимают при

9) Композиция (свёртка) двух нечётких отношений

Пусть нечёткое отношениемеждуX и Y

и междуX и Z.

Нечёткое отношение между X и Z обозначается и определяется выражением

и называется максминной композицией (максминной свёрткой отношений )

Пример:

Пусть

	0,1	0,7	0,4
	1	0,5	0

	0,9	0	1	0,2
	0,3	0,6	0	0,9
	0,1	1	0	0,5

	0,3	0,6	0,1	0,7
	0,9	0,5	1	0,5

i-ая строка умножается наj- ый столбец с использованием операцииmin. Полученный результат “свертывается” с использованием операции max.

в

операция композиция (свёртка) используется в нечётких логических выводах.

Нечёткие расширения логических операций.

Рассмотрим расширение логических операций «НЕ», «И», «ИЛИ» до нечётких операций.

В настоящее время в нечёткой логике в качестве операций «НЕ», «И», «ИЛИ»,используют нечёткое отрицание t – норму и s – норму (t - конорма).

Лекция 5 28.05.12

1. Нечёткое отрицание «НЕ»

отображение : [0;1]->[0;1] называется отрицанием, если выполняются следующие 3 аксиомы:

фор1

Если выполняется аксиома 3, то отрицание называется сильным или инволюцией.

Аксиома 1 сохраняет свойства двузначного «НЕ» и означает, что нечёткое отрицание 0 равно 1.

Аксиома 2 это наиболее существенное требование, понятия «Отрицания»:

нечёткое отрицание инвертирует (т.е. наоборот) в смысле строго неравенства, последовательность оценок.

Аксиома 3 инволюции является правилом двойного отрицания, которое утверждает, что взятие дважды отрицания возвращает нас к исходной оценке.

Пример инволюции: типичном примером сильно отрицания (инволюции) яв-ся вычитание из 1 фор2

С точки зрения нечётких множеств оно соответствует понятью дополнения нечёткого множества A с функцией принадлежности рис1.

Докажем выполнимость всех трёх аксиом для этого примера:

фор3

Кроме того очевидно то, что x = 0,5 соответствует

2. Нечёткое расширение «И» t – норма. (Триангулярная норма или треугольная норма).

t- нормой называется бинарная операция T: [0,1]x[0,1] ->[0,1] удовлитвряющая следующим аксиомам:

фор4

Геометрический смысл произвольной t – нормы

Из аксиом T1(0) и T2(0) что область определения x1 T x2 находится на стороне единичного куба в плоскости (x1;x2), другими словами из аксиомы T1(0) следует, что на стороне x2 = 1, единичного куба образуется линия x1 Т x2 = x1, а на стороне x2 = 0 или в плоскости x1 T x2 = 0.

Если использовать семетричность T2(0), то на стороне x1=1 образуется линия x1 T x2 = x2, а на стороне x1 = 0 образуется линия x1 T x2 = x2

Таким образом значения x1 T x2 в четырёх вершинах еденичного куба, явл-ся также значениями чёткой операции «И». Из аксиомы T2 следует что график симметричен относительно плоскости образованной наклонными x1 = x2.

рис 4

3. нечёткое ррашрнение «ИЛИ» - t – конорма (треугольная конорма или s – норма).

s – нормой называется бинарная операция G: [0;1]x[0;1]->[0;1] удовлетворяющие следующим аксиомам:

S1(0): граничные условия

фор 5

типичной S – нормой называется операция максимума «сим1»

Приближенные рассуждения (логический вывод )

Под приближёнными рассуждениями понимается процесс при котором из нечётких посылок получают некоторые следствия, возможно тоже нечёткие. Приближённые рассуждения лежат в основе способности человека понимать естественный язык; разбирать подчерк; играть в игры, требующие умственных усилий, в общем, принимать решения в сложной и не полностью определённой среде. Это отличает человека от интеллекта вычислительной машины.

Логический вывод

В классической Булевой логике логический вывод базируется на следующих тафтологиях:

- модус поненс (

- модус толленс

- силлогизм

- контрапозиция

наиболее часто употребляется «модус поненс» его можно записать в виде таблицы:

Посылка	A есть истинно
Импликация	Если A, то B истинно
Логический вывод	B есть истинно

В нечёткой логике известно, что близкое к A утверждение сим2 яв-ся истинным, модус понненус не может быть применён.

В нечёткой логике главным инструментом яв-ся композиционное правило Заде. Оно формулируется следующим образом:

Пусть U и V - два универсальных множества, с базовыми переменными u принадлежит U, v принадлежит V.

A и F – нечёткие подмножества U и UxV

Тогда из нечётких множеств A и F , следует множество фор6

нечёткий логический вывод происходит за 4 шага: 1) Фаззификация – с помощью фун-ии принадлежности всех термов входных лингвистических переменных и на основании задаваемых чётких значений из универсумов (универсальных множеств), входных лингвистических переменных, определяется степень уверенности в том выходная лингвистическая переменная принимает конкретные значения.

2) Этап непосредственного нечёткого вывода – на основании набора правил (нечёткой базы знаний) вычисляются значения истинности для предпосылок всех правил на основании конкретных нечётких операций, соответствующих конъюнкции или дизъюнкции термов в левой части правил.

3) Этап композиции (агрегации, аккумуляции) – все нечёткие множества назначенные для каждого терма, каждой выходной лингвистической переменной объединяются вместе и формируется единственное нечёткое множество – значение для каждой выводимой лингвистической переменной.

4) Этап дефаззификации – этот этап не обязателен, он используется, когда полезно преобразовать нечёткий набор значений выводимых лингвистических переменных к точным значениям.

Существуют алгоритмы нечёткого логического вывода:

1. Алгоритм Mamdani

2. Алгоритм Tsukamoto

3. Алгоритм Larsen

65