Другой же софизм гласит, что «Единица равна двум»

Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства

1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число , получим новое равенство

1-3 + = 4-6+,

в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.

(1-)=(2-)

Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:

1-=2-

откуда следует, что

1=2.

Где ошибка?

Разбор софизма:

По определению представляет собой некоторое неотрицательное число, которое, будучи возведено в квадрат, дастх. Ясно, что этому определению удовлетворяют два числа, а именно х и -х. Итак, если число х неотрицательно (х>0), то=х; если же число х отрицательно, то есть число -х положительно, то= - x. Отсюда заключаем, что(свойство арифметического квадратного корня), что не учитывается в содержании этих софизмов и приводит к ложным выводам.

«Всякое число равно своей половине.»

Запишем очевидное для любого числа a тождествоa² - a² = a² - a²,где а-любое число.

Вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a - a).

Разделив обе части на a - a, получим a = a + a, или a=2a.

Разделим на 2 и получим а= а/2

Где ошибка?

Мы делим обе части на ноль, а деление на ноль запрещено.

«Меньшее число больше,чем большее.»

Очевидно,что7>5 и что -8=-8

Тогда:7-8>5-8 или -1>-3

Это не противоречит основному понятию об отрицательных величина, на основании которого мы считаем меньшей ту отрицательную величину,численное значение которой больше,и наоборот.

Умножим обе части последнего неравенства на (-4).

Получим (-1)∙ (-4)>(-3)∙(-4) или 4>12

Где ошибка?

Разбор софизма:

При умножении неравенства на отрицательное число, знак неравенства изменяется на противоположный.

«Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки  Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ  перпендикулярна АС и ВD перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка?

Разбор софизма:

Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

Всякое положительное число является отрицательным.

Пусть n-положительное число.

Очевидно, 2n-1<2n.

Возьмём другое произвольное положительное число a и умножим обе части неравенства на (-а): -2an+a<-2an.

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2an), получим неравенство a<0, доказывающее, что всякое положительное число является отрицательным.

Где ошибка?

Разбор софизма:

При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.