1.2. Общий вид математической модели задачи линейного программирования

В общем виде задача линейного программирования ставится следующим образом:

Найти набор управляемых параметров

,

на котором достигается наибольшее (наименьшее) значение показателя эффективности

(7)

при выполнении ограничений

(8)

(9)

(10)

и на некоторые переменные накладываются условия неотрицательности

(11)

Функция (7) называется целевой функцией или критерием оптимальности, или линейной формой.

Вектор управляемых параметров называется решением. Решение называется допустимым, если оно удовлетворяет ограничениям (8–11). Допустимое решение называется планом.

(12)

Решение называется оптимальным, если на нем достигается наибольшее значение критерия оптимальности:

–оптимальное решение, если

(13)

–оптимальное решение, если для любого

Задача линейного программирования называется разрешимой, если она имеет хотя бы одно оптимальное решение. У неразрешимой задачи или пуста область допустимых решений, или целевая функция не ограничена.

1.3. Различные формы задач линейного программирования

В зависимости от вида ограничений различают следующие формы задач:

• Каноническая

• Симметричная

• Общая.

Задача в канонической форме – задача ЛП, в которой все ограничения (8) – (10) есть равенства (p = q = 0) и все переменные неотрицательные (r = n).

Общий метод решения задачи ЛП разработан именно для задачи в каноническом виде.

Матричный вид задачи в канонической форме:

(14’)

(15’)

(16’)

() = (*) →

=

= – вектор коэффициентов критерия

=

= – матрица условий (технологических коэффициентов)

= ( )

= – вектор условий

= – вектор ограничений

Векторный вид задачи в канонической форме:

(14”)

(15”)

() = (*)

+ + …+=

(16”)

,

Для неё разработан метод решения, который называется симплексным.

Задача в симметричной форме – задача ЛП, в которой все ограничения (8) - (10) есть неравенства (p = q = m) и все переменные неотрицательные (r = n).

(17)

(18)

(19)

Матричный вид задачи в симметричной форме:

С

(14’)

(15’)

(16’)

имметричная форма допускает графическое решение (иллюстрацию).

Задача в общей (смешанной) форме – задача ЛП, в которой присутствуют все виды ограничений и не все переменные неотрицательные.

Приведение задачи линейного программирования от одной эквивалентной формы к другой

1. Сведение задачи минимизации к задаче максимизации:

Преобразование сводится к смене знака критерия.

() ~(())

*

() =(())

2. Переход от ограничений-неравенств к уравнениям:

• (20)

Неравенство (20) заменяется на уравнение (21) и условие (22)

+ = (21)

(22)

Переменные – дополнительные или балансовые, так как обеспечивают баланс правой и левой частей.

• 

  (23)

  

Аналогично, неравенство (23) заменяется на уравнение (24) и условие (25)

(24)

(25)

- =

3. Переход от переменных произвольного знака к неотрицательным переменным:

= -

4. Переход от переменных, ограниченных снизу, к неотрицательным:

= +

5. Переход от уравнений к неравенствам:

• Если имеется уравнение:

(26)

т

(27)

(28)

о оно заменяется на два неравенства:

• Пусть есть несколько ограничений:

(29)

А

(30)

также:

Пусть ранг (количество линейно-независимых уравнений) системы ограничений равен , тогдапеременных можно выразить через остальные:

П

(31)

од решением систем уравнений (29) понимается зависимость одних переменных через другие. Эта зависимость (31) называется общим решением, независимые переменные – свободными (их можно произвольно менять), а – базисными переменными.

Задавая произвольные значения свободным переменным, получаем частные решения, но не все они удовлетворяют условиям неотрицательности:

(32)

Тогда для свободных переменных получаем ограничения в виде неравенств:

Если () = 2, то задача допускает иллюстрацию в пространстве двух переменных.

Для задачи в канонической форме, если все уравнения независимы и переменных на две больше, чем уравнений (т.е. () = 2), то свободных переменных в общем решении будет две и задача допускает графическое решение.