Метод-ка ВМ для ст.зу.Ч.2 к.р. 3,4
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2011
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов заочного сокращенного обучения
Часть 2
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2011
|
2 |
УДК 51(075.8) |
Печатается по решению |
ББК 22.1я73 |
РИС НовГУ |
В93 |
|
Рецензент
доктор физико-математических наук, профессор Е. Ю. Панов
Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов заочного сокращенного обучения. Ч.2. - 2-е изд., исп. и доп. /авт.-сост. О.Н. Барсов; ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого», Великий Новгород, 2011. – 80с.
Пособие содержит задания для контрольных работ за второй семестр и методические указания к их выполнению по курсу высшей математики для студентов ускоренной формы обучения заочного отделения инженер- но-технических специальностей.
УДК 51(075.8) ББК 22.1я73
© ФГБОУ ВПО «Новгородский
государственный университет
имени Ярослава Мудрого», 2011
© О.Н. Барсов, составление, 2011
3
ВВЕДЕНИЕ
Курс высшей математики для студентов ускоренной формы обучения (на базе среднего специального образования) рассчитан на два семестра. В каждом семестре студентам необходимо выполнить две контрольных работы, каждая из которых содержит восемь заданий. Каждая контрольная работа содержит десять вариантов контрольных заданий с номерами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера зачетной книжки студента. Например, студент, у которого последней цифрой номера зачетной книжки является цифра 3, выполняет третий вариант всех четырех контрольных работ.
Контрольные работы должны быть оформлены в соответствии с нижеизложенными правилами:
1)каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради (12 листов) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента;
2)на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, шифр, номер контрольной работы и название дисциплины; необходимо также, указать дату отсылки работы в университет и адрес студента; в конце работы следует проставить дату выполнения и расписаться;
3)должны быть выполнены все задания своего варианта (работы, содержащие не все задания, а также содержащие задания другого варианта, не засчитываются);
4)задачи в работе надо располагать в порядке возрастания номеров, сохраняя нумерацию;
5)перед решением каждой задачи нужно выписать полностью еѐ условие, подставляя конкретные данные из своего варианта; решение задач следует излагать подробно, объясняя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи;
6)рекомендуется оставлять в конце тетради чистые листы для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента (вносить исправления в сам текст работы после еѐ рецензирования запрещается);
7)после получения не зачтѐнной, прорецензированной работы (зачтѐнные работы остаются у рецензента), студент должен исправить все указанные рецензентом ошибки и недочѐты в той же тетради после слов работа над ошибками;
8)к экзамену допускаются только те студенты, контрольные работы которых зачтены рецензентом; так как на рецензирование контрольной работы преподавателю отводится две недели, то задания следует высылать на проверку заблаговременно.
4
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 3
Задание 1. Вычислите криволинейные интегралы первого или второго рода.
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
z 2 |
a2 , |
|
|
|||
xyz dL , где L есть полуокружность |
|
2, z 0. |
|
|
||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||
1. |
x dL , где L есть окружность x2 |
y2 a2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y 2 z 2 a2 , |
||||||
2. |
(x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|||||
|
|
|
) dL , где L есть окружность |
|
|
|
x |
. |
||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
y dx |
x |
dy вдоль дуги L кривой |
y e |
x |
от точки A(0,1) до точки |
||||||||||||||||
y |
|
|
||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B (–1, e ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
y dL , где L является аркой циклоиды |
x a(t sin t), y a(1 cos t), где |
||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t [0,2 ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
ydx xdy |
вдоль границы |
L треугольника АВС с вершинами A(1,0), |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
В(1,1), С(0,1) против часовой стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y 2 z 2 a2 , |
||||||
6. |
(x2 |
z 2 ) dL , где L есть окружность |
|
|
|
y |
|
a |
. |
|||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
|
y |
dx x dy вдоль дуги L |
кривой y ln x |
от точки A(1,0) до точки |
||||||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B( e ,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a cost, |
0 t 2 . |
|||||||
8. |
ydx xdy , где L есть эллипс |
bsin t, |
||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
9. |
(xy x2 ) dx x dy вдоль дуги L параболы |
y x2 от точки A(0,0) до |
||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки B(1,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Задание 2. Вычислите кратные интегралы либо объѐмы заданных |
|||||||||||||||||||
тел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a2 x2 y2 dxdy , |
где |
область |
|
D задана неравенствами |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 a2 , x 0, y 0 .
5
1 xy dxdy , если область D |
ограничена линиями x 1, x 2, |
D |
|
yx, y 3x, .
2.Объѐм части цилиндра x2 y2 a2 заключѐнного между плоско-
стями z 0, x y z 2a, (a 0)
|
dxdy |
|
|
3. |
D x y |
, где область |
D определяется неравенствами |
1 x 2, x y 2x .
|
|
dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
|
|
|
, |
если |
область |
D |
ограничена плоскостями |
||||
|
|
3 |
||||||||||
|
D (1 x y z) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 0, y 0, z 0, x y z 1. |
|
|
|
|
||||||||
5. Объѐм тела, ограниченного сферой x2 y2 z2 4 и параболоидом |
||||||||||||
x2 y2 3z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
y cos(x z) dxdydz , |
если область |
D ограничена |
цилин- |
||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дром y |
|
|
и плоскостями y 0, z 0, x z . |
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
7. |
|
xy dxdy |
, |
|
|
если |
область |
D |
ограничена |
линиями |
||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x y 2, x2 y2 2y , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
z dxdydz , |
если область D ограничена параболоидом x2 y2 z |
||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
иплоскостью z a, a 0.
9.Объѐм тела, ограниченного координатной плоскостью z 0, параболоидом x2 y2 z и цилиндром x2 y2 4.
Задание 3. Вычислите поверхностные интегралы первого или второго рода или площадь заданной поверхности.
0. Поток (F n) dS векторного поля F x3 i через боковую поверх-
S
ность цилиндра x2 y2 a2 , 0 z h в направлении внешней нормали.
1. z dS , если S |
есть часть поверхности параболоида |
S |
|
x2 y2 z , 0 z a . |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Поток (F n) dS |
векторного поля F y2 i z2 j через поверх- |
||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
ность полусферы x2 y2 z2 a2 , z 0 в направлении внешней нормали.
3. Площадь части поверхности параболоида x2 |
y2 z, 0 z a2 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Поток (F n) dS |
векторного поля F z k |
через полную поверх- |
||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ность параболоида x2 y2 |
z , |
z h2 , h 0 в направлении внешней норма- |
|||||||||||||
ли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть часть поверхности конуса x2 y2 z2 , |
|||||||||||
5. |
x2 y2 dS , если S |
||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 z a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
Площадь части поверхности конуса z |
|
x2 y2 , заключѐнного |
||||||||||||
внутри цилиндра x2 y2 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Поток (F n) dS векторного поля F y j через боковую поверх-
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность конуса x2 y2 |
z2 |
, 0 z 2 в направлении внешней нормали. |
|||||||||||
8. |
Площадь части сферы x2 y2 |
z2 2a2 , заключѐнной внутри ко- |
|||||||||||
нуса x2 |
y2 z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Поток (F n) dS векторного |
поля F x2 i z2 k через поверх- |
|||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность полусферы x2 |
y2 |
z2 a2 , z 0 в направлении внешней нормали. |
Задание 4. Вычислите циркуляцию или поток векторного поля F Pi Q j R k с помощью теоремы Стокса или Гаусса–Остроградского.
0. |
|
|
|
|
|
x2 y2 |
z 2 a2 , |
в направле- |
||||||
ydx zdy xdz вдоль окружности |
|
x y |
z 0, |
|||||||||||
|
L |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нии против часовой стрелки относительно орта k . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Поток (F n) dS |
векторного поля |
F ( y2 |
z2 ) j через полную |
||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
поверхность куба 0 x 1, |
0 y 1, 0 z 1 в направлении внешней нор- |
мали.
2. Поток (F n) dS векторного поля F (x2 z2 )i через полную по-
S
верхность конуса x2 y2 z2 , 0 z h в направлении внешней нормали.
3. (x 3 6z)dx вдоль контура треугольника АВС, расположенного
L
в плоскости x y 2z 4, в направлении A(–4,0,0), В(0,4,0), С(0,0,2).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
x2 |
y2 dx z2 y2 dy z 2 x2 dz |
вдоль |
окружности |
|||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 1, против часовой стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
2xdx zdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y 2 |
a2 , |
против |
часовой |
|||||||||
вдоль окружности |
h, h 0, |
||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||
стрелки относительно орта k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
Поток векторного поля F x2 i y2 j z2 k |
через полную поверх- |
|||||||||||||||||||||||
ность |
пирамиды, |
ограниченной |
плоскостями |
x 0, y 0, |
z 0, |
||||||||||||||||||||
x y z a, a 0, в направлении внешней нормали. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7. z 2 y dx x2 z dy y2 x dz вдоль контура четырѐхугольника ABCD, |
|||||||||||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
который обходится |
в направлении |
вершин |
A(0,0,0,), В(0,1,0), |
С(0,1,2), |
|||||||||||||||||||||
D(0,0,2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. |
Поток |
векторного поля F xi y j z k |
через полную поверх- |
ность цилиндра x2 y2 a2 , z 0, z h, h 0 в направлении внешней нормали.
9. Поток векторного поля F (x2 z2 ) k через полную поверхность куба 0 x 1,0 y 1,0 z 1 в направлении внешней нормали.
Задание 5. Убедитесь в том, что векторное F Pi Q j R k потенциально, и найдите потенциал этого поля.
|
|
3x2 y2 |
|
3 |
|
|
|
2x3 y |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
x3 y2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0. F |
|
2x |
|
i |
|
|
3y |
|
j |
z |
|
|
|
k. |
||||||||
z |
|
z |
|
|
z 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
F |
|
|
|
i + |
|
|
|
z j + |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 |
y2 z 2 |
1 |
|
x2 |
y2 z 2 1 |
|
|
x2 |
y2 z 2 1 |
2. F (3x2 y2 z2 6xy3 z)i + (2x3 yz 2 9x2 y2 z) j + (2x3 y2 z 3x2 y3 ) k .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
|
F (4 yz 6xy2 z2 )i + (4xz 6x2 yz 2 ) j + (4xy 6x2 y2 z) k . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. F (2xy 6xy4 z5 )i + (x2 12x2 y3 z5 ) j 15x2 y4 z4 k . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||||||||||
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j + |
|
|
|
|
k . |
|||||||||||||||||
|
x2 y2 z 2 |
x2 y2 z 2 |
|
x2 y2 z 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
F 10xyz 3 i + (2 yz 5x2 z3 ) j + ( y2 |
15x2 yz 2 ) k . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
yz |
|
|
|
|
x z |
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
|
F |
i + |
|
|
j + |
|
k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. |
|
F |
i |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поле
y k.
8
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x2 z x |
2 y |
|
|
|
|
xy 2 |
|
|
|
y2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
2 |
|
|
|
|
yz 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Задание 6. Исследовать на сходимость данные числовые ряды. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 4n2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
5 |
|
7 |
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 n ln n ln ln n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||
|
1. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
; б) |
n |
|
|
|
|
|
; в) ( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
n 4 |
|
|
|
|
|
|
n 1 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 (n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2n 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 4n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
n ln |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
3n |
3 |
n |
5 |
|
|
|
n ln n |
|
|
|
|
ln(n |
1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n 1) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ( 1) n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
1 |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
7. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
3 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1) n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
3 |
|
1 |
|
n |
2 |
|
4n |
5 |
|
|
|
|
|
|
n ln n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||
|
9. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
в) ( 1)n 1 3n 1 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
2n2 n |
1 |
|
|
|
|
|
|
n 0 |
1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Задание 7. Дана функция |
|
|
f (x) . Требуется: а) разложить эту функ- |
цию в ряд Тейлора по степеням x x0 и найти область сходимости полу-
ченного разложения; б) разложить данную функцию в ряд Фурье на промежутке (а, b).
9
0.а)
1.а)
2.а)
3.а)
4.а)
5.а)
f (x) sin x, x |
0 |
|
; |
б) |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) xsin x, x0 0 ; |
б) |
f (x) cos2 x, x |
0; |
б) |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
f (x) |
1 |
, x0 |
1; |
б) |
||
|
||||||
x 4 |
||||||
|
|
|
|
|
||
f (x) ex , x0 1; |
б) |
|||||
f (x) sin 2 2x, x |
0 |
0 ; |
б) |
|||
|
|
|
|
|
f (x) x, (0,1).
1, если 1 x 0, f (x)
x, если 0 x 1.
f(x) x, ( 2,0) .
2, если x 0, f (x) x 1, если 0 x .
1, если x 0, f (x)
1, если 0 x . f (x) x 1, ( 1,1) .
6. а) f (x) x4e x2 , |
|
x0 0 ; б) |
|||||
7. а) f (x) |
x 1 |
, |
x 1; |
б) |
|||
x 2 |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x, если x 0, f (x)
1, если 0 x .
f (x) x 1, (0,1) .
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2, если x 0, |
|
8. а) |
f (x) |
|
, x0 |
5 ; |
|
|
б) |
f (x) |
x . |
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 1, если 0 |
|
9. а) |
f (x) xln(2 x), x |
0 |
0 ; |
б) f (x) x2 , ( , ) . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 8. Найти общее решение или решение задачи Коши для заданных дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
0. а) y / y tgx |
1 |
, y(0) 0 ; |
б) y// 9y cos3x . |
|
cos x |
||||
|
|
|
1.а) xy / 4 y x2 y 0 ;
2.а) y / 2xy cos2 2yx ;
3.а) y/ tgx y 1;
4. а) y/ 1 x2 y2 1;
5. а) y / |
2xy |
; |
|
x2 y2 |
|||
|
|
|
|
б) |
y// y/ x 1, y(0) 0, |
y/ (0) 1. |
||||||
б) y |
// |
|
4y cos2x, |
|
|
1, |
y |
/ |
|
0 . |
|
y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
б) y// 2y/ 2y x, y(0) 0, y/ (0) 1.
б) y// y/ 2x 1, y(0) 1, y/ (0) 0 .
б) y// y/ 2 y x2, y(0) y/ (0) 1
6. |
а) |
xy / y y2 ln x, |
|
б) |
y// y/ ex , y(0) 1, y/ (0) 1. |
||
7. |
а) |
y / 2 y ex x , |
y(0) |
1 |
; |
б) y// y/ 6 y e2x . |
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|