Глава III. Геометрический смысл определенного интеграла

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, где a < b,

численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).

Рисунок. 3

Действительно, при стремлении к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Рисунок. 4

Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

и т.д.

(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса).

Площадь криволинейной трапеции

Одной из основных задач, приводящих к понятию определенного интеграла, является задача о площади криволинейной трапеции, т. е. фигуры G, задаваемой на плоскости Оху условиями

G = {(x,y): a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}, (12)

где f(x) — функция, непрерывная на отрезке [а, b].

Утверждение 1. Криволинейная трапеция G - квадрируемая фигура, площадь которой S = S(G) выражается формулой

S = dx. (13)

Пусть T = {,i =} — разбиение отрезка [а,b], и- соответственно наибольшее и наименьшее значения функцииf на отрезке

= [,], Δ=—, i =.

Рассмотрим клеточную фигуру q, составленную из прямоугольников [i = .), таких, что длина основанияi-го прямоугольника равна Δ, а высота равна.

Аналогично определяется клеточная фигура Q, составленная из фигур , где— прямоугольник, длина основания которого Δ, а высота,i = .

Очевидно, q ⊂G ⊂ Q, площади фигур q и Q соответственно равны

S(q) = Δ, S(Q) =Δ,

Заметим, что

S(q) = ,S(Q) = , (14)

где и— соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для функцииf при разбиении Т отрезка [а;b]. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то в силу критерия интегрируемости для любого ε > 0 найдется такое разбиение Т этого отрезка, что

О ≤ -< ε.

Иными словами (см. равенства (14)), существуют клеточные фигуры q и Q такие, что

q⊂G⊂Q, 0 ≤ S(Q) - S(q) < ε,

т. е. выполняются условия (1), (2). Это означает, что G — квадрируемая фигура и согласно теореме 1 справедливо равенство (4), которое в силу равенств (14) можно записать в виде

S(G) =sup = inf.(15)

Используя следствие из теоремы 2, получаем

sup = inf=dx.(16)

Из (15) и (16) следует, что площадь S = S(G) криволинейной трапеции G выражается формулой (13).

Замечание 3. Площадь S фигуры G была определена как предел интегральной суммы σT(ε) = Δприl{Т) 0 при условии, что этот предел не зависит от разбиения Т и выборки ε = {,i =} }, где∈ . Для непрерывной на отрезке [а, b] функции =dx, и поэтому оба определения площади приводят к одному и тому же результату.

Рассмотрим теперь фигуру D (рис. 5), ограниченную отрезками прямых х=а и х=b и графиками непрерывных на отрезке [а,b]

Рисунок 5

функций у = (x) и у =(x), где(x) ≤ (x) при х∈[а,b]. Если (x) ≥ 0 для всех х∈[а, b], то площадь фигуры D равна разности площадей криволинейных трапеций и, где= {(х,у): а ≤x ≤b, 0 ≤ y ≤ (x)},i = 1, 2. Поэтому площадь фигуры D выражается формулой

= dx. (17)

Формула (17) остается в силе и в случае, когда не выполняется условие f1(x) ≥ 0 для всех х∈[а,b]. Чтобы убедиться в этом, достаточно сдвинуть фигуру D вдоль положительного направления оси на= || и воспользоваться тем, что площади равных фигур совпадают[14].

интеграл геомедь Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Определение. Объем тела может быть вычислен по формуле , гдеS()-площадь попереного сечения телаT плоскостью x=. в частности, если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг осиOх, то , а если вокруг оси Оу, то[5].

а) Тело и его объем. Произвольное ограниченное множество точек пространства будем называть телом.

Основные определения и утверждения, относящиеся к телам, аналогичны соответствующим определениям и утверждениям, содержащимся в главе 4 нашей курсовой работы. Поэтому некоторые утверждения для тел (см. теоремы 1 и 2) будут опущены.

По аналогии с понятием клеточной фигуры назовем тело клеточным, если его можно представить как объединение конечного числа непересекающихся параллелепипедов, т. е. тел вида М = {{x,y,z): ≤ х ≤,≤у ≤,≤ z ≤}, а также тел, получаемых из М удалением части границы (или всей границы) тела М. Объемом параллелепипеда М назовем число (—)(—)(—), а объемом клеточного тела — сумму объемов составляющих его параллелепипедов[14].

Рассмотрим подробнее. Пусть требуется найти объем V тела (рис 14), причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b[13].

Рисунок 14.

1. Через произвольную точку x [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении x. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = S(x) dx

Объем тела вращения

Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг осиOx криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), имеет объем

.

Рисунок 6

Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [a;b] на n частей точками a=. На каждом частичном отрезке [] построим прямоугольник (рис. 15). При вращении вокруг осиOx каждый прямоугольник опишет цилиндр. Найдем объем i-го цилиндра, образованного вращением прямоугольника PMNQ:

,

где .

Сумма объемов всех n цилиндров приближенно равна объему данного тела вращения:

.

С другой стороны эта сумма является интегральной суммой для интеграла . Так как функциянепрерывна на [a;b], то предел этой суммы при

существует и равен определенному интегралу . Таким образом,

[15].

Вычисление площади поверхности вращения

Определение: площадь S поверхности фигуры, полученной вращением кривой y=f(x)(a≤x≤b, f-непрерывно дифференцируема) вокруг оси Ox, можно вычислить по формуле:

Если фигура получена вращением кривой

Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке [a,b]. Тогда поверхность, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, имеет площадь P, которая может быть вычислена по формуле

Рисунок. 16

Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [a,b] на n-частей точками a=<…<Пусть,,…,– соответствующие точки графика функцииf(x). Построим ломанную…,(рис. 16). При вращении этой ломаной вокруг осиOx полученных конусов (цилиндров). Площадь боковой поверхности усеченного конуса (цилиндра), образованного вращением i-го звена ломаной, равна , где- длина хорды, т.е.

.

По формуле Лагранжа

, .

.

Итак, площадь P поверхности вращения приближенно равна площади поверхности, полученной от вращения ломаной

.

Представим эту сумму в виде двух сумм

. (2)

Первая сумма в правой части последнего равенства является интегральной суммой для интеграла (1), и при в силу непрерывности функцииимеет своим пределом этот интеграл. Покажем, что выражение в фигурных скобках в правой части равенства (2) имеет припредел, равный нулю. Действительно, так как функцияf(x) равномерно непрерывна на [a;b], то по теореме Кантора для любого существуеттакое, что привыполняются неравенстваи. Если обозначить черезM максимальное значение функции на отрезке [a;b], то выражение в фигурных скобках при оценивается следующим образом:

.

Так как произвольно мало, то отсюда следует, что предел указанного выражения равен нулю при→0[15]. Таким образом, переходя в равенстве (2) к пределу при→0, имеем

,

т.е. получена искомая формула (1).

Замечание. Если поверхность получается вращением вокруг оси Ox кривой AB, то заданной параметрическими уравнениями причемизменяется отa до b при изменении t от , то, производя в интеграле (1) замену переменнойx=, получаем

. (3)

Наконец, если кривая задана уравнением в полярных координатах: , гдеимеет непрерывную производную на [], то этот случай сводится к параметрическому заданию кривой,и формула (3) принимает вид:

[15].

Вычисление длины дуги

Вычисление длин дуг кривых. Пусть кривая задана параметрическими уравнениямиx=x(t), y=y(t), z=z(t), t, и функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы на []. Тогда криваяспрямляема, и ее длинаs может быть вычислена по формуле

.

Если кривая плоская (z =0), то

.

Если кривая является графиком непрерывно дифференцируемой функцииy=f(x), , то

.

Если кривая задана в полярных координатахr=r(,, то

[5].

Длина дуги линии – предел периметра ломаной линии, вписанной в данную дугу, если число звеньев этой линии неограниченно возрастает, а длина дуги каждого звена стремится к нулю. Для непрерывных линий упомянутый предел всегда существует, конечный или бесконечный. Если этот предел конечный, то линия (дуга ее) называется спрямляемой. В зависимости от способа аналитического задания линий длина дуги вычисляется по следующим формулам:

для плоских линий:

1. =(t),;

2. ;

3. ;

4. ;

для пространственных линий:

5. =(t),;[5]

Длина дуги кривой. Пусть плоская кривая AB задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a,b]. Разобьем кривую AB на n произвольных частей точками в направлении отA к B. Соединив соседние точки хордами, получим некоторую вписанную в кривую AB ломаную, длину которой обозначим через P (рис 17). Через обозначим длину одного звеналоманой, а через ϻ - длину наибольшего из ее звеньев:.

Рисунок. 7

Определение. Число L называется пределом длин ломаных P при , если для любогосуществуеттакое, что для всякой ломаной, у которой, выполняется неравенство

.

Если существует предел L длин P вписанных в кривую ломаных при ϻ0, то этот предел называется длиной дуги AB.

Если функция f(x) непрерывна вместе с на отрезке [a,b], то длина L дуги AB выражается формулой

. (1)

Доказательство. Обозначим через координаты точки, так что для абсцисс этих точек получим:. Тогда длинаодного звена ломаной равна

.

По формуле Лагранжа

.

.

.

Правая часть равенства представляет собой интегральную сумму для интеграла (1). Функция непрерывна на [a,b], поэтому предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу (1). Так как, то𝜆0 при 0. Следовательно,

.

Замечание 1. Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана параметрическими уравнениями , где- значения параметраt, соответствующие значениям x=a и x=b, т.е. a=,b=в формуленадо сделать замену переменной, положив. Тогда получим

. (2)

Замечание 2. Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана полярных координатах уравнением , гдеимеет непрерывную производнуюна отрезке [], и точкамиA и B соответствуют значениям , равные, нужно перейти от полярных координат к прямоугольным. Тогда получим параметрическое задание кривойAB уравнениями (- параметр). Так как

,

. [5]

Полярные координаты. Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r(),. Предположим, чтоr() иr() непрерывны на отрезке [].

Если в равенствах x = r cos, y = r sin, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол , то кривуюAB можно задать параметрически

Тогда

= =

=

Рисунок. 8

Применяя формулу

L = , получаем

_L =

Площадь поверхности вращения

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

(- длина окружности кольца,- его ширина).

Пример. Найти площадь тора, образующегося при вращении окружности вокруг осиOx.

Решение:

Ответ: