Примеры полугрупп и групп частных
Что значит привести пример полугруппы? Во- первых. это значит указать множество, во-вторых, задать на этом множестве бинарную операцию и, в-третьих, убедиться (доказать или вспомнить ранее установленное), что заданная операция ассоциативна. В примерах, которые последуют ниже, заинтересованному читателю как раз и предлагается либо вспомнить известное ранее о тех пли иных операциях, либо провести необходимые умозаключения пли выкладки, доказывающие ассоциативность соответствующих операций. Стандартные обозначения N. Z. Q и R используются для "главных" числовых множеств: всех натуральных, всех целых, всех рациональных и всех действительных чисел.
1.1 Аддитивная полугруппа натуральных чисел.
Это м есть первая полугруппа, с которой встречается всякий начинающий изучать математику в начальной школе и с которой люди, можно сказать, не расстаются всю жизнь.
1.2 Мультипликативная полугруппа натуральных чисел. Это определенно вторая среди полугрупп, с которой знакомятся все изучающие математику.
1.3 Назовем сразу шесть числовых полугрупп: каждое из множеств Z, Q. R является как аддитивно, так и мультипликативной полугруппой. В средних и старших классах школы это постоянные спутники изучающих математику. Три только что упомянутые аддитивные полугруппы являются даже группами. Напомним, что группой называется полугруппа, и которой есть нейтральный элемент и каждый элемент обладает симметричным к нему элементом; элемент е называется нейтральным относительно операции о, если для любого .у из рассматриваемого множества, элемент у симметричен элементу x если . Нейтральный элемент аддитивной [мультипликативной] полугруппы называют нулем [единецей], симметричный элемент --- противоположным [соответственно обратным].
Инвариантная метрика в полугруппах
Определение:
Метрика ρ на полугруппе S называется инвариантной, если ρ(x,y)=ρ(zx,zy) для любых x,y,z из S.
Пример 1. Рассмотрим полугруппу S=N с операцией умножения, ρ(m,n)=. Проверим является ли метрикой полугруппа , ρ(m,n)=.
ρ(m,n)=≥0, если m=n
ρ(m,n)==
ρ(m,n)≤ρ(m,z) + ρ(z,n), ,
Проверим, что это инвариантная метрика.
ρ(mz,zn)= Пример 2. Пусть мы имеем полугруппу S=R+ с операцией сложения , ρ(x,y)=R+ . Проверим является ли метрикой.
ρ(x,y)=, x,y € R+.
ρ(x,y)=, то по свойству модуля ρ(x,y)= x=y,
ρ(x,y)== ρ(y,x),
ρ(x,y), .
Проверим является ли инвариантной метрикой
ρ(x+z, z+y)=
Литература
-
«Элементы теории функций и функционального анализа» Колмогоров А.Н., Фомин С.В.
-
«Гармонический анализ на абелевых полугруппах» Миротин А.Р.
Содержание
Понятие метрического пространства…………………………………… 1
Примеры метрических пространств…………………………………….. 1
Открытые и замкнутые множества……………………………………… 2
Определение полугрупп и групп частных………………………………. 4
Примеры полугрупп и групп частных……………………………………6
Инвариантная метрика в полугруппах…………………………………... 6
Список литературы………………………………………………………... 7
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Факультет математический
Кафедра математического анализа
Инвариантная метрика на абелевых полугруппах
Курсовая работа
Исполнитель:
студент группы М-31 _______________ Птушко П.Г.
Научный руководитель:
Доктор физ-мат наук,
профессор _______________ Миротин А.Р.
Гомель 2012