7 .27

120	143	100	156	162	110	114	117	93	125
131	163	149	110	135	149	114	123	111	140
159	129	135	124	117	97	120	108	119	134
157	120	133	130	141	159	162	131	152	160
123	124	128	110	120	100	135	91	112	167
136	110	172	122	93	129	117	138	156	124
110	172	122	93	129	117	138	156	124	97
123	118	134	129	126	131	137	116	140	145
101	147	112	126	148	139	92	113	114	127
151	122	109	122	105	150	125	138	141	117
124	170	144	128	127	145	114	131	124	103

7 .28

128	144	108	84	134	107	154	129	133	119
121	110	110	126	113	129	164	98	143	118
122	118	122	103	102	141	142	126	130	189
157	120	133	130	141	159	162	131	152	160
143	146	133	125	116	112	107	134	123	194
120	143	100	156	162	110	114	117	93	125
131	163	149	110	135	149	114	123	111	140
159	129	135	124	117	97	120	108	119	134
123	124	128	110	120	100	135	91	112	167
136	110	172	122	93	129	117	138	156	124

7 .29

101	147	112	126	148	139	92	113	114	127
124	159	122	118	136	108	142	126	99	117
130	140	129	108	149	150	123	148	127	141
151	115	126	140	120	93	94	123	139	153
78	150	137	130	132	130	135	131	121	109
109	89	113	103	140	114	96	126	127	123
134	128	105	183	85	118	100	139	123	109
101	117	90	135	121	123	130	110	99	112
134	153	121	150	137	106	131	132	119	113
166	114	136	157	105	171	159	92	142	125

82

Пример 2. Пять человек в лифте 8-этажного дома могут выйти на любом этаже, начиная со 2-го. Найти вероятность того, что все они выйдут на разных этажах.

Решение. Найдем число всех возможных исходов. Отождествляя выход из лифта любым из 5 человек (выбор этажа) с выбором элемента из совокупности объема 7, заметим, что выбор происходит с возвращением (два и более человек могут выбрать для выхода один и тот же этаж) и набор –упорядоченный (существенно, на каком именно этаже выходит конкретное лицо). Т.о. число различных способов выйти из лифта 5 человек или, другими словами, число способов выбора любого из 7 этажей 5 людьми (число выборок объема 5 из совокупности элементов объема 7) равно 7⁵.

Число благоприятных исходов подсчитывается аналогично с этой лишь разницей, что выбор происходит без возвращения (люди выходят на разных этажах). Искомая вероятность равна .

1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Вероятность суммы событий А и В определяется выражением

Р( А + В ) = P( A ) + P ( B ) –P (AB)

Если события А и В несовместны, то

P( A + B) = P( A) + P(B)

Условная вероятность наступления события А в предположении, что событие В наступило , определяется по формуле

.

Аналогично

.

7

Вышеупомянутые равенства можно записать в следующем виде:

По индукции легко получить более общую формулу

если

Пример 3. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 подряд выбранных билета окажутся выигрышными.

Решение. Через А и В обозначим события, состоящие соответственно в том, что первый и второй билеты выигрышные Вероятность того, что первый билет выигрышный, равна .

Вероятность того, что второй билет выигрышный, при условии, что первый билет выигрышный, равна (если первый билет выигрышный, то всего остается 99 билетов, среди которых 4 выигрышных). Искомая вероятность того, что оба билета выигрышные, равна.

3. Формула полной вероятности.

Пусть А – произвольное событие, события попарно несовместимы,и. Тогда имеет место следующая формула (формула полной вероятности):

8

7 .24

132	146	134	116	142	154	126	84	108	167
104	145	147	134	90	144	142	155	133	138
107	101	106	133	110	127	121	160	157	117
136	161	100	149	155	132	138	137	123	164
126	97	116	120	140	134	136	89	114	134
212	140	150	169	127	93	127	101	198	122
105	128	89	155	140	146	141	123	151	160
144	147	139	158	133	100	97	156	120	147
134	128	105	183	85	118	100	139	123	109
101	117	90	135	121	123	130	110	99	112

7 .25

134	153	121	150	137	106	121	132	119	113
166	114	136	157	105	171	159	92	142	125
152	128	104	154	104	141	118	158	143	103
99	128	129	124	141	120	162	101	128	160
100	147	119	137	124	126	135	125	126	102
170	147	152	121	148	108	95	120	108	127
163	120	118	167	122	139	136	134	92	106
118	116	103	121	111	168	97	107	136	157
125	122	111	345	137	158	124	144	106	102
127	124	140	139	121	131	98	112	148	109

7 . 26

145	162	139	107	129	153	157	149	111	109
126	126	112	159	91	91	110	156	166	132
82	137	79	128	124	142	146	144	124	113
85	134	128	142	148	137	120	139	166	136
125	97	154	87	134	118	129	170	135	165
134	108	127	142	145	140	159	141	146	103
199	121	112	139	105	91	88	142	90	141
116	95	89	147	98	108	156	105	81	122
91	118	126	112	168	90	138	150	129	113
143	146	133	125	116	112	107	134	123	194

81