IW_3_Math_analysis
.pdfДифференцирование. Задача 1
Производная функции, заданной параметрически
Постановка задачи. Найти производную функции, заданной параметрически.
План решения. Если зависимость от задана посредством параметра :
то производная вычисляется по формуле:
. (1)
Вычисляем и , подставляем в формулу (1) и записываем ответ.
Задача 1. Найти производную .
, |
. |
Задача 1. Найти производную yx .
|
|
3t2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.1. |
|
|
|
|
|
|
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y sin |
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2t t 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.3. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x ln t |
|
|
|
|
t |
|
|
1 , |
||||||||||||||||||
1.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x ctg 2e , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ln tget . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x arctge |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
et 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
t |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
||||||||||
y arcsin |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x arcsin |
1 t |
|
|||||||
1.13. |
arccost 2 . |
|
|
||||||
y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 , |
|
|
||
|
1 cos2 t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.15. |
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
sin2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
, |
|
||
x 1 |
|
|
||||
1.2. |
|
|
|
|
|
|
y tg |
1 t . |
|||||
|
|
|
|
|
|
x arcsin sin t ,
1.4.
y arccos cost .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t t |
2 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1.6. |
arcsin t 1 . |
|||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln ctg t , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|||||||||
x ln |
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||
|
1 t |
|||||||||||||||||||||||
1 .10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
. |
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 t2 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 t2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 t2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
x arccos1t ,
1.17.
y t2 1 arcsin 1t .
|
|
|
|
|
t , |
x arcsin |
|
|
|||
1.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
t . |
|||
|
|
|
|
|
|
x t |
|
|
|
|
|
|
t2 1, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1.21. |
1 |
1 t |
2 |
|
||
y ln |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
x ln 1 t2 ,
1.23.
y arcsin 1 t2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x ln |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.25. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
tg |
|
t |
ln cost. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
t t2 |
|
|
arctg |
, |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 t arcsin t . |
|||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x lntg t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
t |
2 |
|
ln t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
ln 1 t2 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.58. |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin t ln |
|
1 t 2 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln t |
|
|
|
|
|
|
||||
1.18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 t2 |
||||||||
|
|
|
|||||||||
y ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
x |
arcsin t 2 , |
||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
1.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 t2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x arctg t, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.22. |
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
y ln |
|
|
. |
|
|||||||
|
t 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x arctg t 1,
1.24.t 1
y arcsin 1 t2 .
x esec2 t ,
y tg t ln cost tg t t.
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin t ln |
1 t |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 t2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.30. |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
y 1 t2 ln 1 1 t2 .
tt2 ,1ln t
Дифференцирование. Задача 2
Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически
Постановка задачи. Составить уравнение касательной и нормали к кривой
в точке |
, соответствующей значению параметра |
. |
||
План решения. Если функция |
в точке |
имеет конечную производную, то уравнение |
||
касательной имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
, (1) |
|
где |
и |
. |
|
|
Если |
, то уравнение касательной имеет вид |
. |
||
Если |
, то уравнение нормали имеет вид |
|
||
|
|
|
. (2) |
|
Если , то уравнение нормали имеет вид .
1. Вычисляем координаты точки :
2. Находим производную в точке касания при :
.
3. Поставляем полученные значения в уравнения касательной (1) и нормали (2).
Задача 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра .
Находим:
Уравнение касательной
или .
Уравнение нормали
или .
Задача 2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t t0 .
|
|
|
|
|
|
x a sin |
3 |
t, |
|
|
|
2.1. |
|
|
|
|
|
y a cos3 t, |
t |
0 |
3. |
||
|
|
|
|
|
x a t sin t , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. |
y a 1 cost , |
t |
|
3. |
||||||
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2t t |
, |
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
2.5. |
|
|
2t t2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
, t |
|
1. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 t |
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 cost, |
|
||
2.2. |
|
|
3. |
y sin t, |
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
x 2t t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. |
|
|
|
|
y 3t t |
3 , t |
0 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, t |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3at |
|
|
|
|
|
|
x t |
t cost 2sin t , |
|
|
|
x |
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.8. |
|
|
|
|
|
|
|
||
2.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t t sin t 2cost , |
|
t0 |
4. |
y |
|
3at2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
t |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 2ln ctg t ctg t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y tg t ctg t, |
|
t0 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2.10. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
t 2 |
|
t3 , t |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x at cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin t, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
2.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y at sin t, |
t0 |
2. |
|
y cost, |
t0 |
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
x arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
t2 |
|
|
||||||||||||
2.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, t |
|
1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.15. |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
, |
t |
|
2. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2t |
2 |
|
|
|
t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a t sin t cost , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.17. |
y a sin t t cost , |
t |
|
4. |
||||||
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 t |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
2.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
t3 |
, |
t |
0 |
2. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t 1 sin t , |
|
|
|
|||||||
2.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t cost, |
t0 0. |
|
|
|
|
1 ln t |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
, |
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|||
2.14. |
|
3 2ln t |
|
|
|
|
|
y |
|
, |
t |
|
1. |
||
|
|
|
|||||
|
|
t |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a sin |
3 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y a cos3 t, |
|
t |
0 |
6. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.18. |
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
, |
|
|
t |
|
1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
x ln 1 t |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t arctg t, |
t |
0 |
1. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.22. |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
|
|
, |
|
|
t |
|
2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
2 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3cost, |
|
|
|
|
|
|
x t t |
4 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4sin t, |
t0 |
4. |
|
|
y t2 t3 , |
|
t |
0 |
|
1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
3 |
1, |
|
|
|
|
|
|
x 2cost, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t2 |
t 1, |
t |
0 |
1. |
|
|
y sin t, |
|
t0 |
3. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 tg t, |
|
|
|
|
|
|
x t3 |
1, |
|
|
||||||||||
2.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2sin |
2 t sin 2t, t |
|
4. |
2.28. |
t |
2 |
|
|
|
|
|
2. |
||||||||
|
0 |
y |
, |
|
|
t |
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
x sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y at , |
t0 |
0. |
|
|
|
|
y cos 2t, |
|
|
t0 |
6. |
|
|
, |
|
|
x 2e |
|
|||
|
t |
|
|
|
2.31. |
y e t , |
t 0. |
||
|
||||
|
|
0 |
||
|
|
|
Дифференцирование. Задача 3
Производные высших порядков
Постановка задачи. Найти производную -го порядка функции .
План решения.
Производной -го порядка функции называют производную от производной порядка , т.е.
.
Дифференцируем функцию последовательно несколько раз подряд, пока не станет ясной формула для производной -го порядка.
Задача 3. Найти производную -го порядка.
Находим
Очевидно, что
.
Задача 3. Найти производную n -го порядка.
3.1. y x eax .
3.3. y 5e7 x 1 .
3.5. y lg 5x 2 .
17.7. y |
|
|
x |
|
|
|
|
. |
|
2 3x 2 |
||||
17.9. y |
|
|
|
|
|
x. |
17.11. |
y 23x 5. |
||
|
|
|
|
17.13. |
y 3 e2 x 1 . |
||
17.15. |
y lg 3x 1 . |
17.17. y |
|
|
x |
|
|
|
|
. |
|
|
9 4x 9 |
|||
17.19. y |
|
4 |
. |
|
|
|
|||
|
|
x |
17.21. y a2 x 3.
y sin 3x 1 cos5x.
17.23. y e3x 1 .
17.25. y lg 2x 7 .
17.27. y x x 1.
17.29. y 1 x .
1 x
17.31. y 32 x 5.
3.2. y sin 2x cos x 1 .
3.4. y 4x 7 .
2x 3
3.6. y a3x .
17.8. y lg x 4 .
17.10. y |
2x 5 |
|
|
. |
|
13 3x 1 |
17.12. y sin x 1 cos 2x.
17.14. y 4 15x .
|
5x 1 |
|
17.16. y 75 x. |
||
17.18. y lg 1 x . |
||
17.20. y |
5x 1 |
|
|
. |
|
13 2x 3 |
||
17.22. |
|
|
17.24. y 11 12x .
6x 5
17.26. y 2kx.
17.28. y log3 x 5 .
17.30. y |
7x 1 |
|
|
. |
|
17 4x 3 |
Дифференцирование. Задача 4
Производные высших порядков
Постановка задачи. Найти производную -го порядка функции .
План решения.
Производной -го порядка функции называют производную от производной порядка , т.е.
.
Дифференцируем функцию последовательно несколько раз подряд, пока не станет ясной формула для производной -го порядка.
Задача 18. Найти производную указанного порядка.
Находим
Задача 4. Найти производную указанного порядка.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1. y |
|
2x2 7 |
|
ln |
|
x 1 , |
yV ? |
|
|||||
4.2. y |
3 x2 ln2 x, |
yIII |
? |
|
|||||||||
4.3. y x cos x2 , |
|
yIII |
? |
4.4. y |
ln |
x 1 |
, |
yIII ? |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|