1.11. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ
.pdf2.10.2014 1.11. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ - Математический ана…
1.11. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x → a (x→ + ∞, x → –∞, x → x0, ...). Рассмотрим предел их отношения при x → a.
1.Если и b – конечное число, b ≠ 0, то функции α(x), β(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости приx → a.
2.Если , то α(x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем β(x)
при x → a. Очевидно, в этом случае .
3.Если α(x) – б.м. высшего порядка, чем β(x), и (b – конечное число, k
N), то α(x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с β(x) при x → a.
4. |
Если не |
существует |
(ни конечный, ни бесконечный), то |
α(x), |
β(x) |
|
называют несравнимыми б.м. при x →a. |
|
|
||
5. |
Если |
, то α(x), β(x) называются эквивалентными б.м. при x |
→ a, |
что |
|
|
обозначается так: α(x) ~ β(x) при x → a. |
|
|
Пример 1. α(x) = (1 – x)3, β(x) = 1 – x3.
Очевидно, что при x→1 функции α(x), β(x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x →1:
Вывод: α(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с β(x) при x →1.
Нетрудно убедиться, что (убедитесь!), откуда следует, что α(x) – б.м. 3-го порядка малости, по сравнению с β(x) при x → 1.
Пример 2. Функции α1(x) = 4x, α2(x) = x2, α3(x) = sinx, α4(x) = tgxявляются бесконечно малыми при x→0. Сравним их:
Отсюда заключаем, что α2(x) = x2 – б.м. высшего порядка, по сравнению с α1(x) и α3(x)
(при x → 0), α1(x) и α3(x) – б.м. одного порядка, α3(x) и α4(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x → 0.
http://edu.imef.ru/personal/student_zievpo-00516_14/_layouts/efficientelrext/E-LearningContent/packId_112/lasgnId_81992/111_sravnenie_besko… 1/2
2.10.2014 1.11. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ - Математический ана…
Теорема 1. Пусть α(x) ~ α1(x), β(x) ~ b1(x) при x → a. Если существует , то
существует и .
Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.
Пример 3. Найти .
В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x→0, поэтому
Теорема 2. Бесконечно малые функции α(x) и β(x) эквивалентны (приx → a) тогда и только тогда, когда α(x) - β(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с α(x) и β(x) (при x → a).
Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Пример 4. Найти .
По теореме 3 при x →0: 4x + 2x3 ~ 4x , sin2x + 3tg5x + x3 ~ 3tg5x, тогда
.
http://edu.imef.ru/personal/student_zievpo-00516_14/_layouts/efficientelrext/E-LearningContent/packId_112/lasgnId_81992/111_sravnenie_besko… 2/2