- •10. Применение фундаментальных законов природы (второй закон Ньютона) к построению модели колебаний системы «шарик – пружина»
- •11. Второй способ моделирования колебаний механической системы «шарик – пружина» используя закон сохранения энергии.
- •12. Третий способ построения модели колебаний механической системы «шарик – пружина» с помощью вариационного метода.
- •13. Моделирование колебаний электрического контура. Аналогия моделей
- •9. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций.
- •2) Достаточность . Т.К. Для т справедливы неравенства , согласно условию теоремы, можно указать такое разбиение, что . В силу произвольности .
- •10. Теорема о среднем значении определенного интеграла
- •12. Функции нескольких переменных. Предел функции многих переменных.
- •Функция деструктора
- •Конструкторы производного класса
- •Виртуальные, дружественные, статические функции. Указатель this.
- •Решения методом Фурье краевой задачи неоднородного уравнения
- •Уравнения теплопроводности. Задача Коши. Формула Пуассона
- •Дифференциальные уравнения
Введение в математическое моделирование
10. Применение фундаментальных законов природы (второй закон Ньютона) к построению модели колебаний системы «шарик – пружина»
Пусть r – координата шарика вдоль оси пружины, лежащей на горизонтальной плоскости , и направления движения шарика совпадает с ее осью. Тогда по второму закону динамики
где m-масса шарика, а –его ускорение. Будем считать плоскость идеально гладкой, пренебрежем также сопротивлением воздуха и примем во внимание то, что вес шарика уравновешивается с реакцией плоскости. Единственная сила, действующая на шарик в направлении оси r, очевидно сила упругости пружины. Определим ее, используя закон Гука, гласящий, что для растяжения (сжатия) пружины необходимо приложить силу
где k>0 характеризует упругие свойства пружины, а r-величину ее растяжения или сжатия относительно нейтрального, ненагруженного положения r=0. Уравнение движения шарика принимает вид
(1)
Оно описывает его гармонические колебания и имеет общее решение
где – собственная частота колебаний системы «шарик-пружина». Значения А и В определяются из начального состояния объекта, через величины , причем r(t)=0 при
Подходы, с помощью которых строилась рассматриваемая модель не должны противоречить другим фундаментальным законам природы.
11. Второй способ моделирования колебаний механической системы «шарик – пружина» используя закон сохранения энергии.
Выведем модель «шарик-пружина» с использованием закона сохранения энергии. Поскольку точка крепления пружины неподвижна , то стенка не совершает работу над системой «пружина – шарик» , и ее полная механическая энергия Е остается постоянной. Вычислим ее. Кинетическая энергия определяется движением шарика ( пружина считается невесомой):
Потенциальная энергия системы «содержится» в пружине, ее нетрудно найти, определив работу, необходимую для растяжения (сжатия) пружины на величину r:
Для неизменной со временем величины (интеграла энергии) получаем
Так как , то продифференцировав интеграл энергии по t, приходим к выражению
т.е. к уравнению , проверив тем самым правильность его получения.
12. Третий способ построения модели колебаний механической системы «шарик – пружина» с помощью вариационного метода.
Воспользуемся принципом Гамильтона для построения движения шарика, соединенного с пружиной. В качестве обобщенной координаты естественно выбрать обычную эйлерову координату шарика r(t). Тогда обобщенная скорость – обычная скорость шарика. Функция Лагранжа
равная , записывается через значения кинетической и потенциальной энергии системы:
Для величины действия получаем выражение
Теперь вычислим действие в вариациях
Последнюю формулу необходимо продифференцировать по
и положить в ней
Правая часть выражения с помощью интегрирования ее первого члена по частям и с учетом того, что в моменты , преобразуется к виду
Поскольку пробная функция , фигурирующая в формулировке принципа наименьшего действия, произвольна, то часть выражения, стоящая под знаком интеграла в квадратных скобках, должна быть равна нулю во все моменты времени : т.е. движение системы должно описываться уравнением полученным из закона Ньютона (первый способ) и закона сохранения энергии (второй способ). Все три подхода являются эквивалентными.