Korableva

Äîê ò ëüñò î. В силу пр ы ущ й т ор мы ну но р ссмотр ть сл у- ющи случ и.

(14), получим ур н ни эллипсои :

Åñëè í êè 1, 2, 3 ð íû , òî ïîñë ï ð èì íî íèÿ îñ é êîîð èí ò, ìî íî ñ÷èò òü, ÷òî í êè 1 è 2 ñî ï þò, í ê 3 им проти о- поло н.

3) Пусть 1; 2 î íî î í ê , 3, D им проти ополо но о, то

óð í íè (14) ìî íî ï ð ïèñ òü ò ê:

11

4) Пусть 1, 2, D î íî î í ê , 3 им проти ополо но о, то

óð í íè (14) ìî íî ï ð ïèñ òü ò ê:

Ib. Пусть D = 0, то ур н ни по рхности р ссм три мом случ им т и :

5) Åñëè 1, 2 î íî î í ê , 3 им проти ополо но о, то ур н - ни (15) мо но п р пис ть т к:

II ñëó÷ é. 1 2 6= 0, 3 = 0, a03 6= 0, то ур н ни по рхности им ти :

1x2 + 2y2 + 2a03z = 0:

Âû îðîì í ïð ë íèÿ îñè Oz мо но о иться то о, что коэффици нт при z этом ур н нии у т им ть н к, проти ополо ный н ку 1. Ç ò ì ï ð ïèø ì óð í íè è :

ур н ни (16) при о ится к ур н нию эллиптич ско о п р олои :

12

III ñëó÷ é. 1 2 6= 0, 3 = 0, a03 = 0. В этом случ ур н ни по рхности им т и :

1x2 + 2y2 + D = 0:

это ур н ни эллиптич ско о цилин р .

10) Пусть 1, 2, D î íî î í ê . Â ýòîì ñëó÷ óð í íè (17) ìî íî ï ð ïèñ òü ò ê:

11) Пусть 1 2 < 0. П р им но ни м коор ин тных ос й с мо - но о иться, что ы н к D ñî ï ë ñî í êîì 2. Òî , ïîë ÿ

IIIb. Åñëè D = 0, то им м ур н ни по рхности и :

1x2 + 2y2 = 0:

12)Åñëè 1 2 > 0, то прихо им к ур н нию ух мнимых п р с к - ющихся плоскост й.

13)Åñëè 1 2 < 0, то им м ур н ни ух п р с к ющихся плоскост й.

IV ñëó÷ é.

14) Âû îðîì ïîëî èò ëüíî î í ïð ë íèÿ îñè Oy мо но о ится то-о, что коэффици нт при y ур н нии (18) у т им ть н к, проти ополо ный н ку 1. Â ò êîì ñëó÷ óð í íè ìî íî ï ð ïèñ òü ò ê:

x2 = 2 a002 y;1

13

èëè, ïîë ÿ a002 = p > 0, прихо им к ур н нию п р олич ско о

1

цилин р x2 = 2py.

V случ й. П р пиш м ур н ни по рхности 1x2 + D = 0, 1 6= 0 ýòîì ñëó÷ è

15) Åñëè 1 D < 0, òî ïîëî èì D = a2 и получим ур н ни ух п р лл льных плоскост й x2 = a2. 1

16) Åñëè 1 D > 0, òî ïîëî èì D = a2 и получим ур н ни ух

1

мнимых п р лл льных плоскост й x2 = a2.

17) Пусть D = 0. Òî óð í íè (19) èì ò è x2 = 0. то ур н - ни ух со п ющих плоскост й.

Ò îð ì îê í .

2.2Ал оритм при ния к к нонич скому и у ур н ния по рхности торо о поря к

И ло им н которы т ли л оритм при ния ур н ния торо о поря к к к нонич ской форм . Исхо н я сист м коор ин т пр пол т- ся прямоу ольной. При с х пр о р о ниях коор ин т т к со рш тся п р хо к прямоу ольным сист м м коор ин т.

Гл ным мом нтом я ля тся уничто ни , с помощью по хо ящ й - м ны ис , чл но ур н ния, со р щих прои ния п р м нных. Ост но имся н этом мом нт . Ур н ни по рхности

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz +

14

Посл по ст но ки (21) (20) получим ур н ни

u A0u0 + 2l0u0 + a = 0; l0 = lC; A0 = CtAC;

конст нт a при пр о р о нии коор ин т и (21) н м ня тся. Ищ м ортонормиро нный ис, котором м триц A0 и он льн . Для это-о: 1) ычисля м корни х р кт ристич ско о ур н ния det(A E) = 0; 2) сли с корни р личны, то ля к о о корня сост ля м сист му ур н ний (A E)u = 0, н хо им фун м нт льную сист му р ш ний,т м нормиру м получ нны р ш ния; 3) сли корня со п ют, тр - тий отлич н от них, то ычисля м по о ному со ст нному ктору ля р личных н ч ний , ля это о р ш м сист мы и (A E)u = 0, нормиру м р ш ния, получ м ктор но о о ис , то тр тий -исный ктор ычисля м к к их кторно прои ни (см. чу 2); 4) и исных кторо сост ля м м трицу п р хо C, ля это о писы -м получ нны кторы стол цы. В но ом ис м триц A0 и он льн , н л ной и он ли р споло ны корни х р кт ристич ско о ур н - ния, яты с их кр тностями том поря к , что и соот тст ующи стол цы м триц C. Коэффици нты при лин йных чл н х пр о р о н- но о ур н ния ычисля м по формул l0 = lC.

В но ом ис ур н ни исхо ной по рхности н со р ит прои -ний п р м нных и им т и

Если ур н нии (22) им ются к р ты п р м нных и о ноим нны лин йны чл ны, то ополня м эти п ры чл но о полных к р то и п р носим н ч ло коор ин т т к, что ы пр о р о нном ур н нии соот тст ующих лин йных чл но н ыло. Им нно т к поступ ли при о- к т льст т ор мы 2.

Если ур н нии (22) им тся к р т о ной п р м нной и лин йны чл ны, со р щи ру и п р м нны , и у н т ник ких ру их чл но с п р м нными личин ми, то л м м ну коор ин т плоскости, соот-тст ующ й лин йным чл н м, т к, что ы лин йных чл н м нить н о ин. Формулы м ны (12) ук ны ок т льст т ор мы 2.

Если ур н ни упрощ но т к, что н м им ются к р ты п р м н- ных и о ин лин йный чл н, прич м с р ных н им но ний, кром то о, им тся с о о ный чл н, то п р носим н ч ло коор ин т оль оси, соот-тст ующ й лин йному чл ну т к, что ы пр о р о нном ур н нии н ыло с о о но о чл н . Т к поступ ли при ок т льст т ор мы 2 н ч л пункт IIIa.

Посл о т льно ыполняя опис нны ыш йст ия, с при м к ур н нию торой ст п ни почти к нонич ской форм . Почти к нонич - скими н ы м ур н ния, отлич ющи ся от к нонич ских (ук нных формулиро к т ор мы 3), с мо ольш , число ым мно ит л м, нум р - ци й коор ин т, п р носом чл но и о ной ч сти р нст ру ую, н - ком коэффици нт при лин йном чл н . Если ур н ни по рхности при-

но к почти к нонич ской форм , н со п ющ й с к нонич ской, то сл у т ыполнить п р числ нны ыш прост йши пр о р о ния ур - н ния и сист мы коор ин т, которы при ут ур н ни к оконч т льной

15

к нонич ской форм . К к и почти к нонич ско о получить к нонич ско ур н ни пок ы тся и ок т льст т ор мы 3.

Отыск ни сист мы коор ин т, которой ур н ни по рхности им -т к нонич ский и , происхо ит о но р м нно с упрощ ни м ур н ния по рхности и т к р сп тся н н сколько эт по . При этом пол но помнить: ) при посл о т льных м н х коор ин т соот тст ующи м - трицы п р хо C1, C2, : : : ï ð ìíî þòñÿ òîì ïîðÿ ê C = C1 C2 ;) прим няя л оритм, и ло нный ыш , н к ом эт п мы получ м коор ин ты но о о н ч л н исхо ной, пром уточной сист м коор-ин т. Сист м коор ин т счит тся опр л нной, сли ычисл ны коор и- н ты н ч л и исных кторо , относит льно п р он ч льно нной сист мы коор ин т.

Отм тим, что к нонич ско ур н ни и сист м коор ин т, которой ур н ни по рхности им т к нонич ский и , мо ут ыть опр л ны н о но н чно.

2.3Прим н ни л оритм при ния к к нонич скому и у ур н ния по рхноститоро о поря к к р ш нию ч

Ç ÷ 1. По рхность н прямоу ольной сист м коор ин т о - щим ур н ни м

2x2 + 9y2 + 2z2 4xy + 4yz + 2x + 4y + 6z 1 = 0:

Н йти к нонич ско ур н ни этой по рхности и сист му коор ин т,которой ур н ни по рхности у т им ть к нонич ский и , опр - лить тип по рхности.

Ð ø íè . З пиш м м трицу A к р тичной формы этой по рхности

Òî 1 = 1, 2 = 2, 3 = 10 я ляются корнями х р кт ристич ско о мно очл н .

Н й м фун м нт льную сист му р ш ний сист мы лин йных о норо ных ур н ний и (11). Сн ч л р ссмотрим 1 = 1. Выполним эл - м нт рны пр о р о ния строк м трицы (A 1 E) è ïð î ð ó ì ê

16

ступ нч тому и у. Для это о умно им п р ую строку м трицы (A 1 E) í 2 и при им ко торой, получ нн я тор я строк пропорцион льн тр ть й и мо но исключить:

í è ñòíû ÷ ð ñ î î íû : x = 2y, z = 2y. Р м рность простр нст р ш ний р н 1. Ôóí ì íò ëüí ÿ ñèñò ì ð ø íèé ñîстоит и о но о ê-

ø ì ñèñò ìó (11) ïðè 2 = 2. П р я строк м трицы (A 2 E) пропорцион льн тр ть й и п р ую строку мо но исключить. Ост л нную тр тью строку сокр тим н 2, ïîñë ýòî î óìíî èì í 7 и при им ко торой, строку сокр тим н 2:

Âû èð ì z ñ î î íî , x è y ë íû í è ñòíû . Âûð èì ë - íû í è ñòíû ÷ ð ñ î î íû : x = z, y = 0. Р м рность простр нст р ш ний р н 1. Фун м нт льн я сист м р ш ний состоит и о но о к-

Н хо им тр тий исный ктор f3. Ð ø ì ñèñò ìó (11) ñ ì òðèö é

(A 10 E). Умно им торую строку м трицы (A 10 E) í 4 и при им к п р ой, получ нн я п р я строк и тр тья о ин ко ы , поэтому ост им только тр тью, сокр тим н 2 и при им к ру ой строк . Получ нную строку то сокр тим н 2:

17

Âû èð ì z ñ î î íî , x è y ë íû í è ñòíû . Ãë íû í è -

прин л т р личным со ст нным н ч ниям, поэтому они поп рно ор-

Ит к, получ м ур н ни по рхности но ой сист м коор ин т Of~1f~2f~3.

x02 + 2y02 + 10z02 4 x0 + 4p2y0 + 10p2 z0 1 = 0:

33

Д л ыполня м п р лл льный п р нос, ля это о ы лим полны к -р ты:

18

То ур н ни по рхности им т и

Получили к нонич ско ур н ни эллипсои . Н й м формулы пр о р -о ния коор ин т. И р нст (24) ыр им x0, y0, z0: