2.1. Общая постановка оптимизационных задач.
Важным моментом в исследовании операций является способ выбора, выделения тех решений, которые с той или иной точки зрения удачнее, предпочтительнее других. Для осуществления такого выбора используется понятие эффективности операции.
Под ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ операции понимается степень ее приспособленности к выполнению стоящей перед ней задачи. Чем лучше организована операция, тем она эффективнее.
В качестве количественной меры достижения поставленной цели или степени соответствия хода операции поставленной цели используют специальный признак - КРИТЕРИЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ. Критерий эффективности - (от греческого kriterion - отличительный признак, средство для решения, мерило) представляет собой признак, по которому производится сравнительная оценка альтернатив и выбор наилучшего решения.
КРИТЕРИЕМ ЭФФЕКТИВНОСТИ операции называется формальное соотношение, отражающее математическую связь между допустимыми вариантами решения и мерой достижения поставленной цели - эффективностью операции.
То есть, критерий эффективности представляют в виде некоторой функции или функционала, аргументами которой являются допустимые варианты решения, а значениями - числа, которые характеризуют меру (степень) достижения поставленной цели. Эту функцию (функционал) принято называть еще ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИЕЙ. Задача принятия решения сводится, тем самым, к нахождению максимального (или минимального) значения целевой функции, а также к нахождению того конкретного решения - аргумента, на котором это значение достигается. Такое решение, максимизирующее (минимизирующее) значение целевой функции, и является оптимальным решением.
Конкретный вид показателя эффективности или целевой функции зависит от специфики рассматриваемой операции, ее целевой направленности, а также от задачи исследования. Например, в задаче об использовании ресурсов критерием эффективности служит прибыль от реализации произведенной продукции, которую нужно максимизировать. В транспортной задаче критерием эффективности является сумма затрат на перевозку грузов от поставщиков к потребителям, которую нужно минимизировать.
Все переменные и параметры, входящие в описание исследуемой операции, можно разделить на две группы:
1)
экзогенные параметры
(или переменные) - параметры, которые
задаются вне модели, то есть, известны
заранее, и на которые мы влиять не можем.
Эти параметры определяют условия
проведения операции. Обычно они входят
в математическую модель в виде
коэффициентов уравнения.
Обозначим их а1, а2, …, аm или aj, (j = 1,m);
2) эндогенные параметры - параметры, которые определяются в ходе расчетов по модели и не задаются извне. Эти переменные являются элементами решения задачи. Обозначим их через х1, х2, ..., xn или xi, (i = 1,n) . На величины эндогенных параметров xi накладываются ограничения Фi(xi) bi или Фi(xi) ≤ bi.
Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией, называемой целевой функцией, зависит от факторов обеих групп, поэтому целевую функцию W можно записать в виде W = f (x1, x2, ..., a1, a2, ...).
Оптимизационную задачу можно сформулировать в следующем виде:
найти переменные x1, x2,..., хn, обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию W = f(x1, x2, ... , xn, а1, а2, …, аm) max (min) (1.1)
и удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)
Фi (x1, x2, ... , xn) bi,
или Фi
(x1,
x2,
... , xn)
bi, i = 1, m (1.2)
при условии неотрицательности переменных, то есть, xi > 0 (1.3)
Общий вид модели конкретизируется в зависимости от природы и свойств операции, характера решаемых задач, особенностей применяемых математических методов.
Как известно, упорядоченная совокупность значений n переменных x1,x2,..., хn представляется точкой n-мерного пространства. В дальнейшем эту точку будем обозначать Х = (х1, x2,..., xn), а оптимальное решение Х* = (х1*, х2*,..., xn*).
В тех случаях, когда функции f и Ф хотя бы дважды дифференцируемы, для решения задачи (1.1)-(1.3) можно применять классические методы оптимизации, то есть, воспользоваться приемами дифференциального исчисления. Однако, применение этих методов в исследовании операций весьма ограниченно, так как, во-первых, задача определения условного экстремума функции n переменных технически весьма трудна, во-вторых, метод дает возможность определить локальный экстремум, а определение ее глобального экстремума может оказаться весьма трудоемким из-за многомерности функции, в третьих, этот экстремум возможен на границе области решений, а классические методы не позволяют отыскание экстремума на границах области. И, наконец, классические методы вовсе не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или функция W задана таблично.
В этих случаях для решения задачи (1.1)-(1.3) применяются специально разработанные методы математического программирования.
Термин "программирование" (от англ. programming - составление плана или программы действий) следует понимать здесь именно в смысле "поиска наилучших планов" (в отличие от того толкования, которое принято специалистами по программному обеспечению ЭВМ, где под программированием понимается процесс составления плана действий - набор алгоритмов и программ по автоматизированной обработке информации на ЭВМ).