- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 1
- •2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •1. Понятие степенного ряда.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •2. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •5. Замкнутые и полные ортонормированные системы.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
Примеры решения задач
1.Вычислите .
Решение. Рассмотрим некоторый промежуток. Если ряд сходится равномерно на этом промежутке, то можно переходить к пределу под знаком суммирования и тогда
. Осталось доказать равномерную
сходимость ряда на данном множестве. Более того, можно утверждать, что ряд сходится
равномерно на [0; + ∞). Действительно, x ≥ 0 верно соотношение , а ряд
сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим по модулю 1.
Следовательно, ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса и был законным предельный переход.
2.Покажите, что функциональная последовательность равномерно сходится на сегменте [0; 1], но условия теоремы о почленном дифференцировании не
выполнены и .
Решение. Покажем, что последовательность сходится равномерно на
x [0; 1].
Сначала найдем . Так как
, то, согласно практическому
критерию, последовательность сходится равномерно на сегменте [0;1]
Теперь докажем, что равномерная сходимость последовательности fn'(x) на сегменте [0; 1] не имеет места.
Найдем fn'(x). Для любого номера n .
Найдем предел .
Для оценки воспользуемся неравенством
.
Отсюда .
Согласно практическому критерию, равномерная сходимость последовательности {fn'(x0)} на сегменте [0; 1] не имеет места.
Вычислим и .
Очевидно, .
Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
5.Найти область существования функции и исследовать ее в этой
области на непрерывность.
Ответ: сходится и непрерывна на |x| ≤ 1.
6.Найти предел
7.Найти предел
8.Найти область существования функции и исследовать ее во
внутренних точках этой области на дифференцируемость.
9.Покажите, что ряд допускает почленное интегрирование на промежутке
и напишите полученный в результате интегрирования числовой ряд.
Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
Степенные ряды
Основные понятия
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
(1)
1. Понятие степенного ряда.
Теорема 1. Если степенной ряд сходится при x = x1, то он сходится и притом абсолютно для всех |x| < |x1|.
Следствие. Если при x = x1 ряд расходится, то он расходится для всех |x| > |x1|.
Теорема 2. Если степенной ряд сходится для положительного значения x =
x1, то он сходится равномерно в любом промежутке внутри (−|x1|; |x1|).
Рассмотрим последовательность
(2)
Теорема 3 (Коши-Адамара). Если последовательность (2) не ограничена, то степенной ряд (1) сходится лишь при x = 0.
Если последовательность (2) ограничена и имеет верхний предел L > 0, то ряд (1)
абсолютно сходится для значений x, удовлетворяющих неравенству и
расходится для значений x, удовлетворяющих неравенству .
Если последовательность (2) ограничена и её верхний предел L = 0, то ряд (1) сходится абсолютно для всех значений x R.
Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что |x| < R ряд абсолютно сходится, а при всех |x| > R ряд расходится.
Определение. Число R называется радиусом сходимости. Интервал (−R, R) назовем областью сходимости.
Отметим, что множество точек, принадлежащее области сходимости, может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
или по формуле .
Согласно теореме 2, каково бы ни было положительное число r, удовлетворяющее условию r < R, ряд (1) равномерно сходится на сегменте [−r, r].
Теорема 4. Непрерывность суммы степенного ряда. Сумма степенного ряда внутри его промежутка сходимости является непрерывной функцией.
Теорема 5. Интегрирование степенных рядов. Если некоторая функция f
(x) определяется степенным рядом: , то для всех x, удовлетворяющих
условию |x| < R, интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:
,
то есть степенной ряд можно интегрировать почленно. Последний ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный.
Теорема 6. Дифференцирование степенных рядов. Если некоторая функция
f(x) определяется степенным рядом: , то для всех x, удовлетворяющих
условию |x| < R, её производная находится по формуле:
,
то есть ряд можно дифференцировать почленно. Последний ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный.
2. Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов. Пусть R1 − радиус
сходимости степенного ряда , а R2 − радиус сходимости степенного ряда
. Обозначим R = min (R1, R2).
Сложение и вычитание степенных рядов при всех x, удовлетворяющих условию |x| < R, сводится к соответствующим операциям с их членами:
, где cn = an ± bn.
Произведение двух степенных рядов при всех x, удовлетворяющих условию |x| < R, выражается формулой:
Коэффициенты сi находятся по формуле:
сn = a0bn + a1bn − 1 + … + an − 1b1 + anb0
Деление двух степенных рядов при всех x, удовлетворяющих условию |x| < R, выражается формулой:
Для определения коэффициентов qn рассматриваем произведение
, полученное из записанного выше равенства, и решаем
систему уравнений: