Признак равномерной устойчивости разностных схем

Если то для равномерной устойчивости по начальным данным достаточно, чтобы при всехm выполнялось

(28.6)

Доказательство. Условие (28.6) означает, что если на некотором слое имеется ошибка то при переходе на следующий слойвозрастает не более чем враз. Для перехода отt^* к t надо сделать m = (t – – t^*)/шагов по времени; при этом ошибка возрастает не более чем в

раз. Отсюда следует

(28.7)

что и требовалось доказать.

Из (28.7) видно, что если константа с велика, то, хотя схема формально устойчива, фактическая ошибка может сильно возрастать в ходе расчета; в этом случае схема является слабо устойчивой. Очевидно, чем больше промежуток времени t – t₀, на котором ищется решение, тем меньшая величина с обеспечивает хорошую устойчивость расчета. При схема будет устойчивой только прис = 0.

Теорема. Пусть двуслойная разностная схема равномерно устойчива по начальным данным и такова, что если два разностных решения

равны на некотором слое, y^I = y^II, то на следующем слое выполняется соотношение

(28.8)

тогда разностная схема устойчива по правой части.

Доказательство. Наряду с решением у рассмотрим решение , соответствующее возмущенной правой частипоскольку исследуется устойчивость только по правой части, то можно считать, что

Введем последовательность сеточных функций определенных при

следующими условиями

(28.9)

Эти функции определены так, что при. Заметим, что в тех же обозначениях можно записать

Сравним функции иНа слоеt_m они совпадают по определению. Тогда из (28.8) и (28.9) следует, что

При эти функции удовлетворяют разностной схеме с одной и той же правой частьюно с разными начальными данными на слоеПоэтому в силу определения равномерной устойчивости (28.5) на последнем слоеt_M будут выполнятся неравенства

Отсюда при помощи неравенства треугольника получим

т.е. имеет место устойчивость по правой части, что и требовалось доказать.

Следствие. Если неравенства

,

и

выполнены, то разностная схема устойчива и по начальным данным и по правой части.

Если при переходе со слоя на слой ошибка начальных данных убывает как ,с > 0, то схема устойчива по отношению к постоянно действующим возмущениям

Принцип максимума исследования устойчивости разностных схем численного решения дифференциальных уравнений в частных производных

Есть несколько способов исследования устойчивости разностных схем: принцип максимума, метод разделения переменных, метод операторных неравенств и некоторые другие. Сейчас мы рассмотрим принцип максимума, который применяют к уравнениям переноса, а также к параболическим и эллиптическим уравнениям. Он позволяет доказывать устойчивость в

Сформулируем признак устойчивости явных и неявных двухслойных линейных разностных схем. Запишем двухслойную схему в следующем виде:

(29.1)

где суммирование на каждом слое производится по узлам шаблона около n-го узла. Коэффициенты перенумеруем так, чтобыТогда

а) схема равномерно устойчива по начальным данным, если

(29.2)

в) схема устойчива по правой части, если выполнено (29.2) и

æ/, æ. (29.3)

Доказательство условия а). Фиксируем правую часть (29.1) и внесем ошибку на исходном слое. Тогда ошибка на новом слое удовлетворяет уравнению

Отсюда для любого узла n следует неравенство

Применим это неравенство к узлу , в которомдостигает своего максимума; при этом в правой части заменимиих максимальными значениями. (Это сделано для того, чтобы получить норму в).

Тогда получим

или

Но в силу неравенства (29.2)

Поэтому т.е. выполнен признак равномерной устойчивостипо начальным данным. Первое утверждение доказано.

Доказательство утверждения в). Зафиксируем в (29.1) решение на исходном слое и внесем погрешность в правую часть. Тогда погрешность решения на новом слое будет удовлетворять уравнению

.

Отсюда следует неравенство

.

Аналогично предыдущему, выберем узел и заменим справа все величины их максимумами. Получим, что

.

Отсюда с учетом (29.3) следует, что ^æт.е. выполнено условие устойчивостипо правой части. Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Доказательство непосредственно применимо к схемам с переменными (зависящими от x, t) коэффициентами. Его можно обобщить на некоторые квазилинейные схемы, в которых коэффициенты зависят от у.

Замечание 2. Краевые условия двухслойных линейных схем имеют форму

. Поэтому данный признак позволяет устанавливать устойчивость по краевым условиям.

Замечание 3. Принцип максимума дает достаточное условие устойчивости, невыполнение критериев (29.2) и (29.3) еще не означает неустойчивость схемы.

Пример. Рассмотрим нестационарную краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентам к

Запишем для нее неявную схему на равномерной сетке

Переписывая эту схему в форме (29.1) т.е. получимОтсюда, приприn = 0 и n = N.

Остальные коэффициенты равны нулю. Видно, что при любых соотношениях шагов по t и x условие (29.3) выполнено в регулярных узлах, а условие (29.2) во всех узлах сетки.

Проверим условие (29.3) ^æ/.

Имеем - верно.

Проверим условие (29.2) .

Имеем .

Раскрываем скобки .

Видно, что неравенство выполняется.

Проверим условие (29.2) для граничных узлов. В этом случае дифференциальное уравнение превращается в равенство т.е. здесь. Для всехi, и мы получаем что очевидно.

Следовательно, схема безусловно устойчива по начальным данным, правой части и краевым условиям.

240