3. Интерполяционная формула лагранжа

Пусть и заданы точки ,(узлы интерполирования), в которых известны значения функции . Задача интерполирования состоит в том, чтобы построить многочлен:

степени n, значения которого в заданных точках , совпадают со значениями функции в этих точках. Такой полином существует и единственен.

Интерполяционный многочлен степени не выше n по системе алгебраических многочленов 1, х, х²,…,xⁿ можно задать по формуле Лагранжа:

,где ,

.

Обозначая

получим “барицентрический” вид многочлена Лагранжа:

4. Интерполяционная формула ньютона

Интерполяционная формула Ньютона является разностным аналогом формулы Тейлора и имеет вид:

где ,i,j=0,1,…,n,

i ≠ j – разделенные разности первого порядка,

, i,j,k=0,1,…,n,

I ≠ j ≠ k – разделенные разности второго порядка,

–разделенные разности k-го порядка.

При выводе формулы Ньютона не накладывается ограничений на порядок узлов x₀,x₁,…,x_n , поэтому множество интерполяционных формул можно получить из перенумерацией узлов.

Также есть первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования в начале таблицы, т.е. точка x близка к x₀), по которой будет считаться данная формула:

P_n(x) = f₀ + tΔ f₀ + Δ²f₀ + … + Δⁿ f₀, где t =

n	fn	Δfn	Δ2fn	Δ3fn	Δ4fn
0	f0	Δf0	Δ2f0	Δ3f0	Δ4f0
1	f1	Δf1	Δ2f1	Δ3f1	…
2	f2	Δf2	Δ2f2	…	…
3	f3	Δf3	…	…	…
4	f4	…	…	…	…

5. Применение интерполяционных формул к данному примеру

Дана таблица значений функции y = Sh(x):

x	Sh(x)
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4	1,17520 1,33565 1,50946 1,69838 1,90430

Нужно найти приближенное значение Sh(x) по интерполяционной формуле Лагранжа и Ньютона для значения аргумента 0,03.

Исходя из данной формулы Лагранжа найдем значение.

, в нашем случае L₅(1,03).

Найдем:

ω(1,03) = (1,03-1)*(1,03-2)*(1,03-3)*(1,03-4) = 0,0000356643

(ω'(x₀) = (1-1,1)*(1-1,2)*(1-1,3)*(1-1,4) = 0,0024

(ω'(x₁) = (1,1-1)*(1,1-1,2)*(1,1-1,3)*(1,1-1,4) = -0,0006

(ω'(x₂) = (1,2-1)*(1,2-1,1)*(1,2-1,3)*(1,2-1,4) = 0,0004

(ω'(x₃) = (1,3-1)*(1,3-1,1)*(1,3-1,2)*(1,3-1,4) = -0,0006

(ω'(x₄) = (1,4-1)*(1,4-1,1)*(1,4-1,2)*(1,4-1,3) = 0,0024

x - x₀ = 0,03

x - x₁ = - 0,07

x - x₂ = - 0,17

x - x₃ = - 0,27

x - x₄ = - 0,37

После того, как нашли ω(x) и ω' (x_k), найдем L₅(1,03).

L₅(1,03) = ++

+ ++=

= 0,58212063 + 1,1341671975 – 0,7916740335 + 0,373898357 – 0,07648144875 =

= 1,22203070225.

Найдем значение в точке 1,03 по интерполяционной формуле Ньютона.

Δf₀ = f₁ – f₀ = 0,16045

Δf₁ = f₂ – f₁ = 0,17381

Δf₂ = f₃ – f₂ = 0,18893

Δf₃ = f₄ – f₃ = 0,20592

Аналогично находим остальные значения Δf и подставим их в таблицу.

n	fn	Δfn	Δ2fn	Δ3fn	Δ4fn
0	1,1752	0,16045	0,01336	0,00175	0,00014
1	1,33565	0,17381	0,01511	0,00189	…
2	1,50946	0,18892	0,017	…	…
3	1,69838	0,20592	…	…	…
4	1,9043	…	…	…	…

t = =0,3

P₅(1,03) = 1,1752 + 0,3*0,16045 + *0,01336 +*

*0,00175 + *0,00014 = 1,1752 + 0,048135 - 0,0014028 + 0,000104125 – 0,00000562275 =1,22203070225.

Теперь посчитаем значение в точке 1,03 по формуле гиперболического синуса:

Sh(x) = => Sh(1,03) ==1,22202943707.