Лекции по теории разностных схем
.pdfТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ |
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i+1 = |
Bi |
; |
(i = 1; 2; : : : ; N |
1); |
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Ci iAi |
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i+1 = |
Ai i + Fi |
; |
(i = 1; 2; : : : ; N |
1): |
(10:4) |
Ci iAi |
Так как формула (10:3) верна при i = 0, то мы имеем:
y0 = 1y1 + 1;
с другой стороны,
y0 = 1y1 + 1:
Следовательно,
1 = 1;1 = 1:
Поэтому из формул (10:4) можно последовательно вычислить i; i для всех i = 1; 2; : : : ; N.
Осталось найти граничное значение yN . Оно определяется из решения системы уравнений
(
yN = 2yN 1 + 2
(10:5)
yN 1 = N yN + N :
Можно доказать, что из неравенства
jCij jAij + jBij |
(10:6) |
(которое обеспечивает устойчивость метода прогонки) следует соотношение
1 N 2 6= 0:
Поэтому из (10:5) получим:
yN = 2 + 2 N :
Соберем все формулы прогонки в порядке использования (стрелки наверху указывают направление счета):
8 !i+1 |
= |
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Bi ; |
(i = 1; 2; : : : ; N |
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1); |
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1 = 1 |
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(10:7) |
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>yN = 1 N 2 ; |
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1; N 2; : : : ; 1; 0): |
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>yi = i+1yi+1 + i+1; (i = N |
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:
В задаче (10:1) эти формулы имеют вид
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8 !i+1 |
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С.Г.ТАНКЕЕВ |
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Окончательно получаем: |
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i+1 |
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>
:
Неявная схема устойчива при любых значениях . Это важное преимущество неявных схем перед явными. Оно достигается за счет более сложного алгоритма вычислений.
11. Неявная разностная схема решения краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке при условии теплообмена с окружающей средой
Рассмотрим краевую задачу
8u(x; 0) = '(x); |
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||||||
> |
@u(x;t) |
= a |
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@2u(x;t) |
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>
<
>@u (0; t) = 1 (u(0; t) uсреды1);
>@x
>
>:@u@x (l; t) = 2 (u(l; t) uсреды2);
где '(x) задает начальное распределение температуры в стержне, 1; 2 0 – некоторые константы, характеризующие теплообмен концов стержня и окружающей среды. Неявная разностная схема имеет вид
8 |
u(x;t+ ) u(x;t) |
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2 |
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u(x+h;t+ ) 2u(x;t+ )+u(x h;t+ ) |
; |
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u(x; 0) = '( |
x); |
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h2 |
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= a |
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>u(h;t+ ) |
u(0;t+ ) |
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= 1(u(0; t + ) uсреды1); |
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h |
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< |
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u(l |
h;t+ ) |
= |
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>u(l;t+ ) h |
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2(u(l; t + ) uсреды2): |
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> |
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:
Очевидно,
ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
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u(0; t + ) = |
u(h;t+ )+ 1 h uсреды1 |
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(u(l; t + ) = |
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1+ 1 h |
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u(l h;t+ )+ 2 h uсреды2 |
: |
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1+ 2 h |
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В этом случае |
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1 = |
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1+ 1 h |
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8 1 = |
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h uсреды1 |
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1+ |
1 |
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h |
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1+ 2 h |
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h uсреды2 |
: |
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Напомним формулы прогонки: |
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1 = 1; |
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> 1 = 1; |
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2+ 2 N |
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1 N 2 |
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2; : : : ; 1; 0): |
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В нашем случае имеем: |
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1 = 1 |
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> 1 = 1 = |
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+u(ih;t) |
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h2 |
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> i+1 = |
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; |
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(i = 1; 2; : : : ; N |
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1); |
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2 a2 |
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a2 |
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||||||||||||||||||||||||||||
< |
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2 |
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+1 |
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i |
2 |
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h |
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h |
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2+ 2 |
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2 |
h uсреды2+ N |
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>u(Nh; t + ) = |
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N |
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= |
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1+ |
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; |
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h |
N |
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> |
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N |
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2 |
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2 |
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>u(ih; t + ) = |
i+1 |
u((i + 1)h; t + ) + |
i+1 |
; |
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(i = N |
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1; N 2; : : : ; 1; 0): |
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> |
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>
>
:
23
(11:1)
(11:2)
(11:3)
12. Решение задачи Дирихле в плоской области
Задача Дирихле в плоской области D формулируется следующим образом: найти гармоническую в области D функцию u(x; y), удовлетворяющую на границе @D условию u(x; y)j@D = '(x; y), где ' – заданная функция на @D.
Если область D односвязная, граница @D кусочно гладкая и функция ' непрерывна на границе @D, то решение задачи Дирихле существует и единственно. Мы воспользуемся тем обстоятельством, что в этом случае можно найти гармоническую функцию u(x; y) как предел
u(x; y) = lim u(x; y; t);
t!+1
где u(x; y; t) – решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности
8 |
@t |
= a2 |
|
@ u@x2 |
+ @y2 |
|
> |
@u(x;y;t) |
|
h |
|
@2u(x;y;t) |
|
> |
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
u(x; y; 0) = 0;
>
>
:u(x; y; t)j@D = '(x; y):
i
;
(12:1)
24 |
С.Г.ТАНКЕЕВ |
Поскольку мы знаем, что задачу (12:1) можно решить с помощью локально одномерной схемы (используя явные разностные схемы), то при больших значениях t мы получим хорошее приближение к решению задачи Дирихле.
Мы проиллюстрируем это на примере из § 5.
В прямоугольнике [0; 7h] [0; 5h] рассмотрим задачу Дирихле:
8 |
@2u(x;y) |
|
@2u(x;y) |
= 0; |
|
u(0; y) |
= |
100; |
|||
> |
@x2 |
+ |
|
@y2 |
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
<u(x; 5h) = 200; |
(12:2) |
||||
> |
|
|
|
|
|
>u(7h; y) = 300; |
|
>
>
>
>
>
>
:u(x; 0) = 400:
Для решения этой задачи рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в области D:
8h
>
>
>
@u(x;y;t) |
= a |
2 @2u(x;y;t) |
+ |
@2u(x;y;t) |
|||
@t |
|
@x |
2 |
@y |
2 |
||
|
|
|
|
|
>
>
>
>u(x; y; 0) = 0;
>
>
<u(0; y; t) = 100;
>>u(7h; y; t) = 300;
>
>
>u(x; 5h; t) = 200;
>
>
>
>
:u(x; 0; t) = 400:
i
;
(12:3)
Воспользуемся локально одномерной схемой. Положим = схема имеет следующий вид:
8u(x; y; t + ) = u(x;y+h;t+ 2 )+u(x;y h;t+ 2 ) |
; |
|||
> |
u(x; y; t + ) = |
u(x+h;y;t)+u(x h;y;t) |
; |
|
2 |
2 |
|
|
|
> |
|
|
|
|
>
>
>
>
>
>
>
>
>u(x; y; 0) = 0;
<
u(0; y; t) = 100;
>
>
>u(7h; y; t) = 300;
>
>
>
>u(x; 5h; t) = 200;
>
>
>
>
:u(x; 0; t) = 400:
Мы получаем следующие распределения температур:
2ha22 . Явная разностная
(12:4)
|
|
|
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: |
||||||||
|
|
|
100: |
0: |
0: |
0: |
0: |
0: |
0: |
300: |
|
t = 0 : |
100: |
0: |
0: |
0: |
0: |
0: |
0: |
300: |
|||
100: |
0: |
0: |
0: |
0: |
0: |
0: |
300: |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
100: |
0: |
0: |
0: |
0: |
0: |
0: |
300: |
|
|
|
|
100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300: |
||||||||
|
|
|
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: |
||||||||
|
|
|
100: |
50: |
0: |
0: |
0: |
0: |
150: |
300: |
|
t = |
|
: |
100: |
50: |
0: |
0: |
0: |
0: |
150: |
300: |
|
|
100: |
50: |
0: |
0: |
0: |
0: |
150: |
300: |
|||
2 |
|||||||||||
|
|
|
100: |
50: |
0: |
0: |
0: |
0: |
150: |
300: |
|
|
|
|
100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300: |
t = :
t = + 2 :
t = 2 :
t = 2 + 2 :
t = 3 :
t = 3 + 2 :
t = 4 :
ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ |
25 |
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 125: 100: 100: 100: 100: 175: 300:
100: |
50: |
0: |
0: |
0: |
0: |
150: |
300: |
100: |
50: |
0: |
0: |
0: |
0: |
150: |
300: |
100: 225: 200: 200: 200: 200: 275: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 100: 112: 100: 100: 137: 200: 300: 100: 50: 25: 0: 0: 75: 150: 300: 100: 50: 25: 0: 0: 75: 150: 300: 100: 150: 212: 200: 200: 237: 250: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 125: 112: 100: 100: 137: 175: 300: 100: 75: 68: 50: 50: 106: 175: 300: 100: 100: 118: 100: 100: 156: 200: 300: 100: 225: 212: 200: 200: 237: 275: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 106: 112: 106: 118: 137: 218: 300: 100: 84: 62: 59: 78: 112: 203: 300: 100: 109: 100: 109: 128: 150: 228: 300: 100: 156: 212: 206: 218: 237: 268: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 142: 131: 129: 139: 156: 201: 300: 100: 107: 106: 107: 123: 143: 223: 300: 100: 120: 137: 132: 165: 174: 235: 300: 100: 254: 250: 254: 264: 275: 314: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 115: 135: 135: 142: 170: 228: 300: 100: 103: 107: 114: 125: 173: 221: 300: 100: 118: 126: 151: 153: 200: 237: 300: 100: 175: 254: 257: 264: 289: 287: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 151: 153: 157: 162: 186: 210: 300: 100: 116: 130: 143: 147: 185: 232: 300: 100: 139: 180: 185: 194: 231: 254: 300: 100: 259: 263: 275: 276: 300: 318: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
26
t = 4 + 2 :
t = 5 :
t = 5 + 2 :
t = 6 :
t = 6 + 2 :
t = 7 :
t = 7 + 2 :
С.Г.ТАНКЕЕВ
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 126: 154: 157: 171: 186: 243: 300: 100: 115: 129: 138: 164: 189: 242: 300: 100: 140: 162: 187: 208: 224: 265: 300: 100: 181: 267: 269: 287: 297: 300: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 157: 164: 169: 182: 194: 221: 300: 100: 133: 158: 172: 189: 205: 254: 300: 100: 148: 198: 203: 225: 243: 271: 300: 100: 270: 281: 293: 304: 312: 332: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 132: 163: 173: 181: 201: 247: 300: 100: 129: 152: 173: 188: 221: 252: 300: 100: 149: 175: 211: 223: 248: 271: 300: 100: 190: 281: 292: 302: 318: 306: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 164: 176: 186: 194: 210: 226: 300: 100: 140: 169: 192: 202: 224: 259: 300: 100: 159: 216: 232: 245: 269: 279: 300: 100: 274: 287: 305: 311: 324: 335: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 138: 175: 185: 198: 210: 255: 300: 100: 134: 166: 185: 208: 230: 262: 300: 100: 158: 195: 230: 250: 262: 284: 300: 100: 193: 289: 299: 314: 323: 312: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 167: 183: 192: 204: 215: 231: 300: 100: 148: 185: 207: 224: 236: 269: 300: 100: 163: 227: 242: 261: 276: 287: 300: 100: 279: 297: 315: 325: 331: 342: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 141: 179: 193: 203: 217: 257: 300: 100: 142: 177: 204: 221: 246: 268: 300: 100: 163: 202: 244: 259: 274: 288: 300: 100: 198: 297: 311: 323: 333: 315: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
t = 8 :
t = 8 + 2 :
t = 9 :
t = 9 + 2 :
t = 10 :
ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ |
27 |
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 171: 188: 202: 210: 223: 234: 300: 100: 152: 190: 218: 231: 245: 272: 300: 100: 170: 237: 257: 272: 289: 291: 300: 100: 281: 301: 322: 329: 337: 344: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 144: 186: 199: 212: 222: 261: 300: 100: 145: 185: 210: 231: 251: 272: 300: 100: 168: 213: 254: 273: 281: 294: 300: 100: 200: 301: 315: 329: 336: 318: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
100: 200: 200: 200: 200: 200: 200: 300: 100: 172: 192: 205: 215: 225: 236: 300: 100: 156: 199: 226: 242: 251: 277: 300: 100: 172: 243: 262: 280: 293: 295: 300: 100: 284: 306: 327: 336: 340: 347: 300: 100: 400: 400: 400: 400: 400: 400: 300:
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В итоге мы получим при больших значениях t хорошее приближение к решению задачи Дирихле.
Список литературы
[1] А.А.Самарский. Теория разностных схем. М: Наука, 1977