Решение

Математическая модель транспортной задачи:

F = ∑∑c_ijx_ij, (1)

при условиях:

∑x_ij = a_i, i = 1,2,…, m, (2)

∑x_ij = b_j, j = 1,2,…, n, (3)

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	5	3	2	3	100
2	3	5	4	3	200
3	4	2	3	7	150
4	8	6	7	2	150
Потребности	170	80	140	190

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 100 + 200 + 150 + 150 = 600

∑b = 170 + 80 + 140 + 190 = 580

∑a ≠∑b Задача является открытой.

Вводим фиктивного потребителя B5 с потребностью 20 ед.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	5	3	2	3	0	100
2	3	5	4	3	0	200
3	4	2	3	7	0	150
4	8	6	7	2	0	150
Потребности	170	80	140	190	20

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	5	3	2[100]	3	0	100
2	3[170]	5	4	3[30]	0	200
3	4	2[80]	3[40]	7[10]	0[20]	150
4	8	6	7	2[150]	0	150
Потребности	170	80	140	190	20

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n - 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=6	v2=1	v3=2	v4=6	v5=-1
u1=0	5	3	2[100]	3	0
u2=-3	3[170]	5	4	3[30]	0
u3=1	4	2[80]	3[40]	7[10]	0[20]
u4=-4	8	6	7	2[150]	0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 3

Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	5	3	2[100][-]	3[+]	0	100
2	3[170]	5	4	3[30]	0	200
3	4	2[80]	3[40][+]	7[10][-]	0[20]	150
4	8	6	7	2[150]	0	150
Потребности	170	80	140	190	20

Цикл приведен в таблице (1,4; 1,3; 3,3; 3,4; ).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 4) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	5	3	2[90]	3[10]	0	100
2	3[170]	5	4	3[30]	0	200
3	4	2[80]	3[50]	7	0[20]	150
4	8	6	7	2[150]	0	150
Потребности	170	80	140	190	20

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

	v1=3	v2=1	v3=2	v4=3	v5=-1
u1=0	5	3	2[90]	3[10]	0
u2=0	3[170]	5	4	3[30]	0
u3=1	4	2[80]	3[50]	7	0[20]
u4=-1	8	6	7	2[150]	0

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

	В1	В2	В3	В4
А1			90	10
А2	170			30
А3		80	50
А4				150

Минимальные затраты составят:

F(x) = 2*90 + 3*10 + 3*170 + 3*30 + 2*80 + 3*50 + 2*150 = 1420

Задача 5. Оптимальное поэтапное распределение средств между предприятиями в течении планового периода.

Руководство фирмы, имеющей договор о сотрудничестве с тремя малыми предприятия, на плановый годовой период выделила для них оборотные средства в объеме 100000 у. е. Для каждого предприятия известны функции поквартального дохода и поквартального остатка оборотных средств в зависимости от выделенной на квартал суммы x. В начале квартала средства распределяются полностью между тремя предприятиями (из этих вложенных средств и вычисляется доход), а по окончанию квартала остатки средств аккумулируются у руководства фирмы и снова распределяются полностью между предприятиями. Составить план поквартального распределения средств на год (4 квартала), позволяющего достичь максимальный общий доход за год.