Постоянные финансовые ренты

Основные понятия. Классификация рент

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Такие последовательности или ряды платежей вызываются потоками платежей. Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные промежутки времени.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой, или просто рентой, а иногда аннуитетом, независимо от назначения или происхождения платежей.

Рента характеризуется следующими параметрами:

член ренты – размер отдельного платежа, R;

период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами;

срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, n;

процентная ставка – она может и не фигурировать в условиях финансовой ренты, но вместе с тем, крайне важна для ее анализа, i.

При характеристике отдельных видов рент необходимы дополнительные условия и параметры: число платежей в году, способ и частота начисления процентов.

На практике применяют разные по своим условиям ренты, которые в зависимости от признаков классификации различаются:

1. По количеству выплат членов ренты на протяжении года.

1.1. Годовые (выплата раз в году).

1.2. р-срочная (p – количество выплат в год).

Эти виды рент называются дискретными. Если платежи происходят столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные, то и ренты называются непрерывными.

2. По количеству начислений процентов на протяжении года.

2.1. Ренты с ежегодным начислением.

2.2. Ренты с начислением m раз в году.

2.3. Ренты с непрерывным начислением.

3. По величине своих членов.

3.1. Постоянные (с одинаковыми платежами).

3.2. Переменные (их члены изменяют свои размеры во времени).

4. По вероятности выплат.

4.1. Верные (подлежащие безусловной уплате).

4.2. Условные (выплата условной ренты ставится в зависимости от наступления некоторого случайного события, число членов ее заранее неизвестно).

5. По количеству членов.

5.1. Ограниченные по срокам (срок заранее обговаривается).

5.2. Бесконечная или вечная рента (срок не обговаривается конкретными датами).

6. По соотношению начала срока ренты и первого момента выплаты.

6.1. Немедленные ренты (первый момент выплат совпадает с началом ренты).

6.2. Отложенные или отсроченные ренты (начало выплат смещено относительно срока начала ренты).

7. По моменту выплат платежей в пределах периода.

7.1. Ренты постнумерандо или обыкновенные (выплата производится в конце периода).

7.2. Ренты пренумерандо (выплаты производятся в начале периода).

Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периода.

Пример. Контракт предусматривает периодическое погашение задолженности в конце каждого полугодия выплатой одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного количества лет, то есть имеется постоянная, полугодовая, верная, ограниченная рента постнумерандо.

Обобщающие параметры потоков платежей и прямой метод расчета наращенной и современной стоимости

В большинстве практических случаев анализ потоков платежей предполагает расчет одного или двух обобщающих параметров: наращенной суммы и современной стоимости.

Наращенная сумма – это сумма всех членов потоков платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость – сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или на некоторый упреждающий момент времени.

Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и пр. Современная же стоимость характеризует приведенные к началу срока (началу осуществления проекта) инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход, чистую приведенную прибыль и т.д. Без расчета обобщающих характеристик невозможно разработать план последовательного погашения задолженности, измерить экономическую эффективность проекта, осуществить сравнение условий различных контрактов и решить множество финансовых задач.

Введем обозначения и охарактеризуем основные параметры:

R – суммарный годовой платеж (размер суммы, которая переходит от одного владельца к другому в течение года; либо предполагается возможность такого перехода);

Р – число раз поступлений отдельных платежей в течении года;

Период – временной интервал между двумя соседними платежами;

n – срок потока платежей;

i (j) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании отдельных платежей, из которых состоит поток;

m – число раз в году начисления процентов исходя из ставки j в течении года.

Как наращенную, так и современную стоимость потока платежей можно рассчитать прямым счетом. Для этого рассмотрим общую постановку задачи.

Пусть имеется ряд произвольных платежей R_t, выплачиваемых спустя время n_t после некоторого начального момента времени, общий срок выплаты n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму S, если проценты начисляются раз в году по сложной процентной ставке i, получим общую схему расчета наращенной суммы потока платежей (рис. 12).

S = S₁ + S₂ + S₃ + … + S_{n – 2} + S_{n – 1} + S_n (R_n), или

S = R₁(1 + i)^{n – 1} + R₂(1 + i)^{n – 2} + R₃(1 + i)^{n – 3} + … + R_{n – 2}(1 + i)² +

+ R_{n – 1}(1 + i) + R_n, или

. (64)

S_n-1 = R_n-1(1+i)

S_n-2 = R_n-2(1+i)²

t+1

общий срок платежа

срок ренты

период отсрочки

S=R(1+i)^{n – 1}

n

…….\

1

n-1

S₁ = R₁(1+i)^n-1

S₃ = R₃(1+i)^n-3

S₂ = R₂(1+i)^n-2

Рис.12. Общая схема расчета наращенной суммы потока платежей

Пример 44.

Ежегодно в конце года в течение 3х лет на специальный счет поступает 50 д.е. Определим наращенную стоимость, если ежегодно в конце года осуществляется начисление сложных процентов по ставке 10%.

Дано: R = 50 д.е. i = 10% n = 3 года	Решение: Согласно (64) получим:
S - ?

Графическая иллюстрация

R₁ 50 R₂ 50 R₃ 50

1 2 3

S=S₁+S₂+S₃(R₃)

S₂ = R₂ ∙ (1 + i)

наращение

S₁ = R₁ ∙ (1 + i)²

наращение

Современную стоимость (А) такого потока находим как сумму дисконтированных платежей (рис. 13).

A_n-1 = R_n-1/(1+i)^n-1

A_n-2 = R_n-2/(1+i)^n-2

A₃ = R₃/(1+i)³

A₂ = R₂/(1+i)²

A₁ = R₁/(1+i)

Рис. 13. Общая схема расчета современной стоимости

A = A₁ + A₂ + A₃ +…+ A_{n – 2} + A_{n – 1} + A_n, или

A = R₁/(1 + i) + R₂/(1 + i)² + R₃/(1 + i)³ +…+ R_{n – 2}/(1 + i)^{n – 2} +

+ R_{n – 1}/(1 + i)^{n – 1} + R_n/(1 + i)ⁿ, или

. (65)

Современная величина ренты или потока платежей представляет собой ее оценку в виде некоторой величины, приуроченной к некоторому предшествующему моменту времени. Наращенная сумма является также обобщением потока в виде одного числа, но приуроченного к концу срока. Понятно, что между этими величинами должна существовать определенная зависимость. В самом деле, продисконтировав сумму S с помощью дисконтного множителя vⁿ, получим

Соответственно, наращивая сумму А по ставке i, получим

A(1 + i)ⁿ = S. (66)

Пример 45.

По данным предыдущего задания определить современную стоимость потока платежей.

Дано: R = 50 д.е. i = 10% n = 3 года	Решение: Согласно (65) получаем:
А - ?

Графическая иллюстрация

А R₁ = 50 R₂ = 50 R₃ = 50

0

1 2 3

дисконтирование

дисконтирование

дисконтирование

Проверим условием (66): S = А ∙ (1 + i)³ = 124,33 ∙ (1 + 0,1)³ = 165,5 д.е., что и требовалось доказать.