Пример №2 выполнения РГР по Устойчивости СЭ
.docФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Владимирский государственный университет
Кафедра «Электротехника и электроэнергетика»
Расчётно-графическая работа
По дисциплине «Устойчивость систем электроснабжения»
Выполнил: Ст. гр. ЗЭС93–108 Файхутдинов М.Ю.
Проверил: доцент, к.т.н. Шмелёв В.Е.
Владимир – 2009
Вариант Z.
Задание.
Дана электронная схема, изображённая на рис. 1 и состоящая из двух операционных усилителей и однофазного трансформатора. Трансформатор представлен в виде схемы замещения, учитывающей основные и паразитные параметры.
Определить устойчивость электронной схемы тремя способами:
1. Путём непосредственного определения полюсов передаточной функции замкнутой системы;
2. По критерию Рауса;
3. По критерию Найквиста.
Рис. 1. Функциональная схема электронной динамической системы
Параметры схемы для данного варианта имеют следующие значения:
R1 = 22 кОм;
R2 = 10 кОм;
R3 = 10 Ом;
R4 = 20 Ом;
R6 = 2 кОм;
C2 = 1 нФ;
C3 = 400 пФ;
C4 = 50 пФ;
C6 = 20 нФ;
Коэффициент электромагнитной связи обмоток трансформатора kэм = 0.99;
Индуктивность первичной обмотки L1 = 1 Гн = 1000 мГн; коэффициент трансформации kT = 2.5.
В расчётах для удобства сопротивления будем записывать в килоомах, индуктивности – в миллигенри, ёмкости – в нанофарадах, тогда время будет измеряться в микросекундах, частота – в мегагерцах, циклическая частота – в рад/мкс, комплексная частота – в мкс-1.
Рассчитаем индуктивность вторичной обмотки: L2 = L1/kT2 = 160 мГн.
Рассчитаем взаимную индуктивность обмоток трансформатора:
= 0.396 Гн = 396 мГн.
В соответствии с заданием способ намотки обмоток трансформатора таков, что ёмкость вторичной обмотки связана с ёмкостью первичной обмотки соотношением C5 = C3/kT2. Рассчитываем C5 = 64 пФ = 0.064 нФ.
Способ намотки обмоток трансформатора таков, что сопротивление вторичной обмотки связано с сопротивлением первичной обмотки соотношением R5 = R4/kT. Рассчитываем R5 = 8 Ом = 0.008 кОм.
Функциональной электрической схеме, изображённой на рис. 1, соответствует структурная схема динамической системы, изображённая на рис. 2. Здесь обозначено: H1(s) – передаточная функция усилительного каскада (DA1, R1, R2, C2) по неинвертирующему входу; H2(s) – передаточная функция того же каскада по инвертирующему входу, она выполняет роль передаточной функции отрицательной обратной связи; H3(s) – передаточная функция трансформатора; H4(s) – передаточная функция усилительного каскада (DA2, R6, C6).
Рис. 2. Структурная схема анализируемой динамической системы
Для анализа устойчивости работы динамической системы нужно определить все названные передаточные функции.
;
;
.
Чтобы рассчитать передаточную функцию H3(s), нужно выполнить анализ схемы замещения трансформатора операторным методом. Воспользуемся системой MATLAB и вычислительным сценарием cepye, подключив к нему Symbolic Mach Toolbox. В командном окне MATLAB выполним следующую последовательность операторов:
s=tf([1 0],1);
TM=[1 1 0 0 0 0 0 0; 0 -1 1 1 0 0 0 0; 0 0 0 -1 1 1 0 0; 0 0 0 0 0 -1 1 1];
pv=[tf(0.01) (tf(0.4)*s)^-1 tf(0.02) tf(1000)*s (tf(0.05)*s)^-1 tf(160)*s tf(0.008) (tf(0.5)+tf(0.064)*s)^-1];
PV(4,6)=-tf(396)*s;
PV(6,4)=-tf(396)*s;
PM=TM*PV*TM.'; % Матрица контурных сопротивлений
PS=TM.'/PM*TM; % Матрица входных и взаимных проводимостей ветвей
KS=-PS*PV; % Матрица коэффициентов передачи тока
KC=PV*PS-eye(size(PV)); % Матрица коэффициентов передачи напрqжения.
PC=PV*KS+PV; % Матрица входных и взаимных сопротивлений ветвей
H3=minreal(KC(8,1));
H3=minreal_sh(H3)
Переменная TM соответствует матрице главных контуров схемы замещения трансформатора, равной
После выполнения записанной последовательности операторов в командном окне появится выражение для передаточной функции трансформатора:
Transfer function:
1.562e004 s^3 + 1.388e-008 s^2 - 146.8 s + 1.134e-009
---------------------------------------------------------
s^5 + 876.3 s^4 + 1.416e005 s^3 + 1.563e005 s^2 + 379.9 s
Переменная H3 будет содержать tf- выражение искомой передаточной функции H3(s). Введём в ЭВМ передаточные функции усилительных каскадов:
H1=(tf(6)+tf(10)*s)/(tf(1)+tf(10)*s);
H2=tf(5)/(tf(1)+tf(10)*s);
H4=-tf(1)/s/tf(40);
Посчитаем передаточную функцию замкнутой системы без учёта H1(s):
W=minreal(H3*H4/(1+H2*H3*H4));
W=minreal_sh(W,0.4)
Transfer function:
-390.6 s^4 - 8.292e004 s^3 - 8285 s^2 + 778.9 s + 77.85
-------------------------------------------------------------------------------
s^7 + 1089 s^6 + 3.277e005 s^5 + 3.024e007 s^4 + 3.618e007 s^3 + 3.355e006 s^2
+ 8062 s + 389.3
Определим корни знаменателя этой передаточной функции:
[b,a]=tfdata(W,'v');
ss=roots(a)
ss =
-662.96
-212.18
-212.18
-1.1098
-0.099916
-0.00057583 + 0.01083i
-0.00057583 - 0.01083i
Расчёт импульсной характеристики показал, что передаточная функция W(s) имеет семь полюсов. Все они имеют отрицательную действительную часть, следовательно, анализируемая динамическая система устойчива. Передаточная функция H1(s) не охвачена обратной связью и не содержит правых и мнимых полюсов, значит, она не влияет на устойчивость динамической системы. Поэтому при анализе устойчивости передаточная функция H1(s) не учитывалась.
Для подтверждения сказанного покажем последовательность операторов и сообщений в командном окне MATLAB при построении графика импульсной характеристики замкнутой системы с учётом передаточной функции H1(s).
W1=minreal(H1*W);
W1=minreal_sh(W1)
impulse(W1,5/min(abs(real(ss))))
grid on
set(findobj('type','line'),'linewidth',2,'color',[0 0 0])
Передаточная функция замкнутой системы W1 имеет вид
Transfer function:
-390.6 s^4 - 8.312e004 s^3 - 4.973e004 s^2 + 780.7 s + 467.1
-------------------------------------------------------------------------------
s^7 + 1089 s^6 + 3.277e005 s^5 + 3.024e007 s^4 + 3.618e007 s^3 + 3.355e006 s^2
+ 8062 s + 389.3
График импульсной характеристики замкнутой системы показан на рис. 3. Видно, что устойчивость проявляется в виде затухания колебаний.
Рис. 3. Импульсная характеристика замкнутой системы
Проведём анализ устойчивости вторым способом. Составим таблицу (матрицу) Рауса для передаточной функции W1(s). Для этого сначала в массив-строку с именем a запишем коэффициенты полинома знаменателя передаточной функции W1:
[b,a]=tfdata(W1,'v')
b =
Columns 1 through 6
0 0 0 -390.62 -83119 -49727
Columns 7 through 8
780.73 467.12
a =
Columns 1 through 6
1 1088.5 3.2768e+005 3.0243e+007 3.6177e+007 3.3548e+006
Columns 7 through 8
8062.5 389.26
r=raus(a)
r =
1 3.2768e+005 3.6177e+007 8062.5
1088.5 3.0243e+007 3.3548e+006 389.26
2.9989e+005 3.6174e+007 8062.1 0
3.0112e+007 3.3548e+006 389.26 0
3.6141e+007 8058.2 0 0
3.3481e+006 389.26 0 0
3856.3 0 0 0
389.26 0 0 0
Видно, что в первом столбце этой матрицы нет перемен знака чисел. Из этого следует, что число правых полюсов передаточной функции W1(s) равно нулю. Это означает, что анализируемая система устойчива. В предыдущем способе анализа также не было найдено ни одного правого комплексного полюса.
Использованная в данной последовательности операторов m-функция raus содержит следующие операторы MATLAB:
% raus - Составление матрицы Рауса для полинома
% r=raus(p)
% p - массив-строка коэффициентов полинома, для которого
% составляется матрица Рауса
% r - матрица Рауса
function r=raus(p)
n1=length(p); % длина массива коэффициентов полинома
n2=ceil(n1/2); % число столюцов матрицы Рауса
r=zeros(n1,n2); % распределяем память под матрицу Рауса
if p(1)==0, return, end
if mod(n1,2)==0 % если длина полинома чётная
r([1,2],:)=reshape(p,2,n2);
else
r([1,2],:)=reshape([p,0],2,n2);
end % if mod(n1,2)==0
% Цикл вычислений. Анализируется особые случаи
for k=3:n1
if ~any(r(k-1,:)), r(k-1,:)=r(k-2,:).*(n1-k+2-(0:n2-1)*2); end
if r(k-1,1)==0, r(k-1,1)=eps(max(abs(r(k-1,:))))*sign(r(k-2,1)); end
r(k,1:end-1)=-r(k-2,1)/r(k-1,1)*r(k-1,2:end)+r(k-2,2:end);
end
Проведём анализ устойчивости третьим способом. Рассчитаем передаточную функцию разомкнутой системы, равную произведению передаточных функций элементов контура структурной схемы с отрицательной обратной связью.
Hp(s) = H2(s)H3(s)H4(s) =
= -7.812e004 s^3 - 6.941e-008 s^2 + 733.8 s - 5.672e-009
-------------------------------------------------------------------------------
400 s^7 + 3.505e005 s^6 + 5.669e007 s^5 + 6.817e007 s^4 + 6.402e006 s^3
+ 1.52e004 s^2.
В командном окне MATLAB выполним последовательность операторов
om=logspace(-3,1,1001);
Hr=H2*H3*H4;
[b,a]=tfdata(Hr,'v');
Hrom=polyval(b,1i*om)./polyval(a,1i*om);
Lr=20*log10(abs(Hrom));
Pr=angle(-Hrom)-pi;
subplot(2,1,1)
semilogx(om,Lr,'k-','linewidth',2)
grid on
subplot(2,1,2)
semilogx(om,Pr*180/pi,'k-','linewidth',2)
grid on
В результате в одной фигуре MATLAB будет построено два графика: ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы (рис. 4). По графику или с помощью интерполяции ЛФЧХ определим частоту (рад/мкс), на которой ЛФЧХ проходит через -180О:
om1=interp1(Pr,om,-pi,'cubic')
om1 =
0.01493
По графику или с помощью интерполяции определим частоту (рад/мкс), на которой модуль коэффициента передачи сигнала равен 0 дБ:
om2=interp1(Lr,om,0,'cubic')
om2 =
0.010747
Модуль коэффициента передачи сигнала (дБ) на частоте om1 определяется оператором:
D1=interp1(om,Lr,om1,'cubic')
D1 =
-5.5566
Это означает, что система устойчива. Запас устойчивости по модулю составляет 5.5566 дБ.
Дефицит устойчивости по фазе (в градусах) определяется по значению ЛФЧХ на частоте om2 оператором:
D2=(-pi-interp1(om,Pr,om2,'cubic'))*180/pi
D2 =
-6.081
Запас устойчивости по модулю составляет 6.081 градусов.
Вывод. Анализ устойчивости динамической системы тремя методами дал один и тот же результат: система устойчива. Первый из этих трёх методов наиболее универсален, но обязательно требует применения вычислительной техники и современного математического ПО. Второй из этих методов не требует применения вычислительной техники и позволяет определить число правых полюсов передаточной функции замкнутой системы. Однако этот метод не позволяет анализировать динамические системы с элементами чистого запаздывания. Этого недостатка лишён третий метод анализа, который также не требует применения вычислительной техники и, кроме всего прочего, позволяет определить запас или дефицит устойчивости по модулю и по фазе, что бывает важно при выборе и синтезе корректирующих устройств.
Рис. 4. ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу) разомкнутой системы