- •Экономико-математический подход к исследованию финансовых операций
- •Глава I. Основные понятия и формулы
- •1. Задача линейного программирования
- •1.1. Постановка задачи
- •1.2. Графический метод решения
- •1.3. Симплекс – метод решения
- •Алгоритм решения злп симплекс – методом
- •2. Теория двойственности линейного программирования 2.1. Построение двойственной задачи
- •2.2. Получение оптимального плана двойственной задачи
- •2.3. Экономический смысл двойственных оценок
- •3. Элементы теории игр
- •3.1. Матричная модель игры
- •3.2. Игры с седловой точкой
- •3.3. Игры без седловой точки
- •4. Транспортная задача
- •4.1. Постановка транспортной задачи и ее математическая модель
- •4.2. Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов
- •Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов
- •5. Задача нелинейного программирования
- •5.1. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг
- •5.2. Графический метод решения задачи нелинейного программирования
- •5.2. Решение задачи нелинейного программирования методом множителей Лагранжа
- •6. Динамическое программирование
- •6.1. Принцип оптимальности Беллмана
- •6.2. Задача построения оптимального маршрута
- •6.3. Задача распределения ресурсов
- •7. Системы массового обслуживания (смо)
- •7.1. Основные определения
- •7.2. Замкнутые смо с ожиданием
- •7.3. Разомкнутые смо с очередями
- •8. Межотраслевой баланс
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Модель Леонтьева
- •9. Сетевое планирование
- •II. Типовой расчет
- •Типовой расчет № 4
7. Системы массового обслуживания (смо)
7.1. Основные определения
Многие экономические задачи связаны с системами массового обслуживания (СМО), то есть такими системами, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнения каких – либо услуг, а с другой – происходит удовлетворение этих запросов. СМО включают в себя следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (канал обслуживания), выходящий поток требований.
Любая СМО характеризуется следующими параметрами:
n – количество обслуживающих каналов;
m – количество обслуживаемых объектов (число поступающих в систему требований);
λ – интенсивность потока требований (среднее число требований, поступающих в систему за единицу времени);
- среднее время обслуживания одного требования;
- количество требований, обслуживаемых за единицу времени;
- показатель загрузки системы, характеризующий математическое ожидание числа требований, поступающих в систему за время, равное .
Рассмотрим СМО с ожиданием (очередью). В этом случае требования, поступившие в момент, кода все обслуживающие каналы заняты, становятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов обслуживания. Очевидно, что в этом случае число поступающих в систему требований больше числа каналов обслуживания,
.
Введем основные характеристики СМО с ожиданием.
1) Вероятность того, системой обслуживается ровноk требований. Отдельно рассматриваются случаи:
а) - вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны;
б) ,, количество требований не превосходит числа каналов обслуживания;
в) ,, количество требований больше числа каналов обслуживания.
2) Средняя длина очереди , то есть среднее число требований, ожидающих начала обслуживания.
3) Коэффициент простоя обслуживаемого требования:
.
4) Среднее число свободных обслуживающих каналов.
5) Коэффициент простоя обслуживающих каналов:
.
6) Среднее число занятых каналов
.
7) Коэффициент загрузки обслуживающих каналов:
.
7.2. Замкнутые смо с ожиданием
К замкнутым относятся СМО, в которых поступающий поток требований ограничен. В подобных системах циркулирующий поток требований ограничен и, как правило, постоянен.
Приведем основные расчетные формулы:
;
;
;
также рассчитывается среднее число М требований, находящихся в системе, обслуживаемых и ожидающих начала обслуживания:
;
.
Пример 7.1. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Поток поступающих требований имеет интенсивность λ = 2. Обслуживание одного станка у рабочего занимает в среднем 12 минут. Необходимо провести анализ рассматриваемой СМО.
Имеем:
n = 1, m = 3.
Временные параметры выразим в часах:
= 12 минут или часа,
следовательно
.
Параметр
.
Вероятность
.
Найденную вероятность можно интерпретировать так: рабочий будет свободен 28,22% всего рабочего времени.
Средняя длина очереди равна
; величина
.
Итак, в среднем 0,4876 станка ожидают начала обслуживания, а 1,2056 станка простаивает (не выдает продукции).
Коэффициент простоя обслуживающих каналов равен
.
Получаем: в среднем станки простаивают 16,25% своего рабочего времени, ожидая начала обслуживания.
Величина ,
;
,
.