s2_matan_kol_shpore_html_pdf

f (x)

1

d f (t) cos (t x)dt

(2.6)

0

неперервності функції f (x) , а у кожній точці x0

розриву першого

роду, як і для рядів Фур’ є, інтеграл Фур’є збігається до числа

f (x0

0)

f (x0

0)

.

2

Зауваження 2.

Якщо функція f (x)

- парна, то B( ) 0 f (x)

2

f (t) cos tdt та інтеграл

0

Фур’є для такої функції має вигляд

f (x)

2

cos

xd

f (t) cos

tdt (2.9)

0

0

У випадку непарної функції f (x)

A( )

0

f (x)

2

f (t) sin

tdt

0

інтеграл Фур’є набуває вигляду

f (x)

2

sin

xd

f (t) sin

tdt (2.10)

0

0

n

n

Суми SP ( f )

M iV (Ii ) ,

SP ( f )

miV (Ii )

називаються відповідно верхньою та

i 1

i 1

нижньою інтегральними

сумами

Дарбу для

функції f , що

відповідають сітковому

розбиттю P бруса I

Нехай P - деяке сіткове розбиття бруса I

на комірки I i , i

1, n

. Розбиття P* цього

бруса, що утворюється з сіткового розбиття P шляхом подальшого сіткового розбиття

деяких комірок I i

розбиття P на комірки Iij називається продовженням розбиття

P

.

Лема 1. (Інтегральні суми на продовженому розбитті)

обмежена функція, що визначена на брусі

, P* -

Нехай

f : I R -

I

продовження сіткового розбиття P бруса I , тоді виконуються нерівності:

(1)

SP* ( f )

SP ( f ) , SP* ( f ) SP ( f )

Обмежена функція f : I

R називається інтегрованою у розумінні Дарбу на брусі I , якщо

виконується рівність:

fdx

fdx . Це спільне значення верхнього та нижнього інтегралів

Дарбу для функції f називається m - кратним ( m - вимірним) інтегралом Дарбу

Теорема 1.

(Критерій інтегрованості у розумінні Дарбу)

Функція f інтегрована на брусі I тоді і тільки тоді,

коли

0 існує

сіткове розбиття бруса I

таке, що 0

SP ( f ) SP ( f )

.

Теорема 2.

(зв’язок інтегрованості за Дарбу та Ріманом)

Обмежена функція f інтегрована за Ріманом на брусі

тоді і тільки

I

тоді, коли вона інтегрована у розумінні Дарбу.

Терема 4.

(Лебега – критерій інтегрованості за Ріманом)

Нехай функція f : I

R - обмежена, позначимо

множину її

точок

розриву через E

R m ,

тоді f R I

множина E має лебегову міру

нуль.