s2_matan_kol_shpore_html_pdf

f (x)

0,

g(x) 0

xє[a,b]

lim

f (x)

k

(0 k

)

g(x)

x b 0

b(вкружочку)

b(вкружочку)

1)

g(x)dx

f (x)dx

0 k

a

a

b(вкружочку)

b(вкружочку)

2)

g(x)dx

розбіж ний

f (x)dx

розбіж ний

0 k

a

a

Нехай функції

f

,

g

такі, що

A

-

a,

R

a,

R

f (t)dt

a

обмежений, а

функція g

-

монотонно

прямує до

нуля,

то

функції g можемо записати рівність

x2 , x2

a

x2

x2

I (x1 , x2 )

f (x)g(x)dx

g(x1 ) f (x)dx

g(x2 ) f (x)dx . Якщо записати критерій Коші

x1

x1

збіжності

функції g

до нуля, то

0

A 0 x1 , x2 A g(x)

, а тому

I (x1 , x2 )

2M .

a

a

виконується рівність

f (t)g (t)dt A f (a)g(a)

f (t)g(t)dt , яку називають формулою інтегрування

a

a

t

x

x

x

інтегралу:

f (t)g (t)dt

f (t)g(t)

f

(t)g(t)dt

. Далі

граничний

перехід

при

a

a

t

a

x

.

Б) Нехай функція f C[a,

) , функція

g

R диференційована, зростаюча, а

,

її похідна g

неперервна в кожній точці Dg , за виключенням множини лебегової

міри

нуль,

а також

g(

) a , Eg

[a, ) .

Якщо

f (t)dt -

збігається,

то

a

Рімана.

[a, x] [a, )

[

, y]: Eg[

, y] [a, x], де g( y)

x (внаслідок неперервності

та монотонності функції g )

x

y

f (t)dt

( f g)(t)g (t)dt

,

ну а

далі граничний

перехід при одночасному

Нехай c [a, b]

f

[a, b] \ {c},

R , функція [a, b] \ {c} R інтегрована [ ,

]

та інтеграл b

f (x)dx розбігається, але існує lim

c

f (x)dx

b

f (x)dx I R

a

0

a

c

А) Нехай E

I

J , де I

a, b ,

J

c, d ,

f : E

R інтегрована за Ріманом

J на сегменті I

функція. Тоді на інтервалі J

визначимо функцію F :

b

dx яку ми назвемо інтегралом Рімана, залежним від

F

f

x,

a

параметра

Б) Якщо функція f

неперервна на E , то F

C J .

Доведення. Нехай

0

J

- довільна точка цього проміжку, розглянемо

звуження

де E

J .

З

того, що E -

компакт

f -

рівномірно

f

E ,

I

неперервна на E . Тому

f (x, 0

h)

f (x,

0

0

h :

h

0 )

b

b

(b a) ,

F( 0

h)

F( 0 )

f (x, 0

h)

f (x, 0 ) dx

f (x, 0

h)

f (x, 0 )

dx

a

a

що й доводить неперервність F в точці 0 внаслідок довільності з

цього й слідує, що F

C(J ) .

b

b

b

lim f (x, )dx

lim

f (x, ) dx

f (x, 0 )dx .

0 a

a

0

a

Якщо функція f має на E неперервну часткову похідну

f

F (з(1))

, то функція

F

b

f

x,

dx

(4)

a

(формула Лейбниця)

b

f

Доведення. За

теоремою 1

g :

x,

dx є неперервною

функцією

на J ,

треба довести

a

диференційованість F та рівність F

g , це означає, що треба довести співвідношення:

F

h

F

g

h

o h

(5)

Зафіксуємо довільне

J ,

і як в теоремі 1

виберемо сегмент J

J , який містить

і позначимо

E I J

. З

рівномірної

неперервності

f

на

E

ми маємо, що

0

0 :

h :

h

f

x,

h

f

x,

h

J .

b

a

f x,

h

f x,

f

x,

h

f

x,

h

f

x,

h

f

x,

f

x,

h

h

h . Остаточно маємо:

,

так

як

середня

точка

між

і

b

a

b

f

F

h F

g h

a

f x,

h

f x,

x,

h dx

b

f

x,

h

f x,

f

x, h

dx

h

,звідки і слідує рівність (5).

a

Теорема доведена.

Якщо в умовах теореми 2 f неперервна на E разом із своєю похідною

f

, а функції