mah3

ния. Но оба момента содействовали развитию геометрии и действуют еще и ныне, ибо, как уже было показано, геометрия вовсе не пользуется исключительно лишь метрическими понятиями.

42.Если спросить беспристрастного, добросовестного человека, как он представляет себе пространство, отнесенное, например, к системе координат Декарта, он ответил бы приблизительно следующее: «Я представляю себе систему твердых (определенной формы), прозрачных, проницаемых, соприкасающихся кубов, предельные поверхности которых оттенены слабыми зрительными или осязательными представлениями, одним словом, какие-то привидения кубов». Над этими-то телами-приви- дениями и сквозь них и движется действительное тело или тоже его привидение, сохраняя свое пространственное постоянство (в указанном выше смысле), когда мы занимаемся практической или теоретической геометрией или форономией. В знаменитом исследовании кривых поверхностей Гаусса, например, речь идет собственно о наложении бесконечно тонких, листообразных и, следовательно, сгибаемых тел друг на друга. Что опыты разного рода совокупно влияют на образование соответственных основных представлений, отрицать невозможно.

43.Как ни многообразен был специальный опыт, послуживший исходным пунктом для геометрии, он все же может быть сведен к минимуму фактов: существуют подвижные тела особого пространственного постоянства, твердые тела. Подвижность же их характеризуется следующим образом. Мы проводим из одной точки три прямые, не лежащие все три в одной плоскости, в остальном же совершенно произвольные. Перемещением по трем направлениям, параллельным этим прямым, возможно из каждой данной точки достичь любой другой. Таким образом три измерения, физиологически и метрически охарактеризованные как простейшие, достаточны для всех пространственных определений. Таковы основные факты.

44.Подобно всякому другому опыту, образующему основу экспериментальной науки, физически-метрический опыт идеализируется в наших понятиях. Влечет к этому потребность изобразить факты с помощью простых, прозрачных, логически легко усваиваемых понятий. Нет абсолютно твердого, пространственно вполне неизменяемого тела, как нет совершенной прямой линии, абсолютной плоскости, как нет совершенного газа, совершенной жидкости. Но мы охотнее и легче оперируем этими понятиями, чем другими, более точно соответствующими свойствам объектов, и затем принимаем в расчет отклонения. Теоретической гео-

365

сматриваются как равные. Примером может служить упомянутый выше случай равнобедренного и равностороннего треугольника. Преимущество геометрического мысленного эксперимента сравнительно с физическим заключается только в том, что первый может быть выполнен на основании более простых, более легких и почти бессознательно приобретенных опытов.

Фиг. 20

47. Пространственное воззрение и пространственное представление сами по себе имеют качественный, а не количественный, не метрический характер. Мы получаем в них сходства и различия протяжения, но не собственно величины. Представим себе, например, что по краю неподвижной монеты катится без трения в направлении часовой стрелки другая монета, равная первой по величине. Как бы живо мы ни представляли себе это движение, тщетна будет попытка вывести из одного этого представления угол вращения при полном обороте. Но если мы замечаем, что в начале движения радиусы а, а' (фиг. 20) образуют одну прямую, а после четверти оборота вокруг неподвижной монеты одну прямую составляют радиусы Ь, Ь', то сейчас же видим, что радиус а' направлен теперь вертикально вверх и, следовательно, сделал половину оборота. Таким образом мера вращения выводится из понятий метрических, фиксирующих идеализированный опыт, полученный на телесных объектах, но направление вращения устанавливается при этом созерцательным представлением. Метрические понятия определяют только, что равным дугам равных кругов соответствуют равные углы, что радиусы

367

двух соприкасающихся кругов, проведенные через точку касания, образуют одну прямую линию и т. д.

48. Если я представляю себе треугольник с увеличивающимся углом, то вижу, что растет и противолежащая ему сторона. Отсюда получается впечатление, что эта зависимость вытекает а priori из представления. Однако представление воспроизводит здесь только факт опыта. Мера угла и мера стороны суть два физических понятия, приложимые к одному и тому же факту, но столь нам привычные, что кажутся только двумя различными признаками одного и того же фактического представления и потому необходимо между собой связанными. И однако без физического опыта мы никогда не получили бы этих понятий.

49. Взаимодействие созерцания и идеализированного опытного понятия обнаруживается при всех геометрических выводах. Рассмотрим, например, простую теорему, что три линии, перпендикулярные к серединам сторон треугольника ЛВС, пересекаются в одной точке. К этой теореме привели эксперимент и созерцание. Но чем тоньше исполнено построение, тем лучше мы убеждаемся, что третий перпендикуляр не проходит вполне точно через точку пересечения двух первых и что, следовательно, при действительном построении были бы всегда находимы лишь три близкие друг другу точки пересечения. Но, ведь, в действительности мы не проводим ни совершенных прямых, ни совершенных перпендикуляров, ни ведем их точно из середины сторон и т. д. Только при этих идеальных условиях перпендикуляр к середине линии AB заключает в себе все точки, равно удаленные от А и Д и перпендикуляр к середине линии ВС — все точки, равно удаленные от В и С; вследствие этого точка пересечения этих двух перпендикуляров находится на равном расстоянии от точек А, В, Си, находясь на равном расстоянии от А, С, лежит также на третьем перпендикуляре к середине линии АС. Таким образом наша теорема выражает только то, что чем точнее выполняются предпосылки, тем точнее совпадают три точки пересечения.

50. Эти примеры ясно, надеемся, показали, как важно взаимодействие созерцания и понятия. «Мысли без содержания пусты, наглядные представления без понятий слепы», говорит Кант35. Еще лучше, пожалуй, сказать так: «Понятия без наглядных представлений (созерцаний) слепы, наглядные представления без понятий бессильны». Ибо не вполне правильно называть созерцание слепым, а понятия пустыми. Если далее Кант^ утверждает, что

35Kritik der reinen Vernuft, 1787, стр. 75.

36Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft. Vorwort.

368

в «каждом особом учении о природе заключается лишь столько настоящей науки, сколько в ней есть математики», то можно, пожалуй, и обо всех науках, не исключая математики, сказать, что «они суть науки только постольку, поскольку они оперируют понятиями». Ибо наша логическая власть распространяется толь-

ко на понятия, содержание которых мы сами определили.

51. Факты твердости и подвижности тел достаточны, чтобы понять каждый геометрический факт, как бы он ни был сложен, т. е. чтобы вывести его из этих фактов. Но геометрии приходится, и в собственных своих интересах, и в качестве науки вспомогательной или при преследовании практических целей, отвечать на вопросы, часто повторяющейся формы. Было бы поэтому неэкономно каждый новый случай анализировать с самого начала, от самых элементарных фактов. Выгоднее из некоторых простых, привычных и несомненных положений — выбор которых не чужд произвола — вывести ответы на наиболее часто встречающиеся вопросы, в виде раз навсегда установленных теорем. С этой точки зрения становится сразу понятной форма геометрии, например значение, которое она придает своим теоремам о треугольниках и т. д. Для указанной цели желательно получить возможно более общие положения с самой широкой областью применения. История показывает, что такие положения были получены через соединение специальных познаний в познание более общее. И в настоящее время мы бываем еще вынуждены к такому процессу, когда дело идет о связи двух геометрических образов и когда специальные случаи формы и положения принуждают видоизменить выводы. Как один из наиболее известных примеров из элементарной геометрии достаточно указать вывод отношения, существующего между центральным и вписанным углом. Кроман*1 задался вопросом, каким образом происходит то, что мы доказательству на специальной форме (для особого треугольника) приписываем общеобязательное значение. Чтобы объяснить это, он принимает, что мы быстро изменяем в мыслях фигуру, заставляя ее принимать всевозможные формы, и таким образом убеждаемся в правильности вывода во всех частных случаях. История и самонаблюдение показывают, что эта мысль в существенном правильна. Но мы не должны принимать (как это делает Кроман), что всякий индивидуум, занимающийся геометрией, в каждом отдельном случае «с быстротой молнии» исполняет такой полный обзор и достигает такой ясности и силы убеждения в общем характере геометрических положений. Часто нужная операция невыполнима, а заблужде-

37 Kroman, Unsere Naturerkenntnis. Kopenhagen, 1883, стр. 74 и след.

ния показывают, что в других случаях она не была выполнена и человек удовольствовался предположением по аналогии38. Но то, чего индивидуум не делает или не может сделать в одно мгновение, он может сделать в течение всей своей жизни. Целые поколения работают над поверкой геометрии, и эта коллективная работа тоже усиливает убеждение в ее правильности39. Я знавал одного во многих отношениях превосходного учителя, который заставлял своих учеников производить все доказательства на неправильной фигуре, ибо полагал он, дело вообще не в фигуре, а лишь в логической связи понятий. Но фиксированные в понятиях данные опыта связаны с данными воззрения. И какие понятия применимы в том или другом случае, может научить нас только фигура, данная в воззрении или представлении. Метод этого учителя очень удобен для того, чтобы показать роль в познании логических операций. Но тот, кто постоянно применяет такой метод, наверное упускает из виду, что понятия черпают свою силу в чувственности.

Мнение, что новое познание может быть раз навсегда приобретено в течение нескольких минут, при помощи удачно построенных силлогизмов, не подтверждается точно установленными фактами. Оно неверно ни по отношению к отдельному учащемуся или исследователю, ни по отношению к какому-нибудь народу или человечеству, ни в отношении к геометрии, ни в отношении к какой-либо другой науке. Напротив, история науки показывает, что новое, правильное познание, покоящееся на верных основах, может то больше, то меньше затемняться, может выступать в односторонней, неполной форме, для одной группы исследо-

38Holder, Anschauung und Denken in der Geometrie. Leipzig, 1900, стр. 12.

39Gerken, высказывающийся в своей программной статье «Die philosophischen

Grundlagen der Mathematik» (Perleberg 1887, стр. 27) в том же духе, что и Кроман, ссылается при этом на Бенеке. Последний во многих местах своего сочинения «Logik als Kunstlehre des Denkens» подробно разбирает вопрос о математическом познании, как, например, в томе II на стр. 51 и след. На стр. 52—53 он говорит: «Прежде всего нет сомнения, что такое бесконечное сравнение действительно может быть совершено; в некоторых случаях это может быть даже непосредственно, наглядно показано. Возьмем приведенное выше геометрическое положение (о сумме углов в треугольнике). Если я вращаю в круге вершину треугольника, лежащую против продолженного основания его и при этом (вращая таким же образом вспомогательные линии и весь чертеж) наглядно показываю, что означенное соотношение существует во всех положениях треугольника и (что с этим непосредственно связано) при всех отношениях его величин, то спрашивается, сравнил ли я при этом конечное или бесконечное число случаев?» О сомнительной «быстроте молнии» у Бенеке нет однако и речи. — См. также несколько иные рассуждения на этутему у

С.Siegel, Versuch einer empiristischen Darstellung der räumlichen Grundgebilde u. s. w. (Vierteljarschr. f. wiss. Philosophie, 1900, в особенности стр. 203).

370

вателей даже совершенно исчезнуть и потом снова возродиться. Однократного нахождения и провозглашения какого-нибудь познания бывает недостаточно. Часто проходят года и даже столетия, пока общее мышление разовьется настолько, чтобы оно могло стать общим достоянием и укрепиться. Этот факт особенно хорошо освещен в глубоких исследованиях Дюгема40 об истории статики.

40Duhem, Les origines de la statique. Paris. 1905, в особенности Т. I, стр. 181 и след.

ГЛАВА 22

ПРОСТРАНСТВО И ГЕОМЕТРИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ1

1. Пространственное воззрение человека коренится в его физиологической организации. Геометрические понятия развиваются путем идеализации физического опыта пространства. Наконец, геометрическая система создается логическим упорядочением полученных понятий. Все три момента оставили ясные следы в современной геометрии. Таким образом теоретико-познаватель- ные вопросы о пространстве и геометрии подлежат изучению физиолога и психолога, физика, математика, философа и логика и могут быть постепенно разрешены, лишь приняв во внимание все, весьма различные здесь, точки зрения.

Когда в ранней юности в нас пробуждается полное сознание, мы уже находим у себя представление окружающего нас, охватывающего наше тело пространства, в котором, частью изменяясь и частью сохраняя прежнюю величину и форму, двигаются различные тела. Как у нас явилось это представление, мы указать не можем. Только точный анализ целесообразно и планомерно устроенных экспериментов дает возможность догадаться, что этому содействовали прирожденные особенности нашего тела с одной стороны, и простой, грубый, физический опыт — с другой.

Кроме своего чувственного качества (красный, шероховатый, прохладный и т. д.) каждый зрительный или осязательный объект характеризуется еще своим качеством места, локальным качеством (направо, наверх, впереди и т. д.). Чувственное качество может оставаться тем же самым, когда локальные места непрерывно изменяются; это значит, что один и тот же чувственный объект может перемещаться в пространстве. Когда такого рода состояния часто вызываются физически-физиологическими обстоятельствами, то вместе с огромным многообразием случай-

Глава эта была напечатана в журнале «The Monist», Vol. XIV. Oktober 1903. Я делаю в ней попытку в качестве физика занять известное положение к так называемой метагеометрии. За подробными геометрическими доказательствами я должен отослать читателя к источникам. При всем том я надеюсь сохранить общепонятность изложения, так как привожу примеры, всякому знакомые и привычные. — Профессор F. Brentano сделал устные и письменные возражения против изложенных в этой главе взглядов; эти возражения весьма интересны, но теперь, будучи занят другими вопросами, я на них подробно останавливаться не могу.

372

ных чувственных качеств постоянно повторяются одни и те же ряды локальных качеств, так что эти последние скоро образуют некоторую постоянную, сохраняющуюся схему или шкалу, в которой и располагаются упомянутые выше чувственные качества. Таким образом хотя чувственные качества и локальные качества возбуждаются и могут выступать только вместе, тем не менее легко возникает впечатление, будто система привычных локальных качеств дана до чувственных качеств.

2. Протяженные зрительные и осязательные объекты состоят из более или менее различимых чувственных качеств, которые связаны с соседними различными локальными качествами, образующими непрерывный ряд ступеней. Когда такие объекты перемещаются, и именно в области наших рук, мы воспринимаем сжатие или набухание (в целом или в его частях), или сохранение прежнего состояния, т. е. контрасты предельных локальных качеств изменяются или остаются постоянными. В последнем случае мы называем объекты твердыми. Через познание таких постоянств, несмотря на пространственные их перемещения, различные части нашего пространственного воззрения становятся сравнимыми, прежде всего в физиологическом смысле. Через сравнение различных тел между собой, через введение физической меры, эта сравнимость становится более точной, количественной и вместе с тем переходит границы индивидуума. Таким образом на место индивидуального, не передаваемого другим, пространственно-

го воззрения становятся общеобязательные для всех людей понятия геометрии. Каждый человек имеет свое особое пространственное воззрение, но геометрическое пространство одно для всех. Мы должны строго различать между наглядным, воззрительным пространством и метрическим пространством, содержащим физический опыт.

3. Потребность в глубоком гносеологическом выяснении основ геометрии заставила Римана2 в середине прошлого столетия поставить вопрос о природе пространства. Еще до этого Гаусс, Лобачевский и оба Bolyai обратили внимание на эмпирически-ги- потетическое значение известных основных допущений геометрии. Когда Риман рассматривает пространство как частный случай многократно протяженной «величины», он мыслит некоторый геометрический образ, который можно представлять себе наполняющим и все пространство, например координатную систему Декарта. Далее, Риман говорит, что положения геометрии нельзя вывести из общих понятий о величинах, но те свойства, которыми пространство отличается от других мыслимых величин

Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Göttingen, 1867.

трех измерений, могут быть заимствованы только из опыта...

«Подобно всем фактам, и эти факты не необходимы, а только эмпирически достоверны; они — гипотезы». Как основные допущения во всякой отрасли естествознания, так и основные допущения геометрии, к которым привел опыт, представляют идеализации этого опыта. В своем естественнонаучном понимании геометрии Риман стоит на точке зрения своего учителя Гаусса. Гаусс высказал убеждение, «что мы не можем обосновать геометрию вполне a priori»...3 «Мы должны смиренно признать, что, хотя число есть только продукт нашего ума, пространство есть реальность и вне нашего ума, которой мы не можем всецело приписывать закона a priori4.

4. Каждый исследователь испытал, что познанию объекта, подлежащего исследованию, существенно помогает сравнение его с объектами родственными. Естественно, что и Риман ищет вещей, представляющих аналогию с пространством. Геометрическое пространство он рассматривает как непрерывное многообразие трех измерений, элементами которого надо считать определяемые тремя координатами точки. Он находит, «что места чувственных предметов и цвета суть, пожалуй, единственные понятия, определения которых образуют многообразие многих измерений». К этой аналогии другие ученые прибавили еще новые и развили их далее, но, по моему мнению, не всегда с успехом5.

5. Если сравним сначала пространственное ощущение с ощущением цвета, то мы видим, что непрерывным рядам: наверху — внизу, направо -- налево, вблизи — далеко соответствуют три ряда ощущений цветов: черный — белый, красный — зеленый, желтый — синий. Система ощущаемых (созерцаемых) мест есть

3 Brief von Gauss an Bessel, 27 Januar 1829.

4Briefvon Gauss an Bessel vom 9 April 1830. — Выражение «число есть продукт или творение ума» с тех пор неоднократно употреблялось математиками. Но беспристрастное психологическое наблюдение учит нас, что образованию понятия числа в такой же мере кладет начало опыт, как образованию геометрических понятий. По меньшей мере прежде чем возникнет понятие о числе, должен уже существовать опыт, что в известном смысле равноценные объекты существуют множественно и неизменно. И числовой эксперимент играет выдающуюся роль в развитии арифметики.

5Если устанавливать аналогию между высотой, интенсивностью и тембром звука, между цветом, насыщенностью и силой света с одной стороны, и тремя измерениями пространства — с другой, то такие аналогии удовлетворят немногих. Тембр звука, как и цвет, зависит от многих переменных. Поэтому, если эта аналогия имеет вообще какой-нибудь смысл, то тембру и цвету должны соответствовать многие измерения. — Ср. Веппо Erdmann. Die Axiome der Geometrie. Leipzig, 1877.

374