1.4 Розв'язування діафантових рівнянь за допомогою теорії конгруенцій

Визначення: Рівняння, яке містить більше ніж одне невідоме називається НЕВИЗНАЧЕНИМ. Невизначене рівняння в якому невідомі величини виражаються цілими числами називається діафантовими рівняннями.

Розглянемо діафантове рівнняня першого ступеня з двома невідомими виду AX + BY = C, де A, B, C – цілі змінні.

Надалі умови, що НСД(A,B,C) = 1, тобто будь - яке рівняння можна в іншому разі привести до даного вигляду розділивши обидві частини на їх спільний дільник.

Теорема 1. Нехай d = НСД(A,b). Тоді існують цілі числа m і n такі, що Am + bn = d (без доведення).

Наслідки. Для того, щоб рівняння AX + BY = 0 мало розв’язок в цілих числах необхідно і достатньо, щоб число C ділилося без остачі на d, де d = НСД(A,B).

Необхідність. Нехай пара чисел (X₀,Y₀) розв’язок рівняння AX + BY = C, отже AX₀ + BX₀ = C – істинне числове рівняння. По умові, якщо d = НСД(A,B), то і , но тоді і , що і треба було довести.

Достатність. Нехай тоді розділимо обидві частини рівняння AX + BY = C на d, отримаємо A/d + B/d = C/d, то A₁X + B₁Y = C₁ і воно рівносильне заданому рівняння. Тоді НСД(A₁,B₁) = 1. По теоремі знайдеться пара чисел m і n таких, що A₁m + B₁n = 1. Домножимо обидві частини на C₁ отримаємо A₁C₁m + B₁C₁n = C₁, тоді пара (C₁m,C₁n) є розв’язком рівняння A₁X + B₁Y = C₁ буде і розв’язком данного рівняння.

Теорема 2. Нехай (X₀,Y₀) – деякий розв’язок рівняння AX + BY = C, тоді всі інші розв’язки цього рівняння можна отримати по формулам

, де t – ціле число, b = b/d і A = A/d.

Доведення:

Так як (X₀,Y₀) – розв’язок рівняння A₁X + b₁Y = c₁, то вірне рівняння A₁X₀ + b₁Y₀ = c₁ (*). Якщо (X₁,Y₁) – який - небудь розв’язок даного рівняння, то A₁X₁ + b₁Y₁ = c₁ (**). Прирівняємо (*) і (**) отримаємо A₁X₀ + b₁Y₀ = A₁X₁ + b₁Y₁, тоді A₁(X₁ – X₀) = b₁(Y₀ – Y₁), тоді по визначеню множника A₁(X₁–X₀) ділиться на b₁, але так як (A₁,b₁) = 1, то . Отже X₁ – X₀ = b₁t, де t – ціле число. Тоді A₁b₁t = b₁(Y₀ – Y₁) звідки Y₁ = Y₀ – A₁t, де t – ціле число що і треба було довести.

Приклад. Розв’язати рівняння в цілих числах

а) 7X–23Y = 131. Розв’язок:

Перевіримо умову d(7,23) = 1 і 131:1, то , задача на першому етапі зводиться до находження Y при якому , тоді 131 + 23Y  0 (mod 7), тоді 131  –23 (mod 7), 5  –2Y (mod 7) або –2  –2Y (mod 7), тобто Y  1 (mod 7), отже Y = 7t + 1, а тепер на другому етапі

7X – 23 (7t + 1) = 131, 7X = 154 + 23∙7t або X = 22 + 23t, де t – ціле число.

Відповідь: X = 22 + 23t, Y = 7t + 1, де t – ціле число.

б) 5X + 3Y = 14. Розв’язок: d(5,3) = 1 і 14:1; тоді 5X = 14–3Y, 3Y  14 (mod 5), 3Y  4 (mod 5), отже 3Y = 5t + 4, де t – ціле число. Тоді 5t + 4  0 (mod 3), 2t  –1 (mod 3) або 2t  2 (mod 3), t = 3l + 1, де l – ціле число, но 5X = 13–3(5l + 3), то X = –3l + 1, де l – ціле число.

Відповідь:, де l – ціле число;

1.5 Застосування конгруенцїй до встановлення ознак подільності.

Як відомо, в кільці Z Цілих чисел визначені операції додавання, віднімання і множення, а дія ділення не завжди можлива. Тому виникає потреба визначити, при яких умовах цілі числа діляться одно на одне.

Подільність чисел – це певне відношення між числами, яке в Z₊ має такі властивості: рефлексивність (а a), транзитивність ([a b /\ b с] => [a с]) і антисиметричність ([а b /\ b a => a = b]). Будь - яке відношення, яке має властивості рефлексивності, транзитивності і антисиметричності, називається відношенням не строгого порядку. Отже, подільність чисел в Z₊ є відношенням не строгого порядку. Аналогічним відношенням частинної упорядкованості є, наприклад, відношення «≥» в кільці Z. Воно рефлексивне (а ≥ a), транзитивне [а ≥ b /\ b ≥ с] => [а ≥ b], антисиметричне (якщо а ≥ b і b ≥ a, то b ≥ a).

Між відношеннями подільності і ≥ в кільці 2 можна встановити і таку аналогію. Відношення а і b означає, що існує таке число с, при якому виконується рівність a = bс. Відношення а ≥ b, або a – b ≥ 0, означає, що існує таке число с ≥ 0, при якому a = b + с. Рівності а = bс і a = b + c, як бачимо, аналогічні.

Факт подільності двох чисел можна, звичайно, встановити за допомогою алгоритму ділення чисел з остачею. Проте для великих чисел це завдання досить складне. Тому бажано знайти зручні ознаки, за якими можна було б судити про подільність чисел, не виконуючи самого ділення. В цілому суть ознак подільності зводиться до того, що розгляд подільності деякого натурального числа а на натуральне число т замінюється розглядом подільності на число т іншого, меншого за а натурального числа b, яке можна знайти за деяким правилом, що визначається числовою функцією f(a), тобто b = f (a). При цьому числа а і b = f(а) є, як кажуть, рівноподільними на число m, тобто такі, які, одночасно діляться або одночасно не діляться на число m. І Часто вимагають, щоб вони були конгруентними за модулем m.

Одним із способів знаходження ознак подільності, основаних на конгруентності чисел, є так званий спосіб Паскаля. Нехай деяке натуральне число а при основі числення q має вигляд

а = р_ngⁿ + р _n–1g^n–1 + _{∙ ∙ ∙} + p₁g + р₀ (1)

де коефіцієнти р_k є натуральні числа, які задовольняють нерівності 0 ≤ р_k < g. Позначимо через r_k остачу від ділення числа g^k на m, тобто g^k ≡ r_k (mod m), і побудуємо число b = f(a) за таким правилом:

b = f(а) = р_nr_n + р _n–1r_n–1 + _{∙ ∙ ∙} + p₁r₁ + р₀ (2)

На основі властивості 9 a ≡ b (mod m). Оскільки b < a, то дістаємо таку ознаку Паскаля подільності чисел:

Якщо число b = р_nr_n + р_n–1r_n–1 + ... + р₁r₁ + р₀ ділиться на число т, то ділиться на нього і число a = р_ngn + р_n–1g^n–1 + ... + р₁g + р₀

Якщо ж b на число т не ділиться, то не ділиться на т і число а.

За допомогою цієї загальної ознаки можна встановити зручні конкретні ознаки подільності чисел, записаних у звичайній для нас десятковій системі числення. У цій системі g = 10 і число а має вигляд:

a = p_{n ∙} 10ⁿ + р_{n–1 ∙} 10^n–1 + ... + р_{1 ∙} 10 + р₀ (3)

Коротко це можна записати так: a = р_nр_{n–1 ∙ ∙ ∙} р₁р₀

а) Ознака подільності на 2 і на 5.

Оскільки 10^k : 2 і 10 ^k : 5, то всі остачі r_k від ділення 10^k на числа 2 і 5 дорівнюють нулю. Тому за формулою (2) число b = f(a) = р₀. Отже, маємо таку ознаку:

Число а ділиться на 2 і на 5 тоді і тільки тоді, коли на них ділиться цифра одиниць числа а.

Приклад 1. Число а = 8574 ділиться на 2, бо 4 ділиться на 2. Число 8127 не ділиться на 5, бо 7 не ділиться на 5.

б) Ознака подільності на 3 і на 9.

Оскільки всі остачі r_k від ділення 10^k на число 3 або 9 дорівнюють 1, то за

b = f(a) = p_n + р_n–1 + ... + р₁ + р₀.

Отже, маємо таку ознаку:

Число а ділиться на 3 (або на 9) тоді і тільки тоді, коли сума цифр, які його зображують, ділиться на 3 (або відповідно на 9).

Приклад 2. Число a = 5742 ділиться на 3, бо сума цифр b = 5 + 7 + 4 + 2 = 18 ділиться на 3.

в) Ознака подільності на 11. За модулем 11 маємо

10^{2k ≡} 1 (mod 11), 10^2k–1 ≡ –1 (mod 11).

Тому r_2k = 1, r_2k–1 = –1, і, отже, за рівністю (2)

b = р₀ – р₁ + р₂ – р₃ + р₄ – р₅ + ... = (р₀ + р₂ + р₄ + ...) – (р₁ + р₃ + р₅ + ...).

Враховуючи, що цифри р_2k з парними індексами в числі а стоять на непарних місцях, можна сформулювати таку ознаку:

Число а ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли різниця між сумою цифр, які стоять на непарних місцях, і сумою цифр, які стоять на парних місцях, ділиться на 11.

Приклад 3. Число a = 53746 ділиться на 11, бо число b = (6 + 7 + 5) –(4 + 3)=18–7=11 ділиться на 11.

У системі числення з основою g = 10² можна знайти зручні ознаки подільності на числа 4, 25, 50. Число а в цій системі можна записати так:

a = c_s∙ 100 ^s + с_{s–1 ∙} 100^s–1 + _{∙ ∙ ∙} + c_{1 ∙} 100 + с₀.

Порівнюючи це з (3), бачимо, що c₀ = р_1∙10 + р₀ = р₁р₀, тобто є двоцифровим числом, яке зображується двома останніми цифрами числа а в десятковій системі числення.

Враховуючи, що a ≡ c₀ (mod 100) і числа 100^k діляться на числа 4, 25, 50, дістаємо такі ознаки подільності:

Число a = р_nр_n–1 ... р₁р₀ ділиться на 4 (або на 25 чи 50), якщо на 4 (або відповідно на 25 чи 50) ділиться двоцифрове число c₀ = р₁р₀, утворене двома останніми цифрами числа а, записаного в десятковій системі числення.

Ознаки подільності є цінними, якщо вони прості, зручні для користування. Проте більшість ознак, які можна вивести з ознаки Паскаля, є складними. Існує ряд зручних ознак подільності, які не випливають з загальної ознаку Паскаля, а зйайдені іншими способами. Наприклад, одну з ознак подільності на 7 можна сформулювати так:

Число a = 10а₁ + а₀ ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли ділиться на 7 число b = a₁ – 2а₀.

Зазначимо, що на відміну від усіх попередніх ознак числа а і b тут рівноподільні на 7, а не, конгруентні між собою за модулем т = 7.

Існує ще одне цікава властивість в теорії конгруенцій: