2 курс 2 семестр

БДПУ імя М.Танка матэматычны факультэт кафедра алгебры і геаметрыі

Напрамак касавугольнага паралельнага праектавання выбіраецца так, каб яно было паралельна плоскасці, якая праходзіць праз вось цыліндра і перпендыкулярная плоскасці

4) Відарыс конуса.

Конус размяшчаецца ў прасторы так, каб яго вось была вертыкальнай і паралельнай вертыкальнай плоскасці відарыса. Напрамак праектавання выбіраецца паралельным плоскасці, якая праходзіць праз вось конуса і перпендыкулярнай плоскасці праекцый , прычым гэта праектаванне не артаганальнае, а касавугольнае.

Аналагічна папярэдняму можна даказаць, што відарыс конуса мае выгляд выяўлены на рысунку. Контурныя ўтваральныя SM і SN датыкаюцца эліпса ў пунктах M і N. Вышыня конуса праектуецца ў роўны ёй адрэзак SO.

Дыяметр АВ эліпса роўны дыяметру акружнасці асновы конуса-арыгінала.

52

Аналагічным метадам, як і пры цэнтральным праектаванні, можна даказаць, што кожная плоскасць β, не перпедыкулярная ніводнай з плоскасцей прекцый α1 і α2 , выклікае на эпюры роднаснае пераўтварэнне.

Няхай А,В,С — тры розныя некалінеарныя пункты. Яны вызначаюць некаторую плоскасць АВС. На эпюры мы атрымаем 3 пары пунктаў (А1,А2), (В1,В2), (С1,С2). Плоскасць можа быць зададзена таксама дзвюма прамымі альбо прамой і пунктам.

Абазначым P=A1B1∩A2B2, Q=A1C1 ∩ A2C2.

Усе пункты прамой PQ падвойныя пры

роднасным пераўтварэнні.

Прамая PQ з’яўляецца воссю роднаснага пераўтварэння, якое выклікаецца плоскасцю

β=АВС.

Задача. Знайдзіце пункт перасячэння прамой l(l1,l2) з плоскасцю β, зададзенай дзвюма прамымі m(m1,m2) і n(n1,n2), якія перасякаюцца.

55 Аналіз. Дадзеная плоскасць выклікае роднаснае пераўтварэнне на эпюры. Шукаемы пункт X=l∩β належыць дадзенай плоскасці β. Таму яго гарызантальная і вертыкальная праекцыі з’яўляюцца адпаведнымі пунктамі пры роднасным пераўтварэнні. Але шукаемы пункт Х належыць таксама дадзенай прамой l. Таму яго праекцыі належаць адпаведным праекцыям прамой l.

Мы маем задачу знаходжання роднасных пунктаў Х1 і Х2 на няроднасных прамых l1 і l2. Для гэтага неабходна пабудаваць

вобраз прамой l пры роднасным пераўтварэнні.

Пабудуем для пунктаў A1=l1 ∩ m1 і B1=l1 ∩ n1 іх вобразы А2 m2, B2 n2. Тады прамая А2В2 — вобраз прамой l1. Для пункта X2=A2B2 ∩ l2 знаходзім правобраз X1 l1. Пункт X (X1, X2 ) — шукаемы.

Доказ

X1 l1, X2 l2 і X1X2 x, Х l.

X1 і X2 — гэта адпаведныя пункты пры роднасным пераўтварэнні эпюра, таму Х β. Значыць Х=l ∩ β — шукаемы.

§ 6. Аксанаметрыя. Тэарэма Польке-Шварца

Няхай у прасторы ў афіннай сістэме каардынат R'=(O',A'1,A'2,A'3) M'(x',y',z'). Радыусвектар r пункта М' будзе

БДПУ імя М.Танка матэматычны факультэт кафедра алгебры і геаметрыі

аксанаметрычных адзінак называюцца каэфіцыентамі скажэння на аксанаметрычных восях.

m =│lx │, n =│ ly│, p =│ lz│

Адрозніваюць тры тыпы аксанаметрычных праекцый:

1)трыметрычныя, калі m ≠ n, n ≠ p, m ≠ p;

2)дыметрычныя, калі m ≠ n = p;

3)ізаметрычныя, калі m = n = p.

Найбольш шырока выкарыстоўваюцца як у інжынерна-тэхнічнай, так і ў педагагічнай практыцы наступныя дзве:

касавугольная дыметрычная або кабінетная праекцыя.

Задача. Пабудуйце відарыс куба пры кабінетнай праекцыі.

Акружнасці, якія ляжаць у плоскасцях xOy і xOz і ў паралельных ім плоскасцях выяўляюцца у выглядзе

аксанаметрычным восям адпаведнай каардынатнай плоскасці, роўных дыяметру арыгіналу.

Задача. Пабудаваць відарыс шара ў артаганальнай ізаметрычнай праекцыі. (гл. “Математика в школе» № 6 за 1976 г.)

Эліпсы замяняюць аваламі, якія рысуюць цыркулем і лінейкай. Для гэтага будуюць ромбы з цэнтрам у пачатку сістэмы каардынат са старанамі, роўнымі дыяметру арыгінала і паралельнымі аксанаметрычным восям адпаведнай каардынатнай плоскасці і рысуюць дугі авалаў.

Заўвага. Адна аксанаметрычная праекцыя пункта яшчэ не вызначае пункт М' (арыгінал) у прасторы. Але калі апрача аксанаметрычнай зададзена адна з другасных праекцый, напрыклад М3, то з дапамогаю каардынатнай ломанай ОМxМ3М можна знайсці каардынаты пункта М' прасторы ў сістэме каардынат R' і пункт М' будзе цалкам вызначаны.

Адзначым, што прамая можа быць зададзена любымі двума сваімі рознымі пунктамі. Плоскасць можна задаць трыма некалінеарнымі

пунктамі або дзвюма рознымі прамымі ці прамой і пунктам, які не належыць гэтай прамой. Адпаведна гэтаму павінны быць зададзены аксанаметрычныя і

Азначэнне. Відарыс называецца поўным, калі на ім вызначана кожная інцыдэнцыя элементаў яго арыгінала.

З гэтага вынікае, што поўны відарыс дапускае адназначнае пабудаванне відарыса кожнай інцыдэнцыі элементаў арыгінала. У адваротным выпадку відарыс называецца няпоўным.

Поўны відарыс вызначае арыгінал з дакладнасцю да афіннай эквівалентнасці. Заўсёды заданне аксанаметрычных і другасных праекцый пунктаў, прамых

забяспечвае паўнату відарыса. Таму відарыс будзе поўным, калі да яго можна далучыць відарыс афіннай сістэмы каардынат так што ўсе пункты і прамыя, якія вызначаюць арыгінал, будуць зададзены аксанаметрычнымі і другаснымі праекцыямі на плоскасці відарыса α.

Уласцівасць паўнаты не залежыць ад выбару далучанага відарыса афіннага рэпера. Метад аксанаметрычных праекцый у чыстым выглядзе не заўсёды выкарыстоўваецца.

У школьнай практыцы часта карыстаюцца метадам асноўнай плоскасці, які быў распрацаваны прафесарам Чацвярухіным.

Выбіраюць унутранае праектаванне на некаторую асноўную плоскасць, а пасля ўсё гэта праектуецца на плоскасць праекцыі α. Відарысы па метаду асноўнай плоскасці з’яўляюцца поўнымі толькі тады, калі на іх цалкам вызначаны (зададзены ці могуць быць пабудаваны) асновы ўсіх пунктаў відарыса.

Напрыклад, відарысы плоскіх і прасторавых фігур школьнага курса геаметрыі (мнагавугольніка, прызмы, піраміды, цыліндра, конуса, шара) з’яўляюцца поўнымі.

Прыклад. Відарыс чатырох пунктаў агульнага размяшчэння поўны. Далучым яшчэ адзін пункт.

Відарыс сістэмы пяці пунктаў будзе няпоўным.

Задаўшы аснову Е1 пункта Е, мы атрымаем поўны відарыс.

Азначэнне. Мінімальная колькасць незалежных параметраў, якія

быць правільнымі ці няправільнымі.

Калі ОО1 ╫ АА1, то сячэнне няпрвільна пабудаванае.

Звышпоўны відарыс будзе няправільным, калі прынамсі адна з дадатковых інцыдэнцый выканана не зыходзячы з тых інцыдэнцый, якія забяспечваюць поўнасць, а выбрана адвольна.

§ 8. Пазіцыйныя і метрычныя задачы. Метрычная вызначанасць відарыса

Няхай на плоскасці відарыса α дадзены відарысы F1 і F2 дзвюх фігур F'1 і F'2 (арыгінала) прасторы. Задача пабудавання відарыса перасячэння фігур называецца пазіцыйный.

Пазіцыйная задача на поўным відарысе мае пэўнае рашэнне. Яно не змяшчае элементаў самавольства.

Задача.

АВС — гэта відарыс адвольнага А'В'С' — арыгінала. Патрабуецца пабудаваць відарыс яго вышыні. Любы адрэзак АН, дзе любы Н ВС можа быць відарысам вышыні. Задача не мае пэўнага рашэння.

Прыклад:

1)для куба з невядомым кантам параметрычны лік р=1;

2)для відарыса шара з дапамогай артаганальнага паралельнага пректавання невядомага радыуса параметрычны лік р=1.