2 курс 2 семестр

Пары не падзяляюць адна другую..

Можна даказаць, што інвалюцыя можа мець або два падвойныя пункты або зусім не мець падвойных пунктаў. У першым выпадку яна называецца гіпербалічнай, а ў апошнім – эліптычнай.

Заўважым, што парабалічнай інвалюцыі няма. Тэарэма 2:

Падвойныя пункты гіпербалічнай інвалюцыі гарманічна падзяляюць кожную пару спалучаных пунктаў.

Доказ:

Прыклад 2:

А

Пункты перасячэння бісектрыс унутранага і знешняга вуглоў трохвугольніка з прамой, на якой ляжыць працілеглая старана, дзеляць гэту старану ўнутраным і знешнім спосабам у адным і тым жа стасунку. Таму (АВCD')=-1 =>A,B D,D'

Калі трохвугольнік раунабедраны, то бісектрыса з’яўляецца вышынёй і бісектрыса знешняга вугла будзе паралельна АВ, D будзе неўласным пунктам прамой АВ. Такім чынам, сярэдзіна адрэзка разам з неўласным пунктам прамой гарманічна падзяляюць канцы адрэзка.

§ 16. Інварыянтныя пункты і прамыя праектыўнага пераўтварэння плоскасці.

Як вядома, праектыўнае пераўтварэнне f плоскасці пры выбранным рэперы

R=(A1,A2,A3,E) вызначаецца формуламі yi =cij x j , det | сij |≠0.

Азначэнне: Пункт Х плоскасці называецца падвойным або інварыянтным, калі

БДПУ імя М.Танка матэматычны факультэт кафедра алгебры і геаметрыі

Х=Х' =f(X), г.зн. супадае са сваім вобразам. Аналагічна, прамая называецца падвойнай

гэтай прамой і зусім не абавязаны супадаць з самім пунктам М. Але ў прыватным выпадку ўсе пункты падвойнай прамой могуць быць падвойнымі.

Даследуем існаванне падвойных пунктаў і прамых пра праектыўным пераўтварэнні f плоскасці.

Пункт Х(хi ) інварыянтны тады і толькі тады, калі Х'=f(x)=X. Таму адпаведныя

с13 х1 +с32 х2 +(с33 - )х3 =0

Гэта ёсць лінейная аднародная сістэма 3-х алгебраічных раўнанняў з трыма

(3)называецца характарыстычным раўнаннем матрыцы //cij //, а лік - уласным

значэннем матрыцы. Адносна (3) - з’яўляецца алгебраічным раўнаннем трэцяй ступені з сапраўднымі каэфіцыентамі. Яно мае прынамсі адзін сапраўдны корань 1 . Падставіўшы гэта значэнне у сістэму (2) і рашыўшы яе, знойдзем каардынаты хоць бы аднаго падвойнага пункта. Аналагічным чынам можна пераканацца, што праектыўнае пераўтварэнне мае прынамсі і адну падвойную прамую.

Такім чынам мы атрымалі тэарэму1:

Кожнае праектыўнае пераўтварэнне плоскасці мае прынамсі адзін падвойны пункт і адну падвойную прамую.

Калі 1 – сапраўдны корань характарыстычнага раўнання і такі, што ранг матрыцы роўны 1, тады сістэма (2) зводзіцца да аднаго незалежнага раўнання. У гэтым выпадку ўсе пункты прамой, якая вызначаецца гэтым раўнаннем, з’яўляюцца падвойнымі

. Значыць, у такім разе існуе прамая, усе пункты якой падвойныя. Яна называецца воссю праектыўнага пераўтварэння.

Зусім аналагічным чынам у гэтым выпадку існуе такі пункт, што праз яго праходзяць усе падвойныя прамыя, гэта значыць, існуе пучок падвойных прамых. Яго цэнтр з’яўляецца падвойным пунктам.

S

в=в’

a=a’

Сапраўды S=а ∩ в

S' =а'∩ b'= a ∩ в=S =>S'=S

Азначэнне: Цэнтр пучка падвойных прамых называецца цэнтрам праектыўнага пераўтварэння плоскасці.

Мы атрымалі тэарэму 2:

Калі праектыўнае пераўтварэнне f плоскасці мае вось, то яно мае таксама і цэнтр і наадварот.

§ 17 Гамалогія.

Азначэнне: Праектыўнае пераўтварэнне плоскасці, якое мае цэнтр і вось, называецца гамалогіяй.

Заўважым, што цэнтр гамалогіі можа належыць або не належыць яе восі. Уласцівасці цэнтра і восі:

1. Няхай S-цэнтр, s- вось гамалогіі. Пункт М не супадае з цэнтрам S. Тады прамая SMпадвойная прамая і пункт М'=f(M) SM. Значыць тры пункты М, М’=f(M),S належаць

Мы прышлі да высновы, што кожныя дзве адпаведныя прамыя d і d’=f(d) перасякаюцца ў падвойным пункце восі гамалогіі.

Тэарэма: Гамалогія адназначна вызначаецца заданнем цэнтра, восі і адной пары адпаведных пунктаў.

Доказ: Няхай дадзены цэнтр S, вось s і пара адпаведных пунктаў А і А’ пры гамалогіі f. Дакажам, што для ўсялякага пункта В адпаведны яму пункт В’ вызначаецца адназначна і можа быць пабудаваны.

Магчымы два выпадкі:

1)S s. Правядзем прамую АВ.Абазначым АВ ∩ s = X. Х –падвойны пункт Х=Х’.

ВАХ=>B' A'X' Правядзем A'X, але B' SB. Правядзем SB. Знаходзім В'=SB ∩

A'X

S

A

B

A’

B’ s

X=X’

2)Усё аналагічна будзе, калі S s.

Возьмем 2 уласныя пункты А і В. Няхай B'=f(B), A'=f(A), тады АВ׀׀ A'B'. Адсюль, калі

SA'= k SA, то SB'=kSB для адвольнага В. Такім чынам, гамалогія з’яўляецца гаматэтыяй

зцэнтрам S і каэфіцыентам k.

Вось s – уласная прамая, цэнтр S гамалогіі - гэта неўласны пункт. У такім разе гамалогія f называецца перспектыўна –афінным або роднасным пераўтварэннем. Яно цалкам вызначаецца заданнем восі гамалогіі (восі роднасці) і адной пары адпаведных пунктаў A, A'.

A

Уласцівасці роднаснага пераўтварэння:

1)(АВС)=(A'B'C')

2)Паралельныя прамыя пераходзяць у паралельныя. Разгледзім два прыватныя выпадкі роднаснага пераўтварэння:

а) AA'׀׀ BB '# s

A

A'

B

B'

s

X

Гамалогія называецца косым сцісканнем, вось s –воссю сціскання.

б) AA'׀׀ BB' ׀׀ s

A A'

Гамалогія называецца зрухам, вось s- воссю зруху.

Вось s- неўласная прамая, цэнтр s-неўласны пункт. AA' ׀׀ BB'

A'B' ׀׀ AB

A B a

Гэта ёсць паралельны перанос плоскасці, ён вызначаецца вектарам AA'. Азначэнне: Гамалогія, якая сама адваротная да сябе, называецца інвалюцыйнай.

Відавочна, што квадрат яе з’яўляецца тоесным пераўтварэннем плоскасці. Інвалюцыйная гамалогія выклікае на кожнай падвойнай прамой гіпербалічную інвалюцыю, падвойнымі пунктамі якой з’яўляюцца цэнтр гамалогіі і пункт перасячэння гэтай прамой з воссю гамалогіі. Таму цэнтр S інвалюцыйнай гамалогіі не належыць восі s гамалогіі.

S

A

s

A0

A’

Такім чынам, калі зададзены цэнтр і вось інвалюцыйнай гамалогіі, то для кожнага пункта А яго вобраз A'=f(A) можна пабудаваць як чацвёрты гарманічны пункт да тройкі пунктаў S, A0, A.

Значыць, інвалюцыйная гамалогія цалкам вызначаецца заданнем цэнтра і восі. Заўважым яшчэ, што кожныя два, адпаведныя пры інвалюцыйнай гамалогіі пункты

называюцца спалучанымі дзеля іх раўнапраўнасці.

Адзначым два прыватныя выпадкі інвалюцыйнай гамалогіі:

1) Цэнтр S- уласны пункт, а вось s- неўласная прамая. Для любога А і яго вобраза

A'=f(A) A,A'~ S,A0.

A'

B

S

A

B'

A0- неўласны пункт, значыць S ёсць сярэдзіна адрэзка. Гэта інвалюцыйная гамалогія

з’яўляецца адлюстраваннем ад пункта S, або інакш - сіметрыяй адносна пункта S, ці яшчэ інакш - цэнтральнай сіметрыяй Zs.

2)Вось s- уласная прамая, а цэнтр S- неўласны пункт.

інвалюцыйнай гамалогіі пункты A, A' і пры гэтым AA'//BB'//CC'. Пераўтварэнне плоскасці называецца косым адлюстраваннем ад прамой s.

§18. Лініі другога парадку на праектыўнай плоскасці.

На праектыўнай плоскасці зададзена праектыўная сістэма каардынат R=(A1 ,A2 ,A3

,E).

Азначэнне: Мноства Q усіх пунктаў X(x1 ,x2 ,x3), праектыўныя каардынаты якіх задавальняюць раўнанню (Х) 0 (1), дзе (Х)- квадратычная форма (аднародны мнагачлен другой ступені), называецца лініяй або крывой другога парадку.

Падлікам можна ўпэўніцца, што i (Х) аij х j .

Складзем білінейную форму такім чанам

(Х,У) i (X) yi

БДПУ імя М.Танка матэматычны факультэт кафедра алгебры і геаметрыі

(X,Y) aij x j yi =a ji yi xj j (Y)xj = (X,Y)

Такім чынам, (X,Y) (Y,X). Білінейная форма сіметрычная. Відавочна таксама, што (X,X) (X). Білінейная форма называецца палярнай адносна квадратычнай формы .

Даследуем цяпер пункты перасячэння прамой АВ з лініяй другога парадку. Няхай А(аi ) і В(bi )- два розныя пункты. Абазначым Х(хi ) – адвольны пункт

прамой АВ. Запішам параметрычныя раўнанні прамой АВ: xi аi + bi (2) 2 2 0, (i =1,2,3).

Прапарцыянальныя тройкі лікаў ( x1;x2;x3 ) вызначаюць адзін і той жа пункт ,

значэнні стасунка , каб пункт Х належыў лініі Q другога парадку. Падставім хi у

раўнанне (1’) rкрывой Q:

аij ( аi bi )( a j b j )=0

2 aij ai a j 2 aij ai b j 2 aij bi b j =0

2 (А) 2 (А,В) 2 (В) 0 (3)

Адпаведна гэтаму будуць два (розныя, супаўшыя,ці ўяўныя ) пункты перасячэння прамой АВ з лініяй Q другога парадку. Да аналагічнай высновы мы прыйдзем, калі (В) 0

Угэтым выпадку пункты А і В і толькі гэтыя пункты прамой АВ належаць крывой Q.

3)(А) (В) (А,В) 0

Раўнанне (3) з’яўляецца тоеснасцю. Таму кожны пункт прамой АВ належыць крывой Q. Значыць, АВ Q.

Возьмем праектыўны рэпеер R=(A1 ,A,B,E). Тады раўнанне прамой будзе

У такім выпадку каардынаты любога пункта М (0, х2 , х3) прамой АВ задавальняюць раўнанню лініі другога парадку. Гэта магчыма толькі тады, калі а22 =а33 =а

23 =0

(1') x1(a11 х1 2a12 х2 2a13 х3 )=0. Лінія Q другога парадку распадаецца на пару прамых х1 0 і a11 х1 2a12 х2 2a13 х3 =0. Такім чынам, мы атрымалі тэарэму:

Калі на праектыўнай плоскасці дадзены лінія другога парадку Q і прамая АВ, то магчымы два выпадкі:

1.Перасячэнне Q∩АВ – гэта два пункты (сапраўдныя розныя, супаўшыя або ўяўныя )

2.АВ Q, пры гэтым лінія Q другога парадку распадаецца на пару прамых, адной з якіх з’яўляецца прамая АВ.

§ 19. Датычная да лініі другога парадку.

аij d j хi =0 з’яўляецца тоеснасцю. Таму ў асаблівым пункце не існуе пэўнай датычнай

да лініі другога парадку.

Лінія другога парадку называецца выраджанай, калі яна мае прынамсі адзін асаблівы пункт. Пазней будзе даказана, што гэтая лінія другога парадку распадаецца на пару прамых, а асаблівы пункт –гэта пункт перасячэння гэтых крывых.

Калі ранг матрыцы || aij || роўны тром, то лінейная аднародная сістэма (5) мае

толькі нулявое рашэнне і лінія Q другога парадку не мае асаблівых пунктаў. Гэтая лінія не выраджаная.

Калі ж ранг матрыцы || aij || роўны двум, то сістэма (5) мае два незалежныя

раўнанні і вызначае пункт перасячэння дзвюх прамых і таму лінія Q мае адзін асаблівы пункт.

У выпадку, калі ранг матрыцы || aij || роўны адзінцы, то ў сістэме ёсць толькі адно незалежнае раўнанне і яно вызначае прамую асаблівых пунктаў.

Такім чынам, калі пункт А Q не асаблівы, то існуе адзіная датычная і яна мае раўнанне аij а j хi =0.