§ 6. Непрерывность обратной функции
Определение 1. Пусть f – соответствие между множествами X и Y. Множество всех пар {(y,x)| (x,y)f} называется соотвтетствием обратным для соответствия f и обозначается f –1.
Определение 2. Если соответствия f и f –1 являются функциями, то функция f называется обратимой, а f –1 –обратной для функции f .
Функции f и f –1 являются взаимно обратными, т.к. (f –1)–1= f, а отображение
f: Х Y является взаимно однозначным.
Свойства взаимно обратных функций:
D(f-1) =E(f),E(f-1) =D(f).
f –1 (f(x)) = x xD(f); f(f –1 (y)) = y yE(f).
Графики функций fиf –1–симметричны относительно прямой y=x.
Примем без док-ва следующую теорему
Теорема 1. Если функция f является взаимно однозначным отображением области определения D(f) на область значений E(f), то обратое ей соответствие f–1 – функция.
Теорема 2 (о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть функция f строго возрастает (убывает) и непрерывная на области определения D(f), являющейся промежутком. Тогда обратное соответствие f –1 является функцией возрастающей (убывающей) и непрерывной в своей области определения D(f–1) = E(f), которая также является промежутком.
Заметим, что согласно следствию из ІІ теоремы Больцано-Коши область значений непрерывной на промежутке функции E(f) = D(f –1) – промежуток.
► Доказательство проведём для возрастающей функции в 3 этапа.
1 этап. Пусть f – возрастающая, докажем, что f –1 – функция, т.е. покажем, что каждому
y D(f –1) = E(f) соответствует единственное значение х E(f –1) = D(f).
Допустим противное, что некоторому уоE(f) соответствуют два х1, х2D(f) такие, что f(x1) = yo і f(x2) = yo, но х1 ≠ х2. Пусть для определённости х1< х2. Из условия возрастания функции f следует, что f(x1) < f(x2) yo < yo, а это невозможно.
2 этап. Докажем, что f –1– возрастающая функция в области определения D(f –1) = E(f). В множествеE(f)возьмемлюбыеу1 иу2 такие, что у1<у2и покажем, чтоf –1 (у1)<f –1 (у2).
Допустим противное: f –1 (у1) f –1 (у2). Всилу возрастания функции f будем меть
f(f –1 (y1))f(f –1 (у2))у1 у2, что противоречит условию у1<у2.Это и доказывает возрастание функции f –1.
3 этап. Дакажам, што функция f –1 непрерывная на E(f).
Мы доказали, что f –1 – возрастающая на промежутке E(f) функция, множество её значений E(f-1) =D(f)по условию теоремы – промежуток. Тогда по Т.2 §4 f –1 –непрерывная функция на E(f). ◄
Пример 1. Найти функцию обратную для функции функция f (х) = 2x 4.
Решение. Функция f (х) = 2x 4 – непрерывная и возрастающая на D(f) = R. По Т. 2 существует обратная функция, которая также является непрерывной и возрастающей на Е(f) = R. Найдём формулу для функции f –1 (у), для этого выразим х = у/2 + 2,или
y = x/2 + 2 (х и у поменяли местами).
Пример 2. Найти функцию обратную для функции
(1)
и построить её график.
Решение. D(f) = R – промежуток. Перепишем функцию (1) в виде eye–y = 2x ey 1/ey = 2x e2y 2xey 1 = 0 обозначим ey = t > 0
t2– 2xt– 1 = 0(не подходит). Т. обр., – функция обратная для функции (1);D(f–1)= R.
Построим графики функций f и f –1
Рис.1 Рис.2