Элементы сферической тригонометрии

Вопросы программы:

- Определение времени и азимутов точек восхода и захода светил;

- Рефракция;

- Определение формы и размеров Земли;

- Триангуляция.

Краткое содержание:

Параллактический треугольник – это треугольник на небесной сфере, образованный пересечением небесного меридиана, вертикального круга и часового угла светила. Его вершинами являются северный полюс мира Р, зенитZи светило М.

Если светило находится в западном полушарии небесной сферы, то сторона ZР = 90⁰-, а сторона ZМ = z = 90⁰- h, где z – зенитное расстояние, h – высота светила.

Сторона РМ = р = 90⁰-, где р – полярное расстояние,- склонение светила.

Угол PZM = 180⁰- A, где А – азимут. Угол ZPM = t, гдеt– часовой круг светила, а угол PMZ = q, гдеq– параллактический угол.

Применяя основные формулы сферической тригонометрии к параллактическому треугольнику, беря за основу сторону РМ и угол t, получим:

sin  = sin  cos z - cos  sin z cos A,

cos  sin t = sin z sin A, (1)

cos  cos t = cos  cos z + sin  sin z cos A.

Эти формулы применяются для перехода от горизонтальных координат к экваториальным. Рассчитываются и t, а потом= s - t, по известному зенитному расстоянию и азимуту в момент звездного времени s.

Если нужно рассчитать зенитное расстояние и азимут по известным s, ,,, то эти формулы имеют вид:

cos z = sin sin+ coscoscos t,

sin z sin A = cos  sin t, (2)

sin z cos A = - cos  sin  + sin  cos  cos t.

Формулы (1) и (2) используются для расчета моментов времени восхода и захода светил и азимутов точек восхода и захода.

Рефракция. Видимое положение светила над горизонтом отличается от вычисленного по формулам сферической астрономии. Лучи света от небесного тела, прежде чем попасть в глаз наблюдателя, проходят сквозь атмосферу Земли и преломляются в ней, а так как плотность атмосферы увеличивается к поверхности Земли, то луч света всё более и более отклоняется в одну и ту же сторону по кривой линии, так что направление ОМ₁, по которому наблюдатель видит светило, оказывается отклонённым в сторону зенита и не совпадает с направлением ОМ₂, по которому бы он видел светило при отсутствии атмосферы.

Явление преломления световых лучей при прохождении ими земной атмосферы называется астрономической рефракцией.

Рефракция было известно уже в древности. Впервые на неё обратил внимание Клеомед, живший в Iстолетии н.э. Он заметил, что при лунном затмении, когда оно наблюдается вблизи горизонта, можно одновременно видеть Солнце и Луну. Этого не может быть, потому что при затмении Земля, Солнце и Луна выстраиваются на одной прямой линии. Долго раздумывая над этим явлением, Клеомед наконец решил, что лучи света в более глубоких слоях воздуха преломляются.

Представления о рефракции были расширены Клавдием Птолемеем. Он, в частности писал, что преломление световых лучей в воздухе подобно их искажению в воде. Также как палка, вставленная вертикально в воду, не обнаруживает "преломления", так и звезда, находящаяся в зените, будет на своём истинном месте. Светила, расположенные в другом месте небосвода должны казаться выше, чем они есть в реальности. Птолемей даже составил таблицы рефракции, которые почти соответствуют нынешним.

Рассмотрим явление рефракции подробнее.

Угол М₁ОМ₂называетсяуглом рефракцииилирефракцией.

Угол ZОМ₁называется видимым зенитным расстоянием светила z`, а угол ZОМ₂- истинным зенитным расстоянием z.

z - z` = ,

т.е. истинное зенитное расстояние светила больше видимого на величину рефракции .

Рефракция как бы приподнимает светило над горизонтом. Так как по законам оптики, луч падающий и преломлённый лежат в одной плоскости, то рефракция не изменяет азимута светила, и равна 0 если светило находится в зените.

Рефракция зависит от высоты светила над горизонтом, состояния атмосферы (температуры и давления). На линии горизонта рефракция в среднем равна 35. При давлении В мм рт. ст. и температуре t^C приближённое значение рефракции равно:

Вследствие рефракции наблюдается изменение формы дисков Солнца и Луны при их восходе или заходе. Так как верхний край диска приподнимается меньше, чем нижний, а горизонтальные размеры остаются неизменны, кажется, что светило приплюснуто.

Определение формы, размеров Земли. Земля имеет форму близкую к сферической. Об этом знали различные древние народы. В частности, многие греческие философы не имели в этом сомнения, начиная с древнейших. Уже Пифагор в VIвеке до н.э. учил, что Земля шарообразна и вращается вокруг центрального огня.

Истинные размеры Земли были известны древним халдеям и египтянам. К сожалению, до нас не дошли методы, которыми были получены эти значения. Самые ранние, из известных, измерения размеров Земли провёл Эратосфен (276—194 гг. до н. э.). Он определил, что в эпоху летнего солнцестояния зенитное расстояние Солнца в полдень в Александрии равно 7,2, в то время как в Сиене Солнце в это момент находилось точно в зените. Зная, что Сиена находится на одном меридиане с Александрией, он решил, что расстояние между этими городами и равно 7,2 окружности Земли. Это расстояние было хорошо известно в греческих стадиях, так как они лежали на оживленном торговом пути. Подставив с свои расчеты полученное значение, Эратосфен вычислил длину земной окружности равную 250 000 стадий. Отсюда следовало, что радиус Земли равен (в современных единицах) 6300 км.

Эти расчеты можно представить таким образом. Представим, что l- длина дуги меридиана, аn- ее значение в градусной мере. Тогда длина дуги 1меридианаl₀ будет равным

.

Длина всей окружности меридиана равна

, откуда получаем радиус окружности Земли

.

Значение.

Здесь ₁и₂ - географические широты городов.

Триангуляция. Большие расстояния на земной поверхности измерить очень трудно. Этому мешают неровности формы земного ландшафта. Вычисления проводятся с помощью специального метода - триангуляции, который требует измерения небольшого базиса и углов. Впервые он был применен Снеллиусом в 1615 году при измерении меридиана в Голландии.

С

Триангуляция

уть метода триангуляции заключается в следующем. По обе стороны дуги0₁0₂, длину которой необходимо определить, выбирается несколько точекA,B,C,D,E… на рас­стояниях примерно 40 км одна от другой. Точки выбираются так, чтобы из каждой были видны хотя бы две другие точки. Во всех точках устанавливаются геодезические вышки. Наверху вышки делается площадка для наблюдателя. Расстояние между двумя соседними точками, например, О₁А, выбирается на очень ровной поверхности и принимается за базис. Длину базиса измеряют очень точно с помощью мерной ленты. После этого наблюдатель на каждой вышке измеряет все углы треугольниковО₁АВ, АВС, BCD, ...Зная в первом треугольнике0₁АВвсе углы и базис, можно вычислить и две другие его сто­роны0₁ВиАВ,а зная сторонуАВи все углы треугольникаАВС,можно вычислить стороныАСиВСи т. д. Таким образом, шаг за шагом, можно вычислить длину ломаной линииO₁BDO₂.Определив из точкиO₁азимут направления стороныО₁А,нужно спроецировать ломаную линию0₁ВDО₂ на ме­ридианO₁O₂ и получить линейные размеры дугиO₁O_2.

Контрольные вопросы:

1. Что такое параллактический треугольник?

2. Как найти моменты восхода и захода светил?

3. Как найти азимуты точек восхода и захода светил?

4. Что такое рефракция?

5. Кто впервые обратил внимание на рефракцию?

6. Каковы оптические эффекты рефракции?

7. На какой высоте рефракция минимальна?

8. На какой высоте рефракция максимальна?

9. От чего зависит рефракция?

10. Влияет ли рефракция на обе экваториальные координаты светил?

11. В чем состоит суть метода Эратосфена?

12. Какие допущения позволили Эратосфену провести точные измерения размеров Земли?

13. Что такое триангуляция?

14. Кто впервые применил триангуляцию?

15. В каких случаях используется триангуляция?

16. В чем состоит суть метода триангуляции?

Задачи:

1. На сколько суток рефракция увеличивает продолжительность полярного дня на Северном полюсе Земли? Рефракция у горизонта равна 35.

Ответ: На 4 суток.

2. Полуночная высота нижнего края Солнца по измерению с ледокола была 14º11´5″. Склонение Солнца в этот день +21º19´34″, угловой радиус Солнца 15´47″. Определить, с учетом рефракции, широту, на которой находилось судно.

Ответ: 83º03´32″

3. Доказать, что в течение суток предельные значения азимута звезды, имеющей склонение δ, большее широты места наблюдения, определяются формулой:

sinA= ±.

Литература:

1. Астрономический календарь. Постоянная часть. М. Наука. 1981.

2. Кононович Э.В., Мороз В.И. Курс общей астрономии. М., Эдиториал УРСС, 2004.

3. Шимбалев А.А. Атлас созвездий. Минск. Харвест. 2003.

Тема №3

Основы космонавтики

Вопросы программы:

- Элементы эллиптических орбит.

- Эфемериды небесных тел.

- Алгоритм рассчета эфемерид Солнца, Луны и планет.

- Космические скорости.

- Ограниченная задача трех тел.

Краткое содержание:

Элементы эллиптических орбит.

Движение планеты будет определено, если известны:

- плоскость, в которой лежит её орбита,

- размеры и форма орбиты,

- ориентировка в плоскости,

- момент времени, в который планета находится в определённой точке орбиты.

Величины, определяющие орбиту планеты, называются элементами орбиты. Плоскость эклиптики является основной плоскостью, относительно которой определяется положение орбиты. Две точки, в которых орбита планеты пересекается с плоскостью эклиптики, называютсяузлами - восходящим и нисходящим.Восходящий узел- тот, в котором планета пересекает эклиптику, удаляясь от её южного полюса.

Эллиптическую орбиту планеты определяют 6 элементов:

1

Элементы эллиптических орбит

.Наклонениеiплоскости орбиты к плоскости эклиптики. Может иметь значения от 0º до 180º. Если 0ºi< 90º, то планета движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля (прямое движение). Если 90º >i >180º, то планета движется в противоположном направлении (обратное движение).

2. Долгота (гелиоцентрическая) восходящего узла, т.е. угол между направлениями из центра Солнца на восходящий узели на точку весеннего равноденствия. Долгота может иметь значения от 0º до 360º.

Долгота восходящего узла и наклонение определяют положение плоскости орбиты в пространстве.

3. Угловое расстояние перигелия от узла, т.е. угол между направлениями из центра Солнца на восходящий узел и на перигелий П. Отсчитывается в плоскости орбиты планеты в направлении её движения и может иметь любые значения от 0º до 360º.

Угловое расстояние определяет положение орбиты в её плоскости.

4. Большая полуось а эллиптической орбиты, которая однозначно определяет сидерический период обращения Т планеты. Среднее суточное движениеn=, т.е. средняя угловая скорость планеты в сутки.

5. Эксцентриситет орбиты е=, (1)

где аиb- полуоси эллиптической орбиты. Большая полуосьа иеопределяют размеры и форму орбиты.

6.Момент прохождения через перигелийt₀, или положение планеты на орбите в какой-то определённый момент времениt.

Зная момент прохождения через перигелий t₀ и другие элементы орбиты, можно определить положение планеты в плоскости её орбиты для любого момента времениt.

Положение планеты на орбите определяется двумя величинами: радиус-вектором иистинной аномалией. Истинной аномалией планеты называется угол ПСР между направлением из Солнца на перигелий П и радиусом-вектором планеты Р.

r=, (2)

, (3)

где Е = <ПОN и называется эксцентрической аномалией.

Эксцентрическая аномалия вычисляется из уравнения Кеплера

М = Е-еsinE, (4)

где М - угол, называемый средней аномалией. Средняя аномалия представляет собой дугу круга, которую бы описала планета за время (t-t₀), если бы двигалась равномерно по окружности радиуса а со средней угловой скоростьюn.

М = n(t-t₀) =. (5)