Задание №4. Решение задачи линейного программирования графическим методом

1. Пусть количество выпускаемой продукции первого вида будет х₁, а второй – х₂, тогда прибыль от реализации продукции равна F=16x₁+14x₂→max.

Виды сырья	Виды продукции		Запасы
	А	Б
1	9	3	230
2	6	12	210
3	8	8	230
Прибыль	16	14

Условия:

9x₁+3x₂≤230;

6x₁+12x₂≤210;

8x₁+8x₂≤230;

x₁,x₂≥0.

2. Неравенства заменяются на равенства.х₁=х, х₂=y:

9x+3y=230; у=76,6-3х;

6x+12y=210; у=17,5-0,5х;

8x+8y=230; у=28,7-х

x,y=0.

3. Строим линии ограничений

4. Каждая построенная прямая делит плоскость на 2 полуплоскости. Выбирается нужная.

5. Пересечение всех полуплоскостей будет ОДЗ – выпуклый многоугольник ОАВСD.

6. Строим направляющий вектор =(0,0), (16,14).

7. Строим перпендикуляр через начало координат к направляющему вектору и перемещаем построенную прямую вдоль вектора до тех пор, пока прямая не коснётся последней вершины выпуклого многоугольника в точке C, образованной пересечением прямых 8х+8у=230 и 9х+3у=230. Эта вершина является точкой оптимума.

8. Находим координаты оптимума – пересечения прямых8х+8у=230 и 9х+3у=230.

76,6-3х=28,7-х

2х=47,9;

х=23,9≈23;

у=(230-9*23)/3=7,6≈7.

9. Находим значение целевой функции в точке оптимума.

F=16*23+14*7=466

Координаты точки оптимума будут планом производства, а значение целевой функции – прибылью. Для получения максимальной прибыли (466 денежных единиц) следует производить 23 единицы продукции третьего вида и 7 единиц продукции первого вида.

Задание №5. Решение задачи линейного программирования симплексным методом

1. Пусть количество выпускаемой продукции первого вида будет х₁, а второй – х₂, тогда прибыль от реализации продукции равна F=12x₁+10x₂→max.

Виды сырья	Виды продукции		Запасы
	А	Б
1	9	3	230
2	6	12	210
3	8	8	230
Прибыль	16	14

Условия:

9x₁+3x₂≤230;

6x₁+12x₂≤210;

8x₁+8x₂≤230;

x₁,x₂≥0.

2. Неравенства заменяются на равенства. Вводятся дополнительные переменные.

9x₁+3x₂+х₃=230;

6x₁+12x₂+х₄=210;

8x₁+8x₂+х₅=230.

3. Строится исходная симплекс-таблица

Базисное решение	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
х3	230	9	3	1	0	0
х4	210	6	12	0	1	0
х5	230	8	8	0	0	1
Оценка коэфф. ЦФ	0	16	14	0	0	0

4. Переход к новому базисному решению. Определение генерального столбца – по максимальному положительному значению коэффициента целевой функции.

Базисное решение	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
х3	230	9	3	1	0	0
х4	210	6	12	0	1	0
х5	230	8	8	0	0	1
Оценка коэфф. ЦФ	0	16	14	0	0	0

max(16,14)=16

5. Определение генеральной строки – все свободные члены делятся на соответствующие элементы генерального столбца. Из полученных результатов выбирается наименьший и данная строка является генеральной. На пересечении генерального столбца и генеральной строки находится генеральный элемент.

Базисное решение	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
х3	230/9	9	3	1	0	0
х4	210/6	6	12	0	1	0
х5	230/8	8	8	0	0	1
Оценка коэфф. ЦФ	0	16	14	0	0	0

230/9=25,5;

210/6=35;

230/8=28,75;

Min(25,5;35;28,75)=25,5.

6. Определение новой строки. Все элементы генеральной строки делятся на генеральный элемент.

Базисное решение	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
Х1	25,5	1	0,3	0,1	0	0
Х4
х5
Оценка коэфф. ЦФ

230/9=25,5;

9/9=1;

3/9=0,3;

1/9=0,1;

0/9=0;

0/9=0.

7. Все строки, кроме вновь полученной преобразуются следующим образом: из элементов старой строки вычитается произведение полученных элементов новой строки на соответствующий элемент генерального столбца.

Базисное решение	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
Х1	25,5	1	0,3	0,1	0	0
Х4	57	0	10,2	-0,6	1	0
х5	26	0	5,6	-0,7	0	1
Оценка коэфф. ЦФ	408	0	9,2	-1,6	0	0

Для второй строки:

210-25,5*6=57;

6-1*6=0;

12-0,3*6=10,2;

0-0,1*6=-0,6;

1-0*6=1;

0-0*6=0.

Для третьей строки:

230-25,5*8=26;

8-1*8=0;

8-0,3*8=5,6;

0-0,1*8=-0,7;

0-0*8=0;

1-0*8=1.

Для последней строки:

16-1*16=0;

14-0,3*16=9,2;

0-0,1*16=-1,6;

0-0*16=0;

0-0*16=0.

х₁=25,5, х₄=57, х₅=26.

F=16*25,5+14*0+0*0+0*57+0*26=408

8. Проверка базисного решения на оптимальность. Одна оценка коэффициентов целевой функции больше нуля, базисное решение не оптимально и должно быть улучшено.

Базисное решение	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
х3	25,5	1	0,3	0,1	0	0
Х4	57	0	10,2	-0,6	1	0
х5	26	0	5,6	-0,7	0	1
Оценка коэфф. ЦФ	408	0	9,2	-1,6	0	0

9. Переход к новому базисному решению. Определение генерального столбца – по максимальному положительному значению коэффициента целевой функции.

max(-112;9,2;-1,6)=9,2.

10. Определение генеральной строки – все свободные члены делятся на соответствующие элементы генерального столбца. Из полученных результатов выбирается наименьший и данная строка является генеральной. На пересечении генерального столбца и генеральной строки находится генеральный элемент.

Базисное решение	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
х3	25,5/0,3	1	0,3	0,1	0	0
Х4	57/10,2	0	10,2	-0,6	1	0
х5	26/5,6	0	5,6	-0,7	0	1
Оценка коэфф. ЦФ	373	0	9,2	-1,6	0	0

25,5/0,3=85;

57/10,2=5,59;

26/5,6=4,64;

min(85;5,59;4,64)=4,64.

11. Определение новой строки. Все элементы генеральной строки делятся на генеральный элемент.

Базисное решение	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
Х1
Х4
Х2	4,64	0	1	-0,12	0	0,17
Оценка коэфф. ЦФ

26/5,6=4,64;

0/5,6=0;

5,6/5,6=1;

-0,7/5,6=-0,12;

0/5,6=0;

1/5,6=0,17.

12. Все строки, кроме вновь полученной преобразуются следующим образом: из элементов старой строки вычитается произведение полученных элементов новой строки на соответствующий элемент генерального столбца.

Базисное решение	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5
Х1	24,1	1	0	0,13	0	-0,05
Х4	9,67	0	0	0,62	1	-1,77
Х2	4,64	0	1	-0,12	0	0,17
Оценка коэфф. ЦФ		0	0	-0,5	0	-1,56

Для первой строки:

25,5-4,64*0,3=24,1

1-0*0,3=1

0,3-1*0,3=0

0,1-(-0,12)*0,3=0,13

0-0*0,3=0

0-0,17*0,3=-0,05

Для второй строки:

57-4,64*10,2=9,67

0-0*10,2=0

10,2-1*10,2=0

-0,6-(-0,12)*10,2=0,62

1-0*10,2=1

0-0,17*10,2=-1,73

Для последней строки:

0-0*9,2=0

9,2-1*9,2=0

-1,6-(-0,12)*9,2=-0,5

0-0*9,2=0

0-0,17*9,2=-1,56

Х₁=24,1, х₄=9,67, х₂=4,64.

F=24,1*16+4,64*14+0*0+9,67*0+0*0=450,56

Ответ: Необходимо выполнить первого вида продукции 24 штук, 2-ого вида продукции 4 штук, при этом прибыль будет максимальной и будет = 450 денежные единицы.