§ 13. Уравнение прямой в пространстве

1°. Уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.

В предыдущем параграфе было указано, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Поэтому в произвольной аффинной системе координат уравнение прямой можно представить в следующем виде:

(1)

Условие не параллельности плоскостей иравносильно

(2)

Тогда система (1) при условии (2) представляет собой систему линейно независимых уравнений, которая совместна и имеет общее решение следующего вида:

, (3)

где - частное решение (1),- фундаментальная система решений соответствующей СЛОУ. Геометрически (3) означает, что т., и т. получается прибавлением к радиус-вектору т.некоторого вектора, коллинеарного вектору

Таким образом,, по аналогии с прямыми на плоскости, являетсянаправляющим вектором прямой.

Система уравнений (1), удовлетворяющая условию (2), называется общим уравнением прямой в пространстве.

Уравнение (3) называется векторно-параметрическим уравнением прямой в пространстве. Его можно переписать в виде:

, (3')

где - радиус-вектор т.,- направляющий вектор.

Также уравнение (3) можно переписать в виде

(4)

- координатное параметрическое уравнение прямой в пространстве.

Если исключить из (4) параметр t, то получим:

(5)

- каноническое уравнение прямой в пространстве. Здесь (5) необходимо понимать как пропорцию.

Пример. Если , значит прямая лежит в плоскости.

Если иравны нулю, то прямая лежит в плоскостяхи, что означает есть линия пересечения этих плоскостей, т.е. прямая, параллельная оси.

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и, то векторможно рассматривать как направляющий вектор, и в силу (5), уравнение такой прямой имеет вид

(6)

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Замечание. Каждая прямая может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей. Отметим, что уравнение прямой (5) можно рассматривать как пересечение двух плоскостей, каждая из которых определяет плоскость параллельную одной из координатных осей.

Утверждение 1. Если прямая l задана как пересечение двух плоскостей системой (1), то вектор

(7)

является направляющим вектором l.

Доказательство.

Отметим, что в силу условия (2) вектор , определенный по формуле (7), должен быть отличен от нулевого. Рассмотрим определитель следующего вида :

,

и разложим его по первой строке:

,

откуда в силу утверждения 1 из предыдущего параграфа, следует, что параллелен плоскостями параллелен и их пересечению значит является направляющим вектором прямой пересечения, ч.т.д.∎

Замечание. Если уравнение прямой рассматривается в прямоугольной декартовой системе координат, то вектора

являются векторами нормали для плоскостей и. В этом случае вектор

можно рассматривать в качестве направляющего вектора искомой прямой, а его координаты вычисляются по формулам (7).

2°. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Будем рассматривать прямые , заданные каноническими уравнениями:

(8)

(9)

Прямые либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.

Для изучения взаимного расположения прямых вводят 3 основных вектора:

В случае, если прямые параллельны или пересекаются, то существует плоскость, содержащая эти прямые. Поэтому выполняется условие:

. (10)

Если прямые скрещиваются, то условие (10) не выполняется, т.е. справедливо

Утверждение 2. Прямые скрещиваются .

Утверждение 3. Прямые параллельны векторы иколлинеарные. Более того, если прямыеисовпадают, то векторколлинеарен векторами, и не коллинеарен им – если прямые не совпадают.

3. Решение некоторых задач о прямой и плоскости в пространстве (расстояние между скрещивающимися прямыми, перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым).

Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.

Е

сли, то возникает задача нахождения расстояния между ними:

Рис.7.

Плоскость, содержащая параллельные прямые имеет вектор нормали .

Чтобы построить перпендикуляр строим плоскость , содержащие эти прямые и плоскость,???

Если прямые пересекаются, то плоскость, содержащая эти прямые в качестве вектора нормали имеет .

Если две прямые скрещиваются, то .

Кроме того, чтобы построить вектор нормали этих плоскостей, найдем . Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между скрещенными прямыми. Другой способ нахождения расстояния между скрещенными прямыми: найти высоту параллелепипеда , построенного на векторахесли в качестве основания брать параллелограмм, построенный на векторах: .