2. Оптимальные системы управления

Оптимальное управление применяют как в технических системах для повышения эффективности производственных процессов, так и в системах организационного управления для совершенствования деятельности предприятий, организаций, фирм и отраслей народного хозяйства.

В организационных системах обычно интересуются конечным, установившимся результатом управления, не исследуя эффективность во время переходного процесса между подачей команды для управления и получением окончательного результата. Объясняется это тем, что в таких системах установившейся режим значительно более длителен, чем переходной процесс, и потери в переходном режиме несущественно влияют на величину выигрыша в установившемся режиме. Методы оптимизации конечных состояний сводятся к поиску минимума аналитических функции при различных ограничениях, которые мы рассматривали в предыдущих лабораторных занятиях.

В управлении динамическими техническими системами оптимизация существенна именно для переходных процессов, в которых показатель эффективности зависит не только от текущих значений координат, но и от характера изменения в прошлом, настоящем и будущем, и выражается некоторым функционалом от координат, их производных и времени. Проблемы управления в такой постановке решаются методами теории оптимальных систем управления.

Наиболее известны три метода решения задач оптимального управления: метод классического вариационного управления, принцип максимума Понтрягина, метод динамического программирования Беллмана.

2.1 Метод множителей Лагранжа

Два первых метода основаны на простейшей задаче вариационного исчисления: найти экстремум функционала

(3.1)

Функция, которая доставляет экстремум функционалу, должна удовлетворять уравнению Эйлера

(3.2)

В том случае, когда функция является функцией многих переменных f(y₁,y₂, …,y_n,t), то вместо одного уравнения (3.2) получится система дифференциальных уравнений, которые имеют вид (3.2) для каждой из переменных.

Рассмотрим задачу оптимального управления:

(3.3)

( 3.4)

(3.5)

(3.6)

где уравнения (3.3) – уравнения объекта управления, (3.4) – ограничения на аргументы x и u функционала J, (3.5) – граничные условия, (3.6) – критерий оптимальности. Эта задача оптимального управления называется задачей Лагранжа с закрепленными концами и фиксированным временем.

Составляется функция Лагранжа

(3.7)

где _i – функции времени, _k , ₀ – постоянные, которые называются множителями Лагранжа. Прием Лагранжа состоит в том, что задача (3.3) – (3.6) преобразуется в простейшую задачу вариационного исчисления для интегрального выражения

(3.8)

В преобразованной задаче роль независимого аргумента играет вектор y = (x, u, , ), а роль подынтегральной функции – функция Лагранжа. Тогда по аналогии с простейшей задачей вариационного исчисления, с учетом того, что в функцию Лагранжа не входит производные функций u, , , уравнения Эйлера-Лагранжа принимают вид

(3.9)

Уравнения Эйлера-Лагранжа записывают, также используя Гамильтона

(3.10)

Тогда функция Лагранжа имеет вид

(3.10)

и из уравнений (3.9) с учетом функции Гамильтона получаем

(3.11)

(3.12)

Правило множителей Лагранжа: если допустимая пара (u(t), x(t)) является решением задачи оптимального управления (3.3) - (3.6), то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа (3.11).

Согласно этому правилу, чтобы найти оптимальное управление и оптимальную траекторию, надо решить совместно уравнения (3.3), (3.4), (3.11), (3.12) при краевых условиях (3.5). Для определения 2n+r+l неизвестных x_i (i = 1,2, … , n), _i (i = 1,2, …, n), u_j (j = 1,2, …, r), _k (k = 1,2, …, l) имеется столько же уравнений. Среди них имеются 2n дифференциальных уравнений (3.3) и (3.11), при решении которых можно использовать 2n краевых условия (3.5). Уравнения (3.4) и (3.12) являются функциональными. При решении практических задач вызывают трудности решение дифференциальных уравнений с краевыми условиями. В системе MATLAB можно получить аналитическое решение линейных стационарных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство существенно облегчает задачу синтеза оптимальных алгоритмов управления линейных стационарных систем.

Множители Лагранжа входят в уравнения Эйлера-Лагранжа линейно и однородно. Поэтому они определяются с точностью до постоянного множителя. Поэтому один из множителей Лагранжа можно приравнять числу, отличному от нуля. Условились в неособом случае (₀  0) принимать ₀ = -1.

Применяя метод множителей Лагранжа, определяют управление как функции времени, т.е. проводится синтез алгоритма разомкнутого управления.

Во многих прикладных задачах на управление накладывается ограничение типа неравенства. Часто оптимальное управление в таких задачах имеет разрыв. Метод множителей Лагранжа не позволяет определить число и местоположение точек разрыва, и поэтому в этих случаях он не позволяет находить оптимальное управление. Такие задачи эффективно решаются с помощью максимума Понтрягина, сформулированный академиком Л.С. Понтрягиным в 1953 году.