Наибольшее наименьшее значения функции в области

Пусть функция непрерывна в замкнутой области. Тогда по свойству функций, непрерывных в замкнутой области, она достигает в этой области своего наимень­шего m и наибольшего М значений. Чтобы найти эти значения, нужно:

1.найти критические точки функции и вычислить значение функции в этих точках;

2.найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах;

3.среди найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²+y² -ху+х+y в области, заданной неравенством:

1.Находим критические точки: +(-1,1) z(-l,-l)=-l.

2.Исследуем на границе:

а)АО: x. Уравнение границы: у=0. Линия пересечения у=0 с поверхностью z=x²+у²-ху+х+у имеет вид: z=x²+х (подстановка в уравнение y=0). Задача сводится к отысканию наибольшего, наименьшего значения функции z от -3 до 0 . z (-3)=6;

z (0)=0;

z'=2x+1; 2x+1=0;

б) OB: x=0; y [-3;0]

Линия пересечения: z=y² +у.

z (-3)=0;

z (0)=6;

в)АВ: уравнение: х+у=-3; у=-х-3

Линия пересечения: z=x²+(-x-3)²-х(-х-3)+х-х-3; z=3х²+9х+6; х[-3;0].

z(0)=6; z'=6x+9; 6х+9=0; x=-

z(-3)=6;

3. Среди найденых значений z выбираем наибольшее и наименьшее: m=-1, М=6.

Условный экстремум

Требуется найти экстремум функции z=f(x,y), при условии, что х и у связаны соотношением:. Такой экстремум называется условным.

Равенство задаёт y как функцию от х неявно. Если бы удалось выразить y через х и подставить в функцию z = f(x,y), то z была бы функцией от одной переменной х. Поэтому в точках экстремума.

Найдём (по правилу дифференцирования сложной функции):.T.к., тo (l).

Продифференцируем функцию по правилу дифференцирования сложной функции: (2).

Равенство (2) умножим на некоторое число, сложим с равенством (1). Получим:.

Раскроем скобки:.

Подберём таким образом, чтобы выражение.

Тогда . Добавим уравне­ние (х,y)=0 и получим систему, которая позволяет найти х, у,, в которых необходимым условием условного экстремума являются:.

Для облегчения написания этих условий вводится функция Лагранжа:.

Найдём:

Достаточное условие

Составляется дифференциал: d² F=.

Если , то (x₀,y₀,₀) - точка условного максимума,

, то- точка условного минимума.

Или в следующем виде:

составляется другой вид достаточного условия.

Если , то точка - точка условного максимума, , то точка - точка условного

минимума.

Пример. Найти экстремум функции: z=6-4x-3y при условии, что х²+у²=1 (т.к. лежат на окружности)

x²+y²-l=0;f(x,y)=z=6-4x-3y;F(x,y, )=6-4х-3у+( х²+у² -1);

1)

2)

Найдём:

- точка условного максимума;

- точка условного минимума.

1