razdel4UMK

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x→0ctg x =

= e1 0 =1.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

ПРИМЕР

1.22.

lim

ex −e−x − 2x

= lim

(ex −e−x − 2x)′

x −sin x

(x −sin x)′

x→0

= lim

+ e−x − 2

= lim

(ex + e−x − 2)′

ex −e−x

(1−cos x)′

= lim

−cos x

sin x

x→0

→0

x→0

= lim

(ex

−e−x )′

= lim

ex + e−x

= 2 .

Здесь три раза пришлось приме-

(sin x)′

cos x

x→0

нить правило Лопиталя.

раскрытие неопределенностей вида

∞

Теорема 1.10.

∞

Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрест-

ности точки x0 (кроме, быть может, точки

x0 )

и пусть в этой окрестности

lim f (x)= lim g(x)= ∞,

′

Тогда,

если существует предел

ϕ (x)≠ 0 .

x→x0

f ′(x)

x→x0

f (x)

lim

, то существует предел

lim

g(x)

x→x0

g′(x)

x→x0

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

(1.26)

g(x)

g′(x)

x→x0

Замечание. Теорема остается в силе и в случае, когда x → ∞. Замечание. Равенство (1.26) справедливо только в том случае, если пре-

дел, стоящий справа (конечный или бесконечный), существует. Может случиться, что предел, стоящий слева, существует, в то время как предел справа не существует.

tg x

∞

ПРИМЕР 1.23. lim

= lim

cos2 x

∞

x→π tg 3x

x→π

cos2 3x

= lim

6 cos3x sin 3x

= lim

cos3x

lim

sin 3x

x→π 3

2 cos x sin x

x→π

cos x

x→π sin x

= lim

3sin 3x

lim

sin 3x

= −3

−1 = 3.

sin x

x→π

x→π sin x

= lim cos2 3x = x→π2 3cos2 x

ПРИМЕР 1.24.

lim

x n

lim

n x n−1

= lim

n(n −1)x n−2

=K=

n(n −1)K1

x→+∞ ex

x→+∞

= lim

= 0 .

x→+∞

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида

∞ . Но на практике

встречаются

неопределенности

вида 0 ∞,

∞

∞ −∞, 1∞ , ∞0 , 00 . Эти неопределенности путем элементарных преобразова-

ний можно свести к неопределенностям вида

или

∞ .

∞

1. Неопределенность

0 ∞

. Пусть f (x)→ 0, g(x)→ ∞ при x → x0 .

Тогда

lim f (x) g(x)=

0 ∞

= lim

f (x)

x→x0

x→x0 1

g(x)

или

lim

g(x)

∞

x→x0

(x)

ПРИМЕР

1.25.

lim tg

πx

(2 − x)=

∞ 0

(2 − x)′

x→2

= lim

−1

′

x→2

−

2 πx

ctg

sin

= lim	2 − x		=	0	=
	2 − x			0
		πx		0
x→2	ctg	πx		0

		4

2. Неопределенность ∞ −∞ . Пусть f (x)→ ∞, g(x)→ ∞ при x → x0 .

Тогда

−

lim (f (x)−g(x))=

∞ −∞

= lim

−

lim

g(x)

f (x)

x→x0

f (x)

g(x)

f (x)

g(x)

1 − x

ПРИМЕР 1.26. lim

−

∞ −∞

= lim

(1 − x)′

x→1 ln x ln x

x→1 ln x

= lim

−1 = lim(− x)= −1.

x→1

(ln x)′

x→1

1∞

0 0

∞0

. Пусть f (x)→1 и g(x)→ ∞ при

3. Неопределенности

x → x0 , или f (x)→ 0 и g(x)→ 0 при x → x0 ,

или f (x)→ ∞ и g(x)→ 0 при x → x0 .

Необходимо вычислить lim (f (x))g(x ). Используя основное логарифми-

ческое тождество, получим

x→x0

lim

g(x )ln f (x )

lim [f (x)]g(x )

= lim eg(x )ln f (x )

= ex→x0

x→x0

1 tg x

∞0

= lim x −tg x =

ПРИМЕР 1.27. lim

x→0

= lim e−tg x ln x
x→0
	− lim	(ln x )′
		(ctg x )′
= e	x→0

− lim tg x ln x
= e x→0			=	0	∞	=
lim	sin2 x		lim		sin x		sin
	x				x
= ex→0		= ex→0

1.16. МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ (ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ)

Теорема 1.11. (необходимые условия)

Если дифференцируемая в интервале (a, b) функция y = f (x) возрастает

′	′
(убывает), то f (x)≥ 0	(f (x)≤ 0) для x (a, b).
Доказательство.	Пусть	функция	f (x) возрастает в интервале (a, b).
Возьмем произвольные точки		x и x +	x (a, b) и рассмотрим отношение

y	=	f (x +		x)−f (x)	. Так как		функция	возрастает,	то при	x > 0
x				x
						x < 0, то f (x +		x)< f (x). В обоих случаях чис-
f (x +			x)> f (x), если же
литель			и	знаменатель		дроби	имеют	одинаковые	знаки,	поэтому
y	=	f (x +		x)−f (x)	> 0. По условию теоремы функция f (x) имеет произ-
x				x

водную и, следовательно,

0	x
	Рис. 1.10

′	y		f (x + x)−f (x)
f (x)= lim		= = lim		≥ 0 .
	x		x
x→0		x→0

Аналогично рассматривается случай, когда функция f (x) убывает в ин-

тервале (a, b).

Геометрически теорема 1.10 означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы с положительным направлением оси

0x или в некоторых точках параллельны оси 0x (рис. 1.10).
Теорема 1.12 (достаточные условия). Если функция y = f (x) диффе-
ренцируема в интервале (a, b)	′	′
	и f (x)>	0 (f (x)< 0) для x (a, b), то эта
функция возрастает (убывает) в интервале (a, b).
Доказательство. Пусть	′	x (a, b). Возьмем произвольные
	f (x)> 0
точки x1 и x 2 (a, b), причем x1 < x 2 . Применим к отрезку [x1, x 2			] теорему
Лагранжа: f (x 2 )−f (x1 )= f (c)(x 2 − x1 ), где c (x1, x 2 ). По			условию
′		f (x 2 )−f (x1 )> 0 или f (x 2 )> f (x1 ),
′
f (c)> 0 и x 2 − x1 > 0 , следовательно,
то есть функция f (x) возрастает в интервале (a, b).

В случае f ′(x)< 0 утверждение теоремы доказывается аналогично.

	ПРИМЕР 1.27.						Определить интервалы		монотонности	функции
y =	1	x	3	+ x	2	−3x .

	3
	3
	Решение: Найдем y′ = x 2 + 2x −3. Функция возрастает для всех значе-
ний	x ,		для которых				y′ > 0.	Решая неравенство	x 2 + 2x −3 > 0 ,	получим
x (−∞;−3)U(1;∞).
	Аналогично, решая							неравенство y′ = x 2 + 2x −3 < 0,		получим

x (−3;1).

Следовательно, функция возрастает в промежутках (−∞;−3) и (1;∞) и убывает в интервале (−3;1).

1.17. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9. Точка x0 называется точкой максимума функции y = f (x), если существует δ− окрестность точки x0 , такая, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x)< f (x0 )

Аналогично в точке x0 функция y = f (x) имеет минимум, если существует δ− окрестность этой точки, такая, что для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется неравенство f (x)> f (x0 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10. Значение функции в точке максимума (миниму-

ма) называют максимумом (минимумом) функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11. Максимум и минимум функции называют экстремумами функции.

Теорема 1.13 (необходимое условие экстремума). Если дифференци-
руемая функция y = f (x) в точке x0 имеет экстремум, то ее производная в
этой точке равна нулю, то есть f ′(x0 )= 0.
Доказательство. Пусть для определенности, в точке x0 функция имеет
максимум. Значит,			в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенст-
во f (x0 +	x)< f (x0 ). Тогда
y	=	f (x0 +	x)−f (x0 )	< 0, если	x > 0 и
x			x

y	=	f (x0 +	x)−f (x0 )	> 0, если	x < 0.
x			x

По условию производная f ′(x0 ) существует, следовательно,

переходя в

этих неравенствах к пределу при

x → 0, получим f−′ (x0 )≥ 0, если x < 0

и f+′ (x0 )≤ 0 , если

x > 0 . Поэтому из условия

f−′ (x0 )= f+′ (x0 )= f ′(x0 ) следует, что f (x0 )= 0.

Геометрически

равенство

f ′(x0 )= 0 означает,

что в точке экстре-

мума дифференцируемой функции каса-

тельная к ее графику параллельна оси 0x

(рис. 1.11).

f ′(x0 )= 0

Отметим, что

условие

является лишь необходимым, но не дос-

таточным условием

существования экс-

Рис. 1.11

тремума. Например, для функции y = x3

ее

произ-

водная y′ = 3x 2 равна

y = x3

нулю при x = 0, но x = 0 не является

точкой экстремума (рис. 1.12).

Существуют функции, которые в точ-

ках экстремума не имеют производной. На-

пример, функция y =

в точке x = 0 про-

изводной не имеет, однако

x = 0 −

точка

Рис. 1.12

минимума (рис. 1.13).

x0 −

Следовательно,

если

точка

экстремума функции y = f (x), то либо f ′(x0 )= 0, либо f ′(x0 )не существует. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12. Точки, в которых производная f ′(x) равна нулю

или не существует, называются критическими точками функции.

Теорема 1.14 (достаточное условие экс-

yтремума). Если функция y = f (x) дифферен-

цируема в некоторой окрестности критической точки x0 (кроме, быть может, самой точки x0 )

0	x	и при переходе аргумента x через нее слева
		′
		направо производная f (x) меняет знак с плю-
		са на минус, то x0 − точка максимума;	если
Рис. 1.13		′	x0 −
Рис. 1.13		f (x) меняет знак с минуса на плюс, то	x0 −
		точка минимума.
		точка минимума.

Доказательство. Пусть x0 − критиче-

ская точка и пусть производная f ′(x) меняет знак с «+» на «–», то есть слева от

точки x0 f ′(x)> 0 , а справа f ′(x)< 0. Из теоремы 1.11 следует, что в интер-
вале (x0 − x; x0 ),	где x > 0 , функция f (x) возрастает и убывает для зна-
чений x (x0 ; x0 +	x). А это означает, что x0 − точка максимума.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Из теорем 1.12 и 1.13 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:

1.найти критические точки функции y = f (x);

2.выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3.исследовать знак производной f ′(x) слева и справа от каждой из вы-

бранных критических точек.

ПРИМЕР 1.28. Найти экстремумы функции y = 3x 4 − 4x3 +5.

	Решение. Очевидно, что D(y)= R . Находим
	y′ =12x3 −12x 2		=12x 2 (x −1). Определим критические точки:
12x 2 (x −1)= 0 x1 = 0, x 2 =1.					Эти критические точки разбивают всю
область определения функции на интервале (−∞;0), (0;1) и (1;+∞). Получен-
ные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:

	x	(−∞;0)		0	(0;1)	1	(1;+∞)
	y′	-		0	-	0	+
	y			нет экстр.		min

	Из таблицы видно, что в точке				x = 0 нет экстремума, а		x =1 − точка

минимума. Минимум этой функции равен ymin = y(1)= 4 .

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной.


Теорема 1.15. Пусть в точке x0 первая производная функции равна нулю
f ′(x0 )= 0,	а вторая производная существует и отлична от нуля f ′′(x0 )≠ 0.
Тогда, если	f ′′(x0 )< 0 в		точке x0	функция		имеет	максимум и если
f ′′(x0 )> 0 − в точке x0 функция имеет минимум.
Доказательство. Пусть для определенности f ′′(x0 )> 0. Тогда по опре-
делению второй производной имеем
f ′′(x0 )= lim		f ′(x0 +	x)−f ′(x0 )	= lim	f ′(x0 +		x)−0	;
			x
	x→0			x→0		x

f ′′(x0 )=	lim	f ′(x0	+ x)	> 0	f ′(x	0 + x)		> 0 в достаточно малой окре-
			x			x
	x→0							x < 0 f ′(x0 + x)< 0 и, если
стности точки x0 . Отсюда следует, что при
x > 0 ,	то f ′(x0 +		x)> 0. Таким образом,				при переходе x через точку x0

первая производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, по теореме 1.13 x0 − точка минимума.

Аналогично доказывается, что если f ′(x0 )< 0 , то в точке x0 функция имеет максимум.

1.18. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [a, b],

либо на границе отрезка.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b]необходимо:

1)найти критические точки функции в интервале (a, b);

2)вычислить значения функции в найденных критических точках;

3)вычислить значения функции на концах отрезка, то есть при x = a и

x= b ;

4)из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

ПРИМЕР 1.29. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y = 2x3 −9x2 +12x −8 на отрезке [0;3].
Находим критические точки: y′ = 6x 2 −18x +12
6x 2 −18x +12 = 0 x1 =1, x 2	= 2. Эти точки лежат внутри
отрезка [0;3]; y(1)= −3, y(2)= −4; y(0)= −8,	y(3)=1;

yнаиб. =1 в точке x = 3 и yнаим. = −8 в точке x = 0.

1.19. ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13. График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым (или вогнутым вверх) в интервале (a, b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14. График функции y = f (x) называется вогнутым (или выпуклым вниз) в интервале (a, b), если он расположен выше любой ее

касательной на этом интервале.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

1.15.

Точка

графика

непрерывной

функции

y = f (x),

отделяющая

его выпуклую часть от вогнутой

части, называется точкой пере-

гиба (рис. 1.14). В интервале (a, c)

кривая

y = f (x)

выпукла,

интервале (c, b)− вогнута; точка

M(c, f (c))− точка перегиба.

Теорема 1.16. Если функция

Рис. 1.14

y = f (x)

во всех точках интервала

(a, b)

имеет

отрицательную

вто-

рую

производную,

то

есть

yкас

′′

x (a, b),

то график

y = f (x)

f (x)< 0

функции в этом интервале выпук-

лый. Если f

′′

x (a, b),

(x)> 0

то график функции вогнутый.

Доказательство.

Пусть

′′

x (a, b).

Возьмем

f (x)< 0

на графике функции произволь-

ную

точку

абсциссой

x0 (a, b) и проведем через

Рис. 1.15

касательную (рис. 1.15). Покажем,

что график

функции

расположен

ниже этой касательной. Для этого сравним в точке x (a, b)

ординату y кри-

вой y = f (x) с ординатой yкас ее касательной.
Уравнение касательной имеет вид yкас = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ). Тогда
y − yкас = f (x)−f (x0 )−f ′(x0 )(x − x0 ).		По	теореме	Лагранжа
	′		и x . Поэтому
f (x)−f (x0 )= f (c)(x − x0 ), где c лежит между x0
y − yкас	= f ′(c)(x − x0 )−f ′(x0 )(x − x0 ) или		f ′(c)−f ′(x0 )
y − yкас	= (f ′(c)−f ′(x0 ))(x − x0 ).	Разность		снова пре-

образуем по формуле Лагранжа: f ′(c)−f ′(x0 )= f ′′(c1 )(c − x0 ), где c1 лежит между x0 и c. Таким образом, получаем

y − yкас = f ′′(c1 )(c − x0 )(x − x0 ). Из этого равенства имеем следую-

щее:	если x > x0 , то x − x0 > 0 c − x0 > 0 и f ′′(c1 )< 0 (по условию
1)
теоремы). Следовательно,		y − yкас < 0 y < yкас;	f ′′(c1 )< 0 . Следова-
2)	если x < x0 , то	x − x0 < 0 c − x0 < 0 и
тельно,	y − yкас < 0 y < yкас.
Таким образом, во всех точках интервала (a, b)			ордината касательной

больше ординаты графика функции, то есть график функции выпуклый. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 1.17 (достаточное условие существования точки перегиба).
Пусть в точке x0 f ′′(x0 )= 0 или f ′′(x0 ) не существует.		Если при переходе
через точку x0 вторая производная f ′′(x0 )	меняет знак,	то точка графика
функции с абсциссой x0 есть точка перегиба.
′′	′′

Доказательство. Пусть f (x)< 0 при x < x0 и f (x)> 0 при x > x0 .

Это значит, что слева от точки x0 график функции выпуклый, а справа – вогнутый. Следовательно, точка (x0 ;f (x0 )) графика функции является точкой перегиба.

	ПРИМЕР 1.30. Пусть y = x3 ,	y′ = 3x 2 , y′′ = 6 x	y′′ = 0 при x = 0.
Поскольку вторая производная y′′		меняет знак при переходе через точку
x = 0, то в точке (0;f (0)) или (0;0) график имеет перегиб (рис. 1.16).
	y	y
	y = x3	y =	3	x
		y =		x

Рис. 1.16 Рис. 1.17

ПРИМЕР 1.31. Пусть y =

x . Имеем y

′

′′

= −

. Вто-

33 x 2

9 3 x5

рая производная не существует в точке x = 0. При переходе аргумента x через точку x = 0 y′′ меняет знак. Следовательно, точка графика функции с абсциссой x = 0 является точкой перегиба (рис. 1.17).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151 Mб59razdel2kim.pdf
#
17.03.20151.08 Mб32razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780.33 Кб33razdel3kim.pdf
#
17.03.20151.22 Mб88razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768.02 Кб25razdel4kim.pdf
#
17.03.20151.03 Mб39razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569.38 Кб33rechev_kommun.docx
#
26.11.201874.24 Кб6ref-23736.doc
#
29.07.2019143.87 Кб6Referat Istoria.doc
#
17.03.201573.51 Кб162Referat.docx
#
06.03.201641.23 Кб89REFERAT.docx