Курс лекций по ТМО_ Абузова Ф[1].Ф
..pdf[k] = Вт/(м2·град).
На основе (2.31) и (2.32) получаем
q = k (tж1 −tж2 ). |
(2.33) |
||||||
Термическое сопротивление теплопередаче |
|
||||||
R = |
1 |
+ |
δ |
+ |
1 |
. |
(2.34) |
|
|
|
|||||
k |
α1 |
|
λ α2 |
|
|||
|
|
|
Формула (2.34) – пример выполнения закона аддитивности сопро-
тивлений:
Rk |
=Rα |
+Rλ +Rα |
, |
(2.35) |
|
1 |
|
2 |
|
где Rα = 1 – термическое сопротивление теплоотдаче, (м2·град)/Вт.
α
Очевидно, что
R = |
1 |
. |
2.36) |
k k
Rk = (м2·град)/Вт.
Термическое сопротивление теплопередаче многослойной стенки:
|
|
|
|
1 |
n |
|
δi |
|
|
1 |
|
|
||||||
RkΣ |
= |
+∑ |
+ |
. |
(2.37) |
|||||||||||||
α |
λ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
i |
|
|
α |
2 |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Поверхностная плотность теплового потока через многослойную |
||||||||||||||||||
стенку при теплопередаче: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = |
|
|
|
|
tж1 −t |
ж2 |
|
|
|
|
. |
|
(2.38) |
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
δi |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+∑ |
+ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
α |
i=1 |
λ |
i |
|
|
α |
2 |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тепловой поток через многослойную стенку:
Q = |
|
|
tж1 −tж2 |
|
|
|
F . |
(2.39) |
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
δi |
|
1 |
|
|
|
|||||
+∑ |
+ |
|
|
|
|||||||
|
|
α |
|
α |
|
|
|
|
|||
|
|
i=1 |
λ |
i |
2 |
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
Из уравнений (2.27) и (2.28) имеем:
23
|
|
|
tc1 |
= tж1 − |
q |
; |
|
|
|
||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
= t |
|
−q |
δ |
. |
|
|
|||||
|
c2 |
c1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
После подстановки (2.40) в (2.41) получаем |
|
||||||||||||||
|
|
|
q |
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
tc2 = t |
ж1 − |
|
|
|
−q |
|
= t |
ж1 |
−q |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
α1 |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 |
+δ .
λ
(2.40)
(2.41)
(2.42)
Температура на поверхности между слоями для многослойной стен-
ки:
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
δi |
|
||
t |
cn+1 |
= t |
ж1 |
−q |
|
+ |
|
. |
(2.43) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
α1 |
|
i=1 |
λi |
|
Цилиндрическая стенка: теплопроводность при стационарном тепловом режиме (граничные условия I рода)
Рис. 2.4. Однослойная цилиндрическая стенка
Значение теплового потока определяется
Q =−λ |
dt |
2 π r l, |
(2.44) |
|
|||
|
dr |
|
24
где r – расстояние от оси симметрии, м;
l – длина стенки, м.
Из (2.44) получаем:
|
|
|
dt =− |
|
Q |
|
dr |
; |
(2.45) |
|||||||
|
|
|
2 π λ l |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||||||
|
|
|
t =− |
|
|
Q |
|
|
|
ln r +C . |
(2.46) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 π λ l |
|
|
|
|
|||||
Из (2.46) следует, что в цилиндрической стенке логарифмическое |
||||||||||||||||
распределение температур. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Граничные условия: |
|
|
|
|
r =r1 ; |
|
|
|
|
t = tc1 ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
r =r2 ; |
|
|
|
|
t = tc 2 . |
|
||||
Подставим в (2.46): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
=− |
|
|
Q |
|
|
ln r +C ; |
(2.47) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
c1 |
|
|
2 π λ l |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t |
|
|
=− |
|
|
Q |
|
ln r +C . |
(2.48) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
c2 |
|
2 π λ l |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (2.47) вычтем (2.48):
t −t |
|
= |
|
Q |
ln |
r2 |
. |
|
|
π λ l |
|
||||
c1 |
c 2 |
2 |
|
r1 |
|||
|
|
|
|
|
|
Решая (2.49) относительно Q, получаем
Q = |
π l (tc1 −tc2 ) |
. |
|||||
1 |
ln |
r |
|||||
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
2 λ |
r |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
Линейная плотность теплового потока
q = |
Q |
= |
π (tc1 |
−tc2 ) |
|||||
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|||||
l |
l |
|
|
1 |
ln |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
r |
||||
|
|
|
|
2 λ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(2.49)
(2.50)
(2.51)
[q] = Вт/м.
Термическое сопротивление цилиндрической стенки процессу тепло-
проводности:
25
Rц = |
|
1 |
ln |
r2 |
. |
|
|
|
|||
λ |
2 |
λ |
r1 |
||
|
Rц |
= |
м град |
. |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
Вт |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Распределение температур в цилиндрической стенке
t = t |
|
− |
|
|
Q |
|
ln |
r |
. |
|||||
c1 |
|
π λ l |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Из (2.50) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
= |
tc1 −tc 2 |
. |
||||||||
|
2 π λ l |
|
||||||||||||
|
|
|
ln |
|
r2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.52)
(2.53)
(2.54)
Подставим (2.54) в (2.53), получим распределение температуры в цилиндрической стенке
t = t |
|
− |
tc1 −tc 2 |
ln |
r |
. |
(2.55) |
||
c1 |
|
|
|||||||
|
|
|
r2 |
|
r |
|
|||
|
|
|
ln |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Такое же распределение температур можно получить, решая задачу в цилиндрических координатах.
Лекция 3
Введём среднелогарифмический радиус
rmL = r2 −rr1 . ln 2
r1
Из (3.1) имеем
ln r2 = r2 −r1 .
r1 rmL
Введём среднелогарифмическую поверхность
FmL = 2 π rmL l.
Можно показать, что
(3.1)
(3.2)
(3.3)
26
FmL = F2 −FF1 . ln 2
F1
Подставив (3.2) в (2.50), получаем
Q = 2 π rmL l (tc1 −tc2 ).
λ1 (r2 −r1)
Заметим, что
r2 −r1 = d2 −d1 = δ . 2
Подставим (3.3) и (3.6) в (3.5), получаем
Q = FmL (tc1 −tc2 ).
δλ
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Можно показать, что для сферической стенки при расчёте теплового потока Q используется среднегеометрическая поверхность:
|
|
|
|
FmG = F1 F2 . |
(3.8) |
Для тонких цилиндрических стенок ( d2 <2 ) при определении тепло- d1
вого потока Q можно пользоваться формулами для плоской стенки, при этом погрешность не превышает 4%.
Многослойная криволинейная стенка: теплопередача (теплопроводность при граничных условиях III рода)
Считаем процесс стационарным, заданы температуры сред tж1 , tж2 и
площади поверхностей F1 и F2 .
27
Рис. 3.1. Многослойная криволинейная стенка
Для каждого слоя запишем уравнение для определения теплового потока Q (по закону сохранения энергии Q = const ):
Q = α1 F1 (tж1 −tc1); |
(3.9) |
||||
……………… |
|
||||
Q = |
tci −tci+1 |
, |
(3.10) |
||
|
|||||
|
|
δi |
|
|
λi Fmi
где Fmi – средняя площадь поверхности i-го слоя слоя Fmi =FmL , а для сферического – Fmi =FmG ).
………………
Q = α2 F2 (tcn+1 −tж2 ).
Из (3.9) – (3.11) имеем:
|
|
tж1 −tc1 |
= |
|
Q |
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
α1 F1 |
||||
|
|
……………… |
|
|
|
|||||
t |
|
−t |
ci+1 |
=Q |
|
δi |
; |
|||
ci |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
λi |
Fmi |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(для цилиндрического
(3.11)
(3.12)
(3.13)
|
……………… |
|
|
|
|
||||
t |
|
−t |
|
= |
Q |
|
. |
(3.14) |
|
cn+1 |
|
|
|
||||||
|
|
ж2 |
|
α |
F |
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
После сложения (3.12) – (3.14) получаем
28
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
δi |
|
|
1 |
|
|
t |
|
−t |
|
= Q |
|
+ |
∑ |
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
α F |
λ |
F |
α |
|
F |
|||||||
|
ж1 |
|
ж2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 1 |
|
i=1 |
i |
mi |
2 |
|
2 |
|
Таким образом, тепловой поток Q определяется
Q = |
|
|
tж1 −tж2 |
|
|
|
|
. |
||
|
n |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
δ |
|
|
1 |
|
|
|||
+∑ |
|
+ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||
|
|
α F |
λ |
F |
α |
F |
||||
1 1 |
i=1 |
i |
mi |
2 |
2 |
|
|
Из (2.33) получаем
Q = k F (tж1 −tж2 ).
Из (3.16) и (3.17) получаем
k F = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
δ |
|
|
1 |
|
|
|||
+∑ |
|
+ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||
|
|
α F |
λ |
F |
α |
F |
||||
1 1 |
i=1 |
i |
mi |
2 |
2 |
|
|
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Для криволинейной стенки коэффициент теплопередачи не опреде-
ляется, т.к. площадь поверхности F – переменная величина и нет физиче-
ского основания делать это.
Заметим, что если стенка плоская, то F =F1 =Fmi =F2 , и тогда:
|
k = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(3.19) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
δi |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+∑ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
α |
λ |
α |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
i=1 |
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Термическое сопротивление многослойной криволинейной стенки |
||||||||||||||||||||
при теплопередаче: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
RкрkΣ = |
|
|
+∑ |
|
|
|
|
+ |
|
|
. |
(3.20) |
||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||||||||||||
|
α F |
|
λ |
F |
|
α |
2 |
F |
||||||||||||
|
1 1 |
|
i=1 |
|
|
i |
|
mi |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Средняя расчётная поверхность
Сопоставим криволинейную многослойную стенку с плоской много-
слойной стенкой одинакового термического сопротивления и при равных
λi , δi , α1 и α2 :
29
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
δi |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∑ |
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k F |
|
|
|
α |
λ |
α |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
F = |
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
i=1 |
|
i |
2 |
|
|
|
. |
(3.21) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∑ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α F |
|
λ |
F |
α |
F |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
i=1 |
i |
|
mi |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||
|
1 |
n |
δi |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
∑ |
+ |
|
(для газов α1 |
мало), тогда имеем |
|
|||||||||||||||||||||||
α |
|
α |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
i=1 |
λ |
i |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
k F |
≈F . |
|
|
|
|
|
|
|
(3.22) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поверхность F1 расположена со стороны наибольшего термического
сопротивления.
Интенсификация теплопередачи – увеличение теплового потока
Q = |
tж1 −tж2 |
. |
(3.23) |
|
|||
|
Rкр |
|
|
|
kΣ |
|
Для интенсификации теплопередачи можно увеличить разность тем-
ператур сред или уменьшить термическое сопротивление теплопередаче.
|
1 |
|
n |
δ |
|
1 |
|
|
|
RкрkΣ = |
|
+∑ |
+ |
. |
(3.24) |
||||
|
|
i |
|
||||||
α F |
λ F |
α F |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 1 |
|
i=1 |
i mi |
|
2 2 |
|
|
|
|
Rα |
|
R λΣ |
|
Rα |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для уменьшения Rα |
и Rα |
необходимо увеличить α1 и α2 |
или F1 и F2 . |
||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты теплоотдачи увеличивают за счёт турбулизации погранич-
ного слоя, при этом увеличивается число Рейнольдса:
Re = wνd ,
где w – скорость потока, [w ]= м ;
с
d– определяющий размер, [d]= м;
ν– кинематическая вязкость, [ν]= м2 .
с
Это ведёт к увеличению затрат энергии на перекачку, поэтому вопрос следует рассматривать комплексно.
30
Площади F1 и F2 увеличивают за счёт оребрения. При этом, если среды разные, оребряют там, где больше термическое сопротивление, а
если среды одинаковые, то с обеих сторон. Термическое сопротивление больше со стороны газов. Считается, что оребрение эффективно, если:
где lр
λр
Sр
Fр
|
|
|
R λр Rαр . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R |
|
= |
|
lр |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
λр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
λр Sр |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
R |
|
= |
1 |
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
αр |
|
α Fр |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– длина ребра, l |
|
= м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– теплопроводность материала ребра, |
λ |
|
= |
Вт |
; |
|||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м град |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–площадь поперечного сечения ребра, Sр =м2 ;
–площадь поверхности ребра, Fр =м2 .
Рис. 3.2. Ребро
(3.25)
(3.26)
(3.27)
Расчётные формулы для цилиндрической стенки
Из (3.20) имеем
1 |
|
1 |
n |
|
δ |
|
|
1 |
|
|
|
|
+∑ |
|
|
|
|
|
|||||
RкрkΣ = |
|
= |
|
|
i |
+ |
|
|
. |
(3.28) |
|
k F |
α F |
λ |
F |
α |
F |
||||||
|
|
|
1 1 |
i=1 |
i |
mi |
2 |
2 |
|
|
Для цилиндрической стенки:
31
F1 = π d1 l; |
(3.29) |
||||||||
F2 = π d2 l . |
(3.30) |
||||||||
Средняя площадь поверхности |
|
|
|
|
|
||||
Fmi =FmL = π dmL l . |
(3.31) |
||||||||
Среднелогарифмический диаметр |
|
||||||||
d = |
d2 −d1 |
. |
(3.32) |
||||||
|
|
||||||||
mL |
d2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
ln |
|
||||
|
|
|
|
d1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Толщина стенки i-го слоя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
= |
d2i −d1i |
. |
(3.33) |
||||
i |
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Подставим (3.29) – (3.33) в (3.28):
|
|
|
|
|
|
d2i −d1i |
|
|
|
|
|||||
1 |
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
+∑ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
+ |
|
. (3.34) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k π d l |
|
α1 π d1 l i=1 λi |
π |
d2i −d1i |
l |
|
α2 |
π d2 l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
d2i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1i
Термическое сопротивление теплопередаче цилиндрической стенки
|
|
|
|
1 |
1 |
n |
1 |
|
|
d2i |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ц |
+∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
R kΣ |
= |
|
= |
|
|
|
ln |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
k d |
α d |
2 λ |
|
d |
1i |
α |
2 |
d |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 1 |
i=1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Введём линейный коэффициент теплопередачи |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
kl =k d =k1 d1 =k2 d2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где k1 |
– относится к внутреннему диаметру, [k1 ]= |
|
|
Вт |
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
м2 град |
|||||||||||||||||||||
k2 |
– относится к наружному диаметру, [k2 ]= |
|
|
Вт |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
м2 град |
||||||||||||||||||||||
[kl |
]= |
Вт |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
м град |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, тепловой поток определяется
Q =
(3.35)
(3.36)
(3.37)