5. Пересечение эллиптического конуса плоскостью
На рис. 1 дано построение проекций сечения, его натурального вида и развертки на примере пересечения плоскостью эллиптического конуса с круговым основанием.
Для упрощения решения задачи применен способ замены плоскостей проекций, при этом данная секущая плоскость преобразовалась во фронтально проецирующую. Ось проекций Х1 в новой системе плоскостей проекций проведена перпендикулярно данной плоскости. Фигура сечения "выродилась" в отрезок прямой d'1f'1, расположенный на следе плоскости P.
Для построения горизонтальной проекции сечения основание конуса разделили на 12 равных частей. Через полученные точки провели образующие конуса (S1 и S2 т.д.) и построили их проекции на плоскости V1.
Таким образом, на каждой образующей получили точку, принадлежащую фигуре сечения. Например, образующая S'17'1 пересекает след секущей плоскости в точке K'1. С помощью линии связи, которая перпендикулярна оси X1, точка К1 проецируется сначала на горизонтальную проекцию образующей S7, а затем на фронтальную проекцию образующей S'7'. Построение других точек аналогично описанному.
Натуральная величина фигуры сечения определена также с помощью способа замены плоскостей проекций. Ось Х2 проведена параллельно следу секущей плоскости.
Развертка конуса выполнена способом триангуляции. В коническую поверхность вписана двенадцатигранная пирамида. Образующие S1, S2 конуса являются одновременно и боковыми ребрами этой пирамиды. Натуральная величина ребер пирамиды определена по правилу прямоугольного треугольника.
Учитывая, что разность координат Z каждого бокового ребра пирамиды есть величина постоянная, построение натуральной величины всех двенадцати ребер свели к следующему. От точки S1 по горизонтальной линии отложили отрезки, равные величине горизонтальной проекции каждого ребра. Отрезок S0S1 является разностью координат Z, гипотенузы S010, S020 и т.д. представляют собой натуральную величину каждого бокового ребра вписанной в конус пирамиды.
Для построения на развертке линии сечения на натуральную величину каждого ребра перенесены точки, ограничивающие фигуру сечения. Сделано это с помощью линий связи, параллельных оси X.
Развертка построена способом засечек. Первое ребро S010 расположили вертикально. Из точки S0 радиусом, равным длине хорды [12], сделана засечка. Из точки S0 радиусом, равным натуральной величине ребра
S2 (S020), также сделана засечка.
Получена точка 20 и треугольник S01020. Таким же образом построены остальные 11 треугольников. Через точки 10, 20, 30…. проведена плавная кривая линия. Кривая сечения построена на развертке по принадлежности каждой точки фигуры сечения соответствующему ребру. Точки линии сечения также соединены плавной кривой.
6. Пересечение эллиптического цилиндра плоскостью
На рис.2 выполнено построение проекций сечения цилиндра плоскостью Р (ΔQTU), определена его натуральная величина и построена развертка цилиндра. Проекции сечения и его натуральная величина найдены так же, как и в предыдущем примере.
Развертка эллиптического цилиндра получена способом раскатки. Для построения развертки в цилиндр вписана двенадцатигранная призма (основание цилиндра разделено на 12 равных частей). Через каждую точку проведена образующая цилиндра, которая одновременно является ребром вписанной призмы. Таким образом, получены грани призма 1'I'II'2' и 1 I II 2, 2'II'III'3' и 2 II III 3 и т.д.
Плоская грань 1 I II 2 вращением вокруг ребра 1I (это фронталь) совмещена с фронтальной плоскостью уровня Σ, в которой находится ребро 1I. Для определения совмещенного с плоскостью Σ положения ребра 20II0 из точки 2' проведен луч, перпендикулярный к 1'I'. На этом луче дугой радиуса [12] из центра 1' сделана засечка, которая дала точку 20. Через точку 20 проведено ребро 20II0, параллельно ребру 1'I', до пересечения с лучом, исходящим из точки II'. Получена точка II0.
Приняв совмещенное положение ребра 20II0 за новую ось вращения, поворачивают вокруг нее следующую грань 3 2 II III до совмещения с плоскостью Σ.
Для этого из точки 3' проводят луч, перпендикулярный совмещенному ребру 2оII0, а из точки 20 – дугу окружности радиусом, равным [23]; пересечение дуги с лучом определяет положение точки 30. Через 30 проводят ребро 30III0 параллельно 20II0 до пересечения с лучом, идущим из точки III'.
Получают точку III0. Остальные грани совмещены аналогично.
Точки 10, 20, 30 ... и I0, II0, III0 ... соединяют плавными кривыми с помощью лекала. Для получения полной развертки пристраивают окружности оснований цилиндра.
Для нанесения линии сечения достаточно перенести каждую точку сечения на соответствующее ребро на развертке. Например, отрезок II0K0 равен отрезку II'K', а отрезок К020 равен отрезку K'2'.
Рис.1. Пересечение конуса плоскостью. Развёртка конуса
Рис.2.
Пересечение цилиндра плоскостью.
Развёртка цилиндра
|
№ вар |
№ задач |
Координаты |
А
|
А1 |
В |
В1 |
С |
D |
Е |
Е1 |
F |
S |
L |
M |
N |
Q |
T |
U |
K |
O |
R |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|
1 |
1,2 |
Х Y Z |
110 65 0 |
|
45 45 0 |
8 7 60 |
67 100 0 |
90 100 0 |
|
|
|
0 120 100 |
120 35 12 |
120 105 70 |
5 35 12 |
40 38 90 |
10 27 107 |
22 58 77 |
|
90 60 0 |
45 |
|
2 |
3,4 |
Х Y Z |
120 80 0 |
|
80 20 0 |
|
40 60 0 |
80 100 0 |
|
|
|
80 60 80 |
30 25 25 |
100 95 7 |
20 35 7 |
104 74 72 |
98 48 47 |
115 59 61 |
122 30 80 |
180 30 0 |
25 |
|
3 |
5,6 |
Х Y Z |
95 105 12 |
95 105 50 |
95 10 12 |
|
15 10 12 |
15 105 50 |
100 38 30 |
|
|
0 60 100 |
9 80 60 |
88 86 18 |
|
25 11 72 |
3 18 78 |
18 36 67 |
|
113 60 0 |
45 |
|
4 |
7,8 |
Х Y Z |
126 0 20 |
|
83 0 94 |
|
40 0 20 |
|
|
|
|
83 100 44 |
25 0 100 |
150 0 15 |
10 90 15 |
280 35 66 |
268 57 82 |
287 44 75 |
185 30 0 |
257 30 80 |
25 |
|
5 |
9,10 |
Х Y Z |
75 8 0 |
140 52 90 |
15 8 0 |
|
45 61 0 |
|
|
|
|
0 120 100 |
60 15 90 |
140 15 20 |
100 ? 20 |
40 38 85 |
10 27 107 |
22 58 70 |
|
90 60 0 |
45 |
|
6 |
11,12 |
Х Y Z |
150 10 50 |
|
123 10 88 |
|
78 10 78 |
78 10 26 |
123 10 12 |
|
|
25 90 50 |
130 0 85 |
10 0 0 |
90 80 0 |
138 81 80 |
131 65 63 |
152 70 74 |
152 30 80 |
200 30 0 |
25 |
|
7 |
13,14 |
X Y Z |
100 0 80 |
|
40 0 80 |
130 75 53 |
70 0 27 |
|
|
|
|
150 30 100 |
10 75 65 |
45 30 35 |
0 30 35 |
129 5 47 |
134 23 38 |
103 3 57 |
|
50 75 0 |
45 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|
8 |
15,16 |
X Y Z |
90 40 0 |
|
73 10 0 |
|
38 10 0 |
20 40 0 |
38 70 0 |
|
73 70 0 |
55 40 100 |
10 0 80 |
110 0 0 |
73 70 0 |
277 45 60 |
262 25 47 |
285 30 53 |
172 30 0 |
234 30 80 |
25 |
|
9 |
17.18 |
X Y Z |
80 80 10 |
80 80 70 |
80 20 10 |
|
20 20 10 |
20 80 10 |
|
|
|
0 120 100 |
10 0 55 |
100 40 15 |
15 90 15 |
40 38 80 |
10 27 107 |
22 58 64 |
|
90 60 0 |
45 |
|
10 |
19,20 |
X Y Z |
60 0 40 |
|
60 0 80 |
|
15 0 40 |
|
|
|
|
120 90 0 |
30 60 25 |
140 0 85 |
40 80 85 |
104 74 72 |
98 48 43 |
115 59 59 |
122 30 80 |
180 30 0 |
25 |
|
11 |
21,22 |
X Y Z |
150 0 27 |
|
135 0 54 |
|
105 0 54 |
90 0 27 |
105 0 0 |
45 60 70 |
135 0 0 |
0 60 100 |
110 0 ? |
8 0 0 |
80 ? 0 |
25 11 71 |
3 18 78 |
18 36 62 |
|
113 60 0 |
45 |
|
12 |
23,24 |
X Y Z |
120 30 10 |
|
75 12 10 |
|
54 25 10 |
109 65 10 |
|
|
|
14 90 70 |
95 88 0 |
10 7 0 |
90 7 33 |
280 35 61 |
268 57 82 |
287 44 74 |
185 30 0 |
257 30 80 |
25 |
|
13 |
25,26 |
X Y Z |
80 40 36 |
|
18 50 ? |
|
5 20 5 |
44 10 5 |
|
|
|
0 15 100 |
50 68 75 |
120 68 10 |
65 5 10 |
38 10 56 |
28 25 53 |
8 5 60 |
|
90 80 0 |
45 |
|
14 |
27,28 |
X Y Z |
125 15 10 |
|
75 15 60 |
|
25 15 10 |
|
|
|
|
75 95 10 |
115 10 0 |
8 80 0 |
65 80 ? |
138 81 80 |
131 85 57 |
152 70 73 |
152 80 80 |
200 30 0 |
25 |
|
15 |
29,30 |
X Y Z |
95 12 105 |
95 50 105 |
95 12 10 |
|
15 12 10 |
15 12 105 |
10 30 38 |
|
|
150 30 100 |
100 60 80 |
22 18 86 |
|
129 5 43 |
134 23 38 |
103 3 57 |
|
50 75 0 |
45 |
|
16 |
31,32 |
X Y Z |
150 50 10 |
|
123 88 10 |
|
78 78 10 |
78 26 10 |
|
|
|
25 50 90 |
130 85 0 |
10 0 0 |
90 0 80 |
277 45 60 |
262 25 38 |
285 30 48 |
172 30 80 |
234 30 80 |
25 |
|
17 |
33,34 |
X Y Z |
75 0 8 |
140 90 52 |
15 0 8 |
|
45 0 61 |
|
|
|
|
0 120 100 |
60 90 15 |
140 20 15 |
100 20 ? |
40 38 68 |
10 27 107 |
22 58 47 |
|
90 60 0 |
45 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|
18 |
35,36 |
X Y Z |
90 0 40 |
|
73 0 10 |
|
38 0 10 |
20 0 40 |
38 0 70 |
|
73 0 70 |
55 100 40 |
10 80 0 |
110 0 0 |
73 0 70 |
280 35 56 |
268 57 82 |
287 44 73 |
185 30 0 |
257 30 80 |
25 |
|
19 |
37,38 |
X Y Z |
100 80 0 |
|
40 80 0 |
130 53 75 |
70 27 0 |
|
|
|
|
0 60 100 |
10 65 75 |
45 35 30 |
0 35 30 |
25 11 72 |
3 18 78 |
18 36 67 |
|
113 36 0 |
45 |
|
20 |
39,40 |
X Y Z |
60 40 0 |
|
60 80 0 |
|
15 40 0 |
44 5 10 |
|
|
|
120 0 90 |
30 25 60 |
140 85 0 |
40 85 80 |
104 74 72 |
98 48 35 |
115 59 56 |
122 30 80 |
180 30 0 |
25 |
|
21 |
41,42 |
X Y Z |
80 36 40 |
|
18 ? 50 |
|
5 5 20 |
44 5 10 |
|
|
|
0 15 100 |
50 75 65 |
120 10 65 |
65 10 5 |
38 10 54 |
28 25 50 |
8 5 60 |
|
90 80 0 |
45 |
|
22 |
43,44 |
X Y Z |
125 10 15 |
|
75 10 15 |
|
25 10 15 |
|
|
|
|
75 60 95 |
115 0 10 |
10 0 80 |
65 50 80 |
138 81 80 |
131 65 54 |
152 70 70 |
152 30 80 |
200 30 0 |
25 |
|
23 |
45,46 |
X Y Z |
150 27 0 |
|
135 54 0 |
|
105 54 0 |
90 27 0 |
105 0 0 |
45 70 60 |
135 0 0 |
150 30 100 |
11 ? 0 |
8 0 0 |
80 0 ? |
129 5 41 |
134 23 32 |
103 3 58 |
|
50 75 0 |
45 |
|
24 |
47,48 |
X Y Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
ЛИТЕРАТУРА
1. Бубенников А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа, 1973. 416 с.
2. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. Учеб. пособие для втузов /Под ред. В.О.Гордона и Ю.Б.Иванова 24-е изд.стер. М.: Высш.шк., 2002. 272 с.: ил.
3. Королёв Ю.И. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. СПб.:Питер, 2006. 252 с.: ил.
4. Стрижаков А.В., Мартиросов А.Л., Кубарёв А.Е. Начертательная геометрия Ростов н/Д: Феникс, 2004. 320 с.
СОДЕРЖАНИЕ
с.
1. Цель работы 2
2. Содержание работы 2
3. Методика и порядок выполнения задания 2
4. Общие сведения 3
5. Пересечение эллиптического конуса плоскостью 3
6. Пересечение эллиптического цилиндра плоскостью 5
Приложение 15
Литература 19