Расчетное задание № 2

Законы вращательного движения твердого тела.

Колебания и волны. Элементы теории относительности

Основные формулы

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

x = A cos(t+),

где х - смещение; А - амплитуда колебаний;  - угловая или циклическая частота;  - начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

 = -A sin(t+); a = -A² cos(t+).

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

б) начальная фаза результирующего колебания

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,

x = A₁ cost; y = A₂ cos(t+);

а) если разность фаз =0;

б) если разность фаз=;

в) если разность фаз =/2.

Уравнение плоской бегущей волны

где y - смещение любой из точек среды с координатой x в момент t;

 - скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз  колебаний с расстоянием x между точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний;

где  - длина волны.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

где М_z - результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело;  - угловое ускорение; J_z - момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

где R - радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,

где  - угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

=const,

где J_z - момент инерции системы тел относительно оси z;  - угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

или

Релятивистская масса

или

где m_o - масса покоя частицы;  - ее скорость; с - скорость света в вакууме;  - скорость частицы, выраженная в долях скорости света

( = /с).

Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы

или

где Е_о=m_ос² - энергия покоя частицы.

Полная энергия свободной частицы

Е = Е_о + Т,

где Т - кинетическая энергия релятивистской частицы.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

или

Импульс релятивистской частицы

или

Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m₁=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой m₂=60 кг. Какую линейную скорость  относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция L_z момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:

const, (1)

где J_z - момент инерции платформы с человеком относительно оси z;

 - угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии а в конечном состоянии .

С учетом этого равенство (1) примет вид

(2)

где значения моментов инерции J₁ и J₂ платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; и- к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерцииJ₂ в начальном состоянии (в центре платформы)можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека

Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком ( = 2n) и конечной угловой скорости (^' = /R, где  - скорость человека относительно пола):

После сокращения на R² и простых преобразований находим скорость

Произведем вычисления:

м/с.

Пример 2. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F_max, действующей на частицу.

Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:

где  = 2/Т. Отсюда амплитуда

(1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = -kx, где k - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении x_max, равном амплитуде:

F_max = kA. (2)

Коэффициент k выразим через период колебаний:

k = m² = m4²/T². (3)

Подставив выражения (1) и (3) и (2) и произведя упрощения, получим

Произведем вычисления:

0,045 м = 45 мм;

Пример 3.Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями

где А₁ = 3 см, А₂ = 2 см, ₁ = 1/6 с, ₂ = 1/3 с, Т = 2 с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.

Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме

х = A cos(t+), получим

Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту

.

Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны

Произведем вычисления:

с^-1;

Изобразим векторы А₁ и А₂. Для этого отложим отрезки длиной А₁ = 3 см и А₂ = 2 см под углами ₁ = 30^о и ₂ = 60^о к оси 0х. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой  и амплитудой А, равной геометрической сумме амплитуд А₁ и А₂: А = А₁ + А₂. Согласно теореме косинусов:

Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 3):

Произведем вычисления:

см = 4,84 см;

или  = 0,735 рад.

Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде

где А = 4,84 см,  = 3,14 с^-1,  = 0,735 рад.

Таблица вариантов для задания № 2

Вариант	Номера задач
0	160	170	180	190
1	151	161	171	181
2	152	162	172	182
3	153	163	173	183
4	154	164	174	184
5	155	165	175	185
6	156	166	176	186
7	157	167	177	187
8	158	168	178	188
9	159	169	179	189

151.Шарик массойт =60 г, привязанный к концу нити длинойl₁ =1,2 м, вращается с частотойп₁=2с^-1, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси до расстоянияl₂ =0,6 м. С какой частотойп₂будет при этом вращаться шарик? Какую работуАсовершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

152.По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметромD= 75 см и массойт= 40 кг приложена силаF= 1 кН. Определить угловое ускорениеи частоту вращенияпмаховика через времяt =10 с после начала действия силы, если радиусrшкива равен 12 см. Силой трения пренебречь.

153.На обод маховика диаметромD= 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массойт = 2 кг. Определить момент инерцииJмаховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за времяt =3 с приобрел угловую скорость= 9 рад/с.

154.Нить с привязанными к ее концам грузами мас­самит₁= 50 г иm₂ = 60 г перекинута через блок диаметромD=4см. Определить момент инерцииJблока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение= 1,5 рад/с². Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

155.Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению=At+Bt³, гдеА =2 рад/с,В =0,2 рад/с³. Определить вращающий моментМ,действующий на стержень через времяt= 2 с после начала вращения, если момент инерции стержняJ=0,048 кгм²

156.По горизонтальной плоскости катится диск со скоростьюV =8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путьs= 18 м.

157.Определить момент силыМ,который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой n = 12c^-l, чтобы он остановился в течение времениt= 8 с. Диаметр блока D = 30 см. Массу блокат= 6 кг считать равномерно распределенной по ободу.

158.Блок, имеющий форму диска массойт =0,4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массамит₁ =0,3 кг ит₂= 0,7 кг. Определить силы натяженияТ₁иТ₂нити по обе стороны блока.

159.К краю стола прикреплен блок. Через блок пе­рекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по поверхности стола, а другой - вдоль вертикали вниз. Определить коэффициентfтрения между поверхностями груза и стола, если массы каждого груза и масса блока одинаковы и грузы движутся с ускорениема =5,6 м/с². Проскальзыванием нити по блоку и силой трения, действующей на блок, пренебречь.

160.К концам легкой и нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены грузы массамит₁= 0,2 кг ит₂= 0,3 кг. Во сколько раз отличаются силы, действующие на нить по обе стороны от блока, если масса блокаm=0,4 кг, а его ось движется вертикально вверх с ускорениема= 2 м/с²? Силами трения и проскальзывания нити по блоку пренебречь.

161.На скамье Жуковского сидит человек и держит на вытянутых руках гири массойт= 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси скамьиl₁= 70 см. Скамья вращается с частотойп₁ =1с^-1. Как изменится частота вращения скамьи и какую работуАпроизведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится доl₂= 20 см? Момент инерции человека и скамьи (вместе) относительно осиJ = 2,5 кгм².

162.На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью₁= 4 рад/с. С какой угловой скоростью₂будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьиJ =5 кгм². Длина стержняl=1,8 м, массаm==6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком находится на оси платформы.

163.Платформа в виде диска диаметромD= 3 м и массойm₁=180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью₁будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массойm₂ = 70 кг со скоростьюV=1,8 м/с относительно платформы?

164.Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой уголповернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную (на платформе) точку? Масса платформыm₁= 280 кг, масса человекаm₂= 80 кг.

165.На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью₁=25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью₂станет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на угол=90°? Момент инерции человека и скамьиJравен 2,5 кгм², момент инерции колесаJ₀ = 0,5 кгм².

166.Однородный стержень длинойl=1,0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массойт=7 г,летящая перпендикулярно стержню и его оси. Определить массуМстерж­ня, если в результате попадания пули он отклонится на угол=60°. Принять скорость пулиV=360 м/с.

167.На краю платформы в виде диска, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотойn₁=8 мин^--1, стоит человек массойm₁=70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотойп₂=10мин^-1. Определить массут₂платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

168.На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметромD=0,8 м и массойm₁=6 кг стоит человек массойm₂=60 кг. С какой угловой скоростьюначнет вра­щаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массойm=0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянииr=0,4 м от оси скамьи. Скорость мячаV=5 м/с.

169. Горизонтальная платформа массойm₁=150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотойn=8 мин^--1. Человек массойт₂= 70кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростьюначнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым, однородным диском, а человека — материальной точкой.

170.Однородный стержень длинойl=1,0 м и массойM₁=0,7 кг подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. В точку, отстоящую от оси на²/₃l, абсолютно упруго ударяет пуля массойm= 5 г, летящая перпендикулярно стержню и его оси. После удара стержень отклонился на угол=60°. Определить ско­рость пули.

171.На стержне длинойl=30 см укреплены два одинаковых грузика: один — в середине стержня, другой — на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длинуLи периодТпростых гармонических колебаний данного физического маятника. Массой стержня пренебречь.

172.Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которыхх=A₁ sin tиy=A₂ cos t,гдеA₁=8 см,А₂=4см,=2 с^-1. Написать уравнение траектории и построить ее. Показать направление движения точки.

173.Точка совершает простые гармонические колебания, уравнение которыхx=Asint,гдеA=5 см,=2c^-1.В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией П=0,1 мДж, на нее действовала возвращающая силаF=5 мН. Найти этот момент времениt.

174.Определить частотупростых гармонических колебаний диска радиусомR=20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

175.Определить периодТпростых гармонических колебаний диска радиусомR=40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

176.Определить периодТколебаний математического маятника, если его модуль максимального перемещенияr= 18 см и максимальная скоростьV_max=16 см/с.

177.Материальная точка совершает простые гармонические колебания так, что в начальный момент времени смещениеx₀ = 4 см, а скоростьV₀=10 см/с. Определить амплитудуАи начальную фазу₀колебаний, если их периодТ=2с.

178.Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода:х₁=А₁sin₁tиx₂=A₂sin₂(t+), гдеА₁=А₂= 3 см,₁=₂=c^-1,=0,5 с. Определить амплитудуАи начальную фазу₀ результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить векторую диаграмму для момента времениt=0.

179.На гладком горизонтальном столе лежит шар массойM=200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной легкой пружине с жесткостьюk=500 Н/м. В шар попадает пуля массойm=10 г, летящая со ско­ростьюV=300 м/с, и застревает в нем. Пренебрегая перемещением шара во время удара и сопротивлением воздуха, определить амплитудуАи периодTколебаний шара.

180.Шарик массойm=60 г колеблется с периодомT=2 с. В начальный момент времени смещение шарикаx₀=4,0 см и он обладает энергиейE=0,02 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

181.Частица движется со скоростью= с/3, где с — скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя составляет кинетическая энергия частицы?

182.Протон с кинетической энергиейТ =3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Определить, во сколько раз изменился релятивистский импульсчастицы.

183.При какой скорости(в долях скорости света) релятивистская масса любой частицы вещества вп= 3 раза больше массы покоя?

184.Определить отношение релятивистского импульса р-электрона с кинетической энергиейТ= 1,53 МэВ .к комптоновскому импульсут_осэлектрона.

185.Скорость электрона =0,8 с (где с — скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах, определить в тех же единицах кинетическую энергиюТэлектрона.

186.Протон имеет импульср =469 МэВ/с*. Какую кинетическую энергию необходимо дополнительно сообщить протону, чтобы его релятивистский импульс возрос вдвое?

187.Во сколько раз релятивистская массатэлектрона, обладающего кинетической энергиейТ =1,53 МэВ, больше массы покояm₀?

188.Какую скорость(в долях скорости света) нужно сообщить частице, чтобы ее кинетическая энергия была равна удвоенной энергии покоя?

189.Релятивистский электрон имел импульсp₁=т_ос. Определить конечный импульс этого электрона (в единицахт_ос),если его энергия увеличилась вп== 2 раза.

190.Релятивистский протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя. Определить, во сколько раз возрастет его кинетическая энергия, если его импульс увеличится вп= 2 раза.