4. Приборы и их погрешности.

В процессе измерения истинная погрешность приборов неизвестна. Для оценки таких неисключаемых систематических погрешностей используют статистические методы. Приборная погрешность, определяемая по классу точности прибора или по таблицам ГОСТа, – это статистическая оценка истинных неисключаемых ошибок приборов.

Существуют различные представления класса точности прибора:

а) в процентах от конечного значения шкалы;

б) в процентах или в относительных значениях от показаний приборов;

в) в процентах от суммы конечных значений рабочей части шкалы (для приборов с двусторонней шкалой)

г) в процентах от разности конечного и начального значения рабочей части шкалы (для приборов с безнулевой шкалой) и т.д.

У мостов постоянного и переменного тока задается относительная погрешность результата измерений, т.е. реализуется случай б. У амперметров, вольтметров и ваттметров реализуется случай а.

Отношение приборной погрешности Δх_пр к конечному значению шкалы x_max называется приведенной погрешностью ε_п. Класс точности прибора – это приведенная погрешность в процентах:

(4.1), . (4.2)

Из уравнения (4.2) имеем формулу для расчета приборной погрешности

. (4.3)

Если вольтметр на 200 В имеет класс точности 1,5, то его приборная погрешность имеет значение

. (4.4)

В случае многопредельных приборов под х_тах в уравнении (4.3) подразумевается тот предел измерений, на котором проводились измерения.

ГОСТом рекомендовано 7 классов точности: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 4,0. Заводы-изготовители приборов иногда вводят дополнительные классы точности 2,5; 3,0. На шкале электроизмерительного прибора, кроме класса точности, наносятся обозначения:

а) вида прибора: А (амперметр), V (вольтметр), W (ваттметр), Ω (омметр);

б) вида тока, которым питается прибор: – (постоянный ток)

­~ (переменный ток)

 (постоянный и переменный ток);

в) принципа действия: – магнитоэлектрическая система,

– электромагнитная система,

– электродинамическая система,

, – магнитная защита,

, – электростатическая защита измерительного

механизма;

г) расположения прибора: , ↑ – вертикальное,

_|–––_|, → – горизонтальное,

/60⁰ – под углом 60⁰;

д) об испытании изоляции: – проводка изолирована от корпуса,

испытана на напряжение 2 кВ,

– пробивное напряжение изоляции 2кВ;

е) эксплуатационных условий: А – закрытые, сухие, отапливаемые

помещения; температура +10+35 ⁰С,

Б – закрытые, неотапливаемые помещения;

температура -30+40 ⁰С,

В – полевые или морские условия,

В₁ – температура -40+50 ⁰С,

В₂ – температура -50+60 ⁰С,

В₃ – температура -50+80 ⁰С.

В условиях А, Б, В определенные требования налагаются и на относительную влажность.

Цена деления прибора – это значение наименьшего деления шкалы прибора. На каждом пределе измерений своя цена деления. Поэтому, если прибор многопредельный, перед измерением на каждом пределе необходимо определять цену деления шкалы.

На хороших измерительных приборах цена деления шкалы согласована с классом данного прибора. В таком случае нецелесообразно пытаться на глаз оценить малые доли деления, если они не отмечены на шкале. Однако это правило при изготовлении приборов не всегда выполняется, и иногда есть смысл оценивать по шкале четверть или даже одну десятую деления, но не следует особо полагаться на такую оценку. При оценке на глаз 0,1 деления разные наблюдатели делают различную систематическую погрешность, доходящую до 0,2 деления [3].

Если деления небольшие и условия деления неблагоприятные, то для оценки точности измерений за погрешность прибора берут не 0,2 деления, а значительно больше. Иногда эта величина равна половине деления шкалы прибора, но вряд ли целесообразно всюду (как это предлагается в некоторых физических практикумах) погрешность прибора считать равной половине деления шкалы прибора. Более того, это последнее соглашение часто не соответствует приборным погрешностям, определяемым ГОСТом. Так, погрешность ртутных лабораторных термометров и штангенциркулей не меньше цены деления.

Рассмотрим некоторые особенности процесса измерения расстояния, времени, массы и оценки их точности.

При исследовании движения некоторых тел приходится сравнивать путь, пройденный ими, с расстоянием между метками на измерительной шкале. Если расстояние между метками можно измерять с точностью до 1 мм, то точность при определении пути, проходимого телом, за счет ошибки на реакцию и ошибки, обусловленной параллаксом, не меньше 5-10 мм. Так обстоит дело при изучении движения шарика в вязкой среде, при исследовании движения перегрузков, вращающих маховое колесо или маятник Обербека, если время движения определяется механическим секундомером.

Определение линейных размеров нужно производить в соответствии с точностью измерительных инструментов. Металлическая рулетка в 1 или 2 м на всей длине должна иметь погрешность не более 1 мм, на любом сантиметровом делении – не более 0,5 мм и на любом миллиметровом – не более 0,2 мм. Поэтому, например, измерять расстояние порядка 1 м рулеткой с точностью до десятых долей миллиметра нет смысла.

При измерении времени следует обратить внимание на погрешность времени, обусловленную инерциальностью измерительной системы. Если в измерении времени участвует наблюдатель, то следует учитывать, что вследствие различной реакции разные наблюдатели допускают при определении момента времени какого-либо события разные по величине (но не по знаку) погрешности, доходящие до 0,19 с. Очевидно, что при измерении промежутка времени между двумя однородными событиями погрешность времени из-за реакции наблюдателя значительно меньше. Причина в том, что ошибка на реакцию по своему характеру является более систематической погрешностью. Например, когда наблюдатель отмечает начало движения, пусть он запаздывает на 0,15 с, но он также примерно на 0,15 с будет запаздывать при фиксации окончания движения, т.е. погрешность, обусловленная наблюдателем, будет в таких случаях значительно меньше ошибки на реакцию. Поэтому при соответствующем прилежании и навыке можно достаточно точно измерить время и с помощью механического секундомера.

Массу тел чаще всего определяют на рычажных весах. В случае одинаковых результатов взвешивания либо в случае разового взвешивания точность в определении массы

(4.5)

где т₁, т₂, т₃ – массы гирь, можно определить выражением

, (4.6)

где Δт₁, Δт₂, … – погрешности гирь, определяемые по таблицам ГОСТа в соответствии с классом гирь.

Выражение (4.6) определяет приборную погрешность при взвешивании. Такая оценка точности определения массы пригодна в том случае, когда весы на класс точности выше равновесков. Использование равновесков и весов равного класса приводит к тому, что основную погрешность при взвешивании дают гири и весы вследствие неравноплечности. В таких случаях следует использовать более совершенные методы взвешивания: метод Гаусса, метод Бордо или метод Менделеева, либо взвешивать тело на обеих чашечках весов, обрабатывая результаты измерений как результаты, подверженные случайным погрешностям.

Проблемой является оценка абсолютной погрешности табличных значений. Табличные значения являются округленными значениями более точных, экспериментально определенных величин. Например, известно, что плотность ртути ρ=13,955 г/см³. В таблице, как правило, приводят значение 13,6 г/см³. Предельным отброшенным при округлении числом является число, равное половине последнего разряда. Это число и принято считать погрешностью табличного значения, если о его точности нет информации. Например, теплоемкость алюминия 0,83 кДж/кг*К. Последний разряд сотый, половина его – 0,005, следовательно, погрешность теплоемкости Δс=0,005 кДж/кг*К. Если табличное значение известно с высокой степенью точности и при вычислении используются не все его значащие цифры, то за погрешность принимают разность между табличным и округленным значением, неиспользованным в расчетах. Например, в расчетах мы используем значение π=3,14, а табличное значение его 3,14159… За погрешность величины π принимают

(4.7)

5. ВЫЧИСЛЕНИЕ, ОЦЕНКА И УЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ

ПОГРЕШНОСТЕЙ.

Прямым и косвенным измерениям, кроме случайных погрешностей, сопутствуют систематические погрешности. Для их выявления, оценки и учета можно предложить следующее правило (правило 2):

1. Выясняем модель объекта или процесса, которая положена в основу определения данной величины или в основу расчетной формулы.

2. Устанавливаем возможные отклонения от этой модели, обусловленные объектом измерения.

3. Оцениваем систематические погрешности, обусловленные:

а) внешними условиями;

б) инструментом;

в) наблюдателем;

г) отклонениями реального объекта от модели.

Последнее выясняется с помощью вычислений или пробных измерений.

4. Определяется целесообразность корректировки методики измерений или расчетной формулы для уменьшения и учета систематических погрешностей.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть требуется определить с помощью штангенциркуля объем тела цилиндрической формы. Для этого воспользуемся выражением

, (5.1)

где V – объем цилиндра;

D – диаметр;

H – высота цилиндра.

Применение правила 2 дает следующее:

1. В основу расчетной формулы положена модель идеального прямого цилиндра.

2. Возможны отклонения от этой модели, обусловленные тем, что основание не круг и цилиндр не прямой.

3. а) если температура и давление не меняются и среда не агрессивная, то форма и размер постоянные;

б) проводим установку прибора на нуль, определяем систематическую исключаемую погрешность прибора. Работа со штангенциркулем по инструкции дает инструментальную погрешность, установленную ГОСТом;

в) в данном случае исследователь может заметно влиять на результат только при отсчете показаний. Следить за тем, чтобы не возникала ошибка из-за параллакса;

г) пробные измерения показывают, что существует незначительная погрешность объема, обусловленная отклонением формы реального цилиндра от формы идеального цилиндра.

4. Мы можем ее либо уменьшить, предложив формулу, учитывающую несовершенства формы цилиндра, либо учесть, включив в погрешность измерений. Это достигается обращением систематической погрешности в случайную. В нашем случае для этого достаточно измерения диаметра и высоты провести в различных точках. Второй путь проще, им чаще и пользуются.

Учтя систематическую погрешность, обусловленную несоответствием модели и реального объекта, мы добились того, что систематическая погрешность равна приборной погрешности. Вклад приборных погрешностей в погрешность косвенного измерения может быть рассчитан по соответствующим формулам (см. рис. 1).

Для прямых измерений правило 2 можно сформулировать короче: Что мы измеряем, что должно быть? Так, определяя величину h, мы измеряем длину цилиндра, а h в формуле – высота цилиндра. Высота и длина цилиндра в общем случае отличаются между собой. Как видим, ответ на поставленный вопрос указывает на возможный источник исключаемой или подающейся учету систематической погрешности. Поэтому наряду с правилом 2 рекомендуется использовать и его модификацию, сформулированную выше в виде вопроса.

Несоответствие методики измерений и модели объекта, положенной в основу расчетной формулы, приводит часто к значительным скрытым и неучтенным систематическим погрешностям. Наглядным примером такой ситуации является определение сопротивления с помощью амперметра и вольтметра. В расчетной формуле

, (5.2)

где I – сила тока, идущего через сопротивление,

Δφ – напряжение на том же сопротивлении в тот же момент времени.

А измерения проводятся, как правило, по схеме ! (рис. 3) или 2 (рис. 4). В первом случае измеряется ток, идущий через сопротивление и вольтметр, во втором случае измеряется напряжение на сопротивлении и амперметре, т.е. I и Δφ определяются не на одном сопротивлении.

Рис.3. Схема 1. Рис. 4. Схема 2.

Можно предложить три способа уменьшения систематических погрешностей косвенных измерений:

1. Путем подбора приборов или корректировки методики свести до минимума несоответствие методики измерений или реального объекта и модели, положенной в основу расчетной формулы. Например, если в схеме 1 взять вольтметр, сопротивление R_V которого во много раз превосходит исследуемое сопротивление R, то токи через сопротивление и амперметр практически будут равны. И определение сопротивления по этой схеме не будет содержать значительной исключаемой систематической погрешности, т.е. погрешности, сравнимой с приборной.

2. Привести в соответствие расчетную формулу с методикой измерений и объектом исследований. В случае схемы 1 она имеет вид

, (5.3)

где R_V – сопротивление вольтметра.

3. Когда первый и второй способы вызывают сомнение или по каким-либо причинам невозможны, остается одно – изменить методику измерений. Например, сопротивление можно измерить и с помощью моста.

Если уменьшение и оценка систематической погрешности затруднительны, то ее, чтобы как-то учесть, обращают в случайную. Взвешивая груз на левой и правой чашечке весов, мы систематическую погрешность, обусловленную неравноплечностью весов, обращаем в случайную, которую уже можно оценить. Данный прием позволяет получить более реальную точность измерений.

6. ОЦЕНКА ИСТИННОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ И

ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ.

Оценка истинного значения как прямых, так и косвенных измерений начинается с анализа систематических погрешностей. Для его проведения рекомендуется правило 2 (см. 5).

Определив исключаемую систематическую погрешность, вносят соответствующую поправку в результат измерений или вычислений. Оценка неисключенной систематической погрешности прямых измерений позволяет решить вопрос о числе измерений. Если эта погрешность существенно (на 30% или более) превосходит приборную, то она оценивается «на глазок», на основании интуиции и опыта. Измерения проводятся дважды. Второе измерение только для контроля. Если неисключаемая систематическая погрешность определяется приборной погрешностью, то измерения проводятся многократно и их результаты рекомендуется записывать в таблицу (см. 9).

Среднее арифметическое значение – это точечная и наиболее вероятная оценка истинного значения равноточных измерений. Вероятностная природа результатов измерений и их ошибок требует определения истинного значения с помощью доверительного интервала (х_ср+Δх), значение которого бессмысленно без указания надежности оценки, доверительной вероятности. В лабораторном практикуме рекомендуется надежность, равная 0,95.

Рассчитав по формуле (2.8) абсолютную погрешность Δх, конечный результат прямых измерений записывают в виде (2.10). В аналогичной форме записываются и косвенные измерения. Для вычисления абсолютной погрешности ΔU косвенных измерений определяется их класс и с помощью граф-схемы (рис. 1; 2) выбирается вариант расчета. Косвенные измерения I класса в большинстве случаев рекомендуется обрабатывать по третьему варианту, через относительную погрешность, вывод расчетной формулы которой облегчается, если использовать правило 1.

Оценка истинного значения измеряемой величины будет завершенной, если вы убедитесь в достоверности полученных результатов. Это можно осуществить путем:

а) сопоставления с результатами других авторов, например, с данными справочников;

б) сопоставления расчетных и экспериментальных значений или путем проверки выполнения законов сохранения (энергии, массы) для опытных данных;

в) сопоставления результатов, полученных исследователем по различным методикам. Так, объем цилиндра, рассчитанный по значениям диаметра и высоты, можно определить с помощью мензурки по «увеличению» объема жидкости при погружении в нее цилиндра. Объем цилиндра можно определить и по уменьшению его веса в воде. Число, определяющее уменьшение веса тела в граммах, есть объем тела в кубических сантиметрах.

В выводах по результатам измерений в лабораторной работе дайте анализ точности измерений, укажите, какие величины вносят наибольший вклад в погрешность косвенных измерений, предложите рекомендации по увеличению точности измерений.

Таким образом, оценить истинное значение величины – это значит:

1. Выявить систематические погрешности и учесть их.

2. Задавшись определенной надежностью, рассчитать доверительный интервал.

3. Определить относительную погрешность.

4. Убедиться в достоверности полученного результата.

7. ГРАФИКИ.

В лабораторных работах для наглядности или для дальнейших вычислений часто требуется иметь график зависимости одной физической величины от другой. На графиках по горизонтальной оси принято откладывать независимую переменную, т.е. величину, значения которой задает экспериментатор, а по вертикальной оси – функцию этой величины. На осях координат указывают название или символ величины, наименование единиц измерения и основные деления.

Если в работе требуется экстраполяция графика, то отсчетна осях координат следует начинать не с нуля, а таких значений, чтобы была возможность отметить все экспериментальные значения. Это позволит взять больший масштаб на том же самом листе бумаги и яснее раскрыть физическую сущность явления.

В тех областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться небольшим числом измерений. В области максимумов, минимумов и точек перегибов следует проводить измерения значительно чаще.

Масштаб должен быть простым и таким, чтобы при нанесении точек на график не приходилось делать сложные подсчеты. Половина значения его наименьшего деления должна быть не менее абсолютной погрешности данной величины. Это дает возможность указать на графике ошибку в экспериментальном значении, что делается с помощью знаков или , где половина отрезка соответствует абсолютной погрешности соответствующей физической величины.

Указав подобным образом области значений, где возможны истинные значения исследуемой величины, мы можем провести «наилучшую» плавную кривую или прямую. График должен проходить через все области и так, чтобы примерно половина экспериментальных точек оказалась по одну сторону, а другая половина – по другую сторону графика (см. рис. 5).

Рис. 5

Существуют строгие методы, позволяющие по данным экспериментальным точкам провести линию, которая в пределах ошибок измерений будет соответствовать истинному графику. Таким наиболее распространенным методом является метод наименьших квадратов. Но в случае малых выборок метод наименьших квадратов столь же некорректен, как и классическая теория ошибок [1].